17 de novembre de 2019

Frisos amb Pattern Blocks

Els Pattern Blocks és d'aquells materials que no haurien de faltar a l'aula de matemàtiques ja que permeten interessants treballs numèrics i geomètrics. Bàsicament consta d'un joc de peces entre les que trobem sis models. Totes tenen una mateixa unitat de costat (menys el trapezi que té un dels costats de tres unitats).


Una de les activitats clàssiques amb Pattern Blocks és la de construir mosaics. La que proposarem aquí tracta de construir frisos. Una de les definicions de fris ens diu és una "decoració tallada, pintada o gravada en bandes horitzontals". Entre els frisos podem destacar els periòdics (que tenen un mòdul que es va repetint per translació) i els no periòdics. Per treballar amb els Pattern Blocks ens centrarem en els primers, que són els que tenen més interès matemàtic:

Fris no periòdic
Fris periòdic
A més de construir frisos els podem estudiar i classificar. Bàsicament ens hem de fixar en quatre moviments bàsics i observar si el fris queda invariant o no després d'aplicar-lo.
  • Gir de 180º
  • Simetria d'eix horitzontal
  • Simetria d'eix vertical
  • Simetria lliscant


Continuem?


Frisos amb Pattern Blocks

D'entrada cal dir que construir frisos amb les peces de que disposem no és tan immediat com sembla, especialment segons les peces que triem. La condició d'emmarcar un fris entre dues línies paral·leles limita una mica les combinacions de peces, sobre tot si juguem amb el quadrat i el rombe blanc que acoten molt les condicions. Per exemple, si comencem amb una configuració com la següent, no podrem repetir el mòdul de forma periòdica, no podrem fer un fris periòdic. Us convidem a agafar un joc de peces, provar-ho i argumentar per què no es pot repetir. Ho podeu fer virtualment en aquest enllaç.


Per començar sempre haurem de deixar que l'alumnat faci frisos lliurament, però després podem fer classificar-los en els diferents tipus existents (a continuació en parlarem) o fer construir intencionadament algun tipus, dels que no hagin sortit.

Tipus de frisos periòdics

Un dels aspectes interessants per treballar els frisos a l'aula en compte dels mosaics és que hi ha menys tipus. Davant de les 17 classes de tessel·lacions periòdiques del pla ens trobem que de frisos només hi ha de 7 tipus. La pràctica de treball amb frisos, a més, pot ser un bon entrenament per fer un salt posterior als mosaics. Al web del Calaix +ie podeu trobar tota una activitat relacionada amb els frisos: "Frisant pels frisos". 

Com hem dit abans la classificació dels frisos depèn de les transformacions invariants que admet (girs i tipus de simetries) i de la combinació entre elles. Un esquema que ens pot ajudar a classificar els frisos és el següent, en el que el subíndex ens indica si admet gir o no (no-1, sí-2) i el tipus de simetria (res si no en té, 1-eix horitzontal, 2-eix vertical, 3-lliscant)


Veiem tres exemples de cada tipus fets amb Pattern Blocks.


No admeten ni girs ni simetries, només translacions

Només admeten gir, no simetries.

Admeten gir i simetria d'eix horitzontal

Admeten gir i simetria d'eix vertical

Només tenen simetria d'eix horitzontal

Només tenen simetria d'eix vertical
Només tenen simetria lliscant

I a l'aula?
  • Amb els més petits potser fent frisos n'hi ha prou. Ja és un "bon què" limitar-se entre dues paral·leles. Però amb els més grans és interessant treballar la classificació. Per estudiar el gir de vegades va bé duplicar el fris (deixant un quiet i girant l'altre) o fer una fotografia per a comparar. Per estudiar les simetries es pot utilitzar un mirall. Tot i així també convé practicar després "a ull", saber valorar els girs i simetries sense realitzar-los.
  • Pot ser interessant buscar els mòduls mínims de cada fris. El mòdul és aquell tros que es repeteix. Però, de vegades, aquest mòdul encara es pot reduir més si trobem un tros més petit al que aplicar girs i/o simetries. podeu investigar més els mòduls a l'activitat "Frisant pels frisos". 
Mòdul del fris que es trasllada. No admet reduccions
Mòdul mínim en línia contínua. El mòdul del fris s'obté fent-li una simetria d'eix horitzontal

Mòdul mínim en línia contínua. El mòdul del fris s'obté fent-li una simetria
d'eix horitzontal, una d'eix horitzontal i un gir de 180º

Addenda

Uns dies després de publicar aquest article Simon Gregg, a més de regalar-nos un bellíssim vídeo, ens feia arribar un tuit que suggereix una proposta nova: fer frisos amb una sola peça. Dels models que proposa només tres són frisos perquè els altres quatre no estant tancats entre línies paral·leles. Tot i així dels que no ho són  tres es poden convertir en frisos fàcilment. Us animeu a fer-ho? I a classificar-los?


Però encara ha arribar una proposta més de Simon Gregg en un altre tuit: frisos sense cenyir-se al paral·lelisme. Obrir aquesta possibilitat pot facilitar l'exploració de frisos i a l'aula podem fer exactament igual l'observació de girs i simetries.

Cap comentari:

Publica un comentari