El joc de l'Oca i les probabilitats

Hi ha moltes teories sobre l'origen del joc de l'Oca. Fins i tot algunes de molt esotèriques que el relacionen amb el Camí de Sant Jaume. No entrarem, per descomptat, en aquest tema. Sí sabem que Francesco de Medicis li en va regalar un a Felip II i que, d'aquesta manera, va entrar a la cort espanyola i, de mica en mica, a la resta de corts europees. També sabem que hi ha moltes versions que il·lustren fets històrics o narracions diverses. I a les escoles hem fet un munt de versions relacionades amb la didàctica. Aquí parlarem del joc de l'Oca més tradicional, que ha arribat a nosaltres i que consta de 63 caselles amb les seves oques, ponts, daus, laberint... Gran part del seu èxit segurament és degut a que és un joc que depèn absolutament de l'atzar. No s'ha de prendre cap decisió. El parxís, per exemple, és més complex perquè no ens limitem a tirar els daus i comptar, ja que hem de triar amb quina fitxa ho fem. Aquí no. Anem on ens porta la sort. No hem de pensar.

Amb els alumnes més petits podem utilitzar el joc a l'aula per exercitar la suma, per exemple fent anticipar a quina casella es caurà, un cop tirat el dau, abans de fer el moviment. També jugant amb dos daus. Quan són una mica més grans ens podem fer altres tipus de preguntes. Per exemple:

• Podem estimar quina longitud tindria el tauler si "estirem" el recorregut posant-lo recte? El doble de l'amplada? El triple?...
• Pot existir una partida infinita en la que no s'arribi mai al final?
• Es pot arribar amb una sola jugada fins al final? (considerarem part d'una mateixa jugada quan tenim opció a tornar a tirar el dau, com quan es cau a una oca)
• Si és així quin és el mínim de vegades que haurem de tirar el dau?
• Quin patró segueix la distribució de les oques?

Però a secundària ens poden sorgir preguntes noves:

• Quina és la duració mitjana d'una partida?
• Fins a quines caselles i amb quina probabilitat puc arribar en una sola jugada? I en dues? I en tres?...
• Totes les caselles es "visiten" igual, o hi ha unes caselles per les que passem més que altres?

En aquest article ens centrarem en aquestes darreres preguntes, que no són tan fàcils de contestar com sembla. Us convidem a que, abans de continuar llegint, estimeu unes primeres respostes provisionals.

Per entrar en el tema, però, començarem per una versió de l'oca ben reduïda: un tauler de 10 caselles. Es comença el joc a la casella zero. La 3 i la 6 serien oques. Si es cau a la 6 s'arriba directament al final. La 8 porta al principi de nou.

Continuem?

Començarem per estudiar fins a quines caselles podem arribar en successives jugades. És un estudi de probabilitat que està condicionada per les caselles d'origen i que es van encadenant progressivament. Encara que el joc sembla ja prou simple encara el simplificarem més jugant amb un dau de només dues cares. El podem modelitzar amb una moneda: si surt cara avancem una casella i si surt creu n'avancem dues. I encara una altra simplificació: no cal arribar amb la puntuació justa a la casella final. Si estem a la 9 i traiem creu (avançar 2) posem la fitxa a la 10.

• 1a jugada

És el cas més fàcil: a la primera jugada podem arribar només a les caselles 1 o 2 traient cara o creu a la moneda. Per tant tenim un 50% de probabilitats d'estar a cadascuna d'aquestes caselles.

• 2a jugada

Ara tenim quatre casos a estudiar: obtenir cara o creu partint de la casella 1 i cara o creu començant a la 2. Procedim per ordre i atenció amb la lectura que no és del tot fàcil. Té un punt de "la part contractant de la primera part serà considerada des d'ara com a part contractant..."

Si estem a la casella 1 i traiem cara anirem a parar a la casella 2. Sabem que, tant sí com no, deixarem la casella 1 per tant la probabilitat de continuar en aquest casella és zero. La probabilitat de treure cara és 1/2, però no hem d'oblidar que la probabilitat d'estar a la casella 1 també era d'un mig. Per tant la probabilitat d'anar a parar a la casella 2 a la segona jugada és d'una entre quatre.

Cal observar que, a cada tirada de moneda haurem d'anar doblant els denominadors de sortida. Mirem què passaria si obtenim creu (avançar 2) sortint d'1. D'entrada el que veiem és que la "jugada" no s'acaba ja que caiem en oca, avancem a la casella 6 i haurem de tornar a tirar.

Això ens porta a dos casos nous des de la casella 6, però que formen part de la jugada anterior, i depenent de si en aquesta nova tirada traiem cara o creu. Si traiem cara anirem a parar a la casella 7 i si traiem creu a la... zero, perquè la 8 "castiga" obligant a tornar a començar. En aquest moment tenim la meitat de possibilitats d'anar a la 7 i la meitat d'anar a la zero però, si ho mirem des del principi, veiem que teníem 1/4 de possibilitats d'arribar a la casella 3 (pel mateix raonament que hem fet abans). Per tant per arribar a aquestes caselles (7 o 0) tenim la meitat d'un quart: 1/8. També podem observar, per tal d'anar omplint el nostre quadre de probabilitats, que a les caselles 3, 6 o 8 no "pararem" mai ja que ens fan canviar de casella i, en el cas de la 6, tornar a tirar. Això significa que a aquestes caselles podem adjudicar una probabilitat zero.

Ara toca estudiar els casos sortint de la casella 2 en els que es poden reproduir els raonaments anteriors. Si traiem cara caurem anirem a l'oca i serà com el cas estudiat abans (1/8 per arribar a 7 i 1/8 per tornar a zero). I si traiem creu anirem a la casella 4 amb una probabilitat d'1/4. Afegint aquests probabilitats al quadre anterior tindrem aquest esquema.

Dit d'una altra manera, a la segona jugada estarem a les caselles d'inici, a la 2, la 4 o la 7, amb la mateixa probabilitat 1/4. Això ho podríem veure també amb un esquema en diagrama en arbre.

• 3a jugada

És d'imaginar que s'ha d'anar seguint aquest tipus de raonament aplicat abans: mirar a quins llocs podem estar, mirar a quins podem anar i calcular les probabilitats noves tenint en compte les anteriors. Per exemple la casella zero, de la que partim amb 1/4 de probabilitats, ens dona accés a les 1 i 2 (amb 1/8 a cadascuna), la casella 2 ens dóna accés a la 4 i a la 3 amb 1/8 però aquesta última, que és oca, ens farà arribar a la 7 o a la 8 (que ens porta al zero), totes dues amb 1/16 . La casella 4 ens portarà a les caselles 5 o 6 amb 1/8, però recordem que la casella 6 ens porta a la 10 directament. La casella 7 ens dona accés a la 8 (zero) i a la 9 amb 1/8 respectiu. Sumant les probabilitats de cada casella queda aquest esquema:

Una de les coses que podem observar és que una de cada vuit vegades podrem arribar al final en tres jugades. També, deixant de banda les caselles de les oques i de retorn, que el més improbable és que estiguem a la casella 7.

• Més jugades

Bé... es tracta d'anar seguint. Però abans cal prendre una decisió sobre el càlcul. Només des de la 3a jugada podem arribar a la casella final, la 10. Hem d'optar, a partir de la quarta jugada, si en aquesta casella acumulem les probabilitats anteriors d'haver arribat o no. Si les acumulem la suma de les probabilitats de cada fila serà un 100%, si no ho fem no. L'opció que es mostra aquí és acumulant. Fent-ho així fins a 10 jugades obtindríem un quadre com el següent:

També la podem traduir a percentatges:

Comprovem amb l'ordinador

Les probabilitats teòriques les podem contrastar amb la pràctica. Però, per anar bé, hem de fer-ho amb "molta pràctica". Aquí és quan ens pot ajudar l'ordinador. El següent applet, fet amb Scratch, ens pot ajudar a provar molts i molts casos. Està preparat per decidir quantes jugades volem estudiar, quantes cares tindrà el dau i quantes partides volem fer. Si provem amb moltes partides per 2, 3, 4... jugades i un dau de dues cares, veurem que els resultats que obtindrem no es diferencien gaire dels calculats anteriorment de forma teòrica.

https://scratch.mit.edu/projects/191619050/

Visites a les caselles

Abans de llegir la resposta a aquesta pregunta és bo que intenteu fer conjectures i us convidem a intentar-ho.

Un applet, també programat amb Scratch, ens pot ajudar a fer el recompte. D'entrada descartarem estudiar la casella 10 perquè totes les partides acabaran allà. La imatge ens mostra els resultats obtinguts després de jugar mig milió de partides amb un dau de dues cares:

Enllaç a l'applet: https://scratch.mit.edu/projects/193488953/

Podem veure que pràcticament 1/5 part de les visites se les emporta la casella 6. No deixa de ser raonable tenint en compte que té "visites dobles": les directes i les provinents de la casella 3. No molt lluny la següent casella més visitada és la 2. És curiós veure que són les primeres caselles les que acumulen més visites i amb força diferència respecte a les altres... menys la 8 que de fet és la quarta del rànquing. La coincidència de visites de les caselles 8 i 0 s'expliquen per les pròpies regles del joc. Podeu raonar per què les caselles 5 i 9 són, amb diferència, les menys visitades?

Durada de la partida

Tornem a tirar de programació. Un tercer applet ens permet experimentar. De nou mirem els resultats obtinguts amb un dau de dues cares i després de 500 000 partides.

Enllaç a l'applet: https://scratch.mit.edu/projects/192132943/

Podem fer algunes observacions:

• Com ja sabíem no podem accedir a la casella 10 ni en en una ni dues jugades.
• Pràcticament una quarta part de les partides acaben en només 4 jugades...
• ... però la mitjana de durada és força més gran, de 7 jugades.
• A partir de 4 jugades la quantitat de partides és decreixent, però hi ha un salt: és més fàcil acabar en 6 jugades que en 5.
• I la partida més llarga, per a una oca tan petita, ha estat força llarga: 59 jugades

I ara fem una pregunta amb trampa. La probabilitat d'estar a la casella 10 en 4 jugades era d'un 37,5%, però només hem aconseguit arribar-hi el 24,9%. Per què?

I si modifiquem una regla?

Els exemples que hem estudiat hem aplicat la regla de que si "ens passàvem" de la casella 10 amb la tirada no importava. Però a l'oca de debó hem d'arribar amb la tirada justa. De fet, si la tirada és més gran que la distància "rebotem" a la casella 10 i comptem cap a enrere. D'aquesta manera és un pèl més difícil arribar. Canviarà molt aquesta modificació els resultats anteriors?

Retocant una mica els applets anteriors no és difícil contestar la pregunta. Mirem els resultats amb mig milió de partides.

• No farem tots els casos per saber a on arribarem amb n tirades. Només compararem amb 5 tirades després de mig milió de proves. A la imatge tenim els resultats obtinguts. Observarem que les opcions d'arribar a la casella 10 baixen però no gaire: d'un 46,88% a un 42,22%. La següent casella més probable era la inicial (la zero) amb un 12,5% , probabilitat que s'ha mantingut. De fet, la majoria de caselles tenen valors molt pròxims. La que ha augmentat més clarament és la 9 que passa d'un 6,25% a gairebé un 11%. No és difícil pensar per què.

Enllaç a l'applet: https://scratch.mit.edu/projects/193180379/

• En quant a les visites a les caselles hem obtingut els resultats de la imatge immediatament inferior. En general tampoc varien dràsticament els resultats. La casella 9 torna a ser la que produeix una diferència més gran. Gairebé dobla en el nombre de visites.

Enllaç a l'applet: https://scratch.mit.edu/projects/196854982/

• Mirem, finalment, la durada de les partides. Aquí sí que hi ha algunes diferències més notòries. La durada mitjana augmenta gairebé en mitja jugada. Baixa un 6% la partida més freqüent que era de 4 jugades. El grup de més de 10 jugades augmenta gairebé en un 2,5%. Curiosament la partida més llarga en aquestes experimentacions ha estat semblant: 60 per les 59 anteriors.

Enllaç a l'applet: https://scratch.mit.edu/projects/193236810/

Anem al joc de l'oca "gran"

Ara ja ens hem fet algunes idees sobre el joc "en petit" i hem obtingut algunes respostes que ens permetran afinar les nostres conjectures sobre el joc gran. Per exemple, hem confirmat que no totes les caselles tenen el mateix grau de visites. Però ho haurem d'adaptar al joc real. En quant a la duració mitjana d'una partida o a on s'arriba amb n jugades haurem de tornar a experimentar també. Encara que d'aquesta part podem fer el càlcul teòric és més feixuc que fer jugar "la màquina"

D'entrada cal fixar amb quines regles jugarem. Agafem les de la Wiquipèdia:

• 63 caselles i es comença a la casella 1.
• Oques que permeten avançar i repetir tirada de daus a les caselles 5, 9, 14, 18, 23, 27, 32, 36, 41, 45, 50, 54 i 59. (Patró 5, 4, 5, 4...)
• Ponts i daus que fan intercanviar casella i tornar a tirar a les caselles 6-12 i 26-53 respectivament.
• Penalitzacions a les caselles de la Fonda (19, una jugada), Pou (31, dues jugades) i Presó (52, tres jugades). Hem prescindit de variants com que caigui un altre jugador o treure dos sisos.
• Retrocessos al Laberint (42, retrocedir a la 39) i la Mort (58, tornar a la casella 1)
• Cal arribar amb jugada exacta. Si no es "rebota" a la 63 i es va cap enrere.

Amb aquestes regles es pot fer un programa informàtic (que aquesta vegada no està fet amb scratch i no enllacem) que faci moltes partides.

I aquí van algunes de les dades recollides

• Si mirem fins a on podem arribar amb n jugades a continuació tenim un gràfic que ens mostra fins a on hem arribat en 10000 partides para 1, 2, 3, 4, o 5 jugades. Podem observar, encara que a la imatge no es veu molt bé, que ja, des de la primera jugada, es pot arribar a la 63 (un 0,08% de les vegades).

Observarem també que progressivament augmenta la columna final de la casella de la 63 i les altres es van igualant. Si fem un salt a 10 i 18 jugades (que com més endavant veurem és una quantitat propera a la mitjana de durada del joc) veurem millor com va progressant el joc. S'acompleix, més o menys, el que dèiem però veiem uns pics a les caselles 1 (inici) i 39 (la de retorn del Laberint). També hi ha pics a les caselles finals, properes a la 36 i que es justifiquen amb els "rebots".

• Em quant a la durada mitjana d'una partida, trobada amb una simulació amb ordinador i després de jugar 50000 partides, ha estat de pràcticament 18,5 jugades (18,51906). La partida més llarga ha estat de 140 jugades. Però la mitjana no és la millor dada. La moda segurament és més interessant. Si observem aquest gràfic en el que mostrem la quantitat de jugades de partides que superen l'1 % respecte al total veurem que el grup entre 10 i 14 jugades té resultats molt semblants (la moda és 12 amb molt poca diferència amb 14). Si sumem percentatges obtenim que pràcticament una quarta part de les partides acabarà entre 10 i 14 jugades. Sumant els valors de totes les partides que superen un 3% dels resultats totals trobarem que un 60% de les partides acabaran entre 6 i 19 jugades.

• I, finalment, en quant a les visites a les caselles, en la mateixa experimentació anterior amb 50000 partides, les més freqüents han estat les  59 (3,05%), 62 (2,91%), 45 (2,72%), 61 (2.67%), 41 (2.53%), 39 (2,61%) i la parella 6-12 (2,59%) i  . Les menys visitades ha estat la 2 (0.88%), 8 (0,98%), 48 (1%),  i la 3 (1,03%) .

 El gràfic, però mostra una certa regularitat per estudiar. Les caselles amb "pics" són les corresponents a les oques, daus i ponts. L'excepció és la 39 que és correspon amb la de retorn del laberint.

I a l'aula?

Potser hi ha tres coses a destacar a l'hora d'abordar una activitat a l'aula basada en aquest joc:

• El fet de fer-se preguntes matematitzables sobre el joc, semblants a les que hem proposat o diferents.
• Veure la necessitat de recórrer a simulacions d'ordinador per poder experimentar amb molts casos. Podem aprofitar com a model de programació alguns dels que hem enllaçat amb Scratch, però el millor és aprofitar l'oportunitat per treballar una mica de programació. Per exemple per crear l'applet per a l'oca gran.
• La possibilitat de treballar la interpretació de resultats estadístics des del punt de vista de la probabilitat. Trobar respostes que justifiquin els resultats obtinguts.

Però també hi ha altres aspectes com:

• No oblidar-se de fer conjectures abans de buscar les respostes experimentalment.
• La idea de treballar un cas de probabilitat condicional amb les primeres tirades de l'oca o, més "fàcil", de la minioca.

I, per què no?, estudiar la historia i mitologia del joc.