Un model per estudiar epidèmies

L'any 2009, entre moltes altres coses, va ser l'any de la Grip A. Alguns la van patir, uns altres es van fer d'or. En tot cas l'estudi de propagació d'epidèmies es basa en models i fórmules matemàtiques. Al n. 131 de la revista francesa Tangente, publicat aquell mateix any, hi havia un parell d'articles on es tractava aquest tema. En un d'ells (La thoerie des jeux pour modéliser la propagation d'un épidémie d'Hervé Lehning) es proposa un model, que aquí reproduirem amb un appplet, molt entenedor basat en el Joc de Vida de Conway i els seus autòmats cel·lulars.

La idea és senzilla. Dibuixem una quadrícula de la mida que vulguem (nosaltres agafarem 100 caselles en un quadrat de 10x10) on cada casella és un individu, una cèl·lula. Per començar "infectarem" a l'atzar una casella. També hem de catalogar la virulència de l'epidèmia. Ho farem adjudicant una probabilitat més alta o més baixa a la possibilitat d'encomanar-se a les cèl·lules veïnes. El contagi també pot dependre d'un contacte més directe (les quatre cèl·lules que comparteixen costat i que anomenarem model de Neumann) o sense que calgui un contacte tan gran (les vuit cèl·lules que poden envoltar-ne a una altra, i que anomenarem model de Moore). Una cèlul·la supera la malaltia immunitzant-se.

En aquest exemple veiem tres estadis de propagació de l'epidèmia. Les caselles grises no estan infectades, les vermelles sí i les blaves estan immunitzades

Expliquem les regles abans d'experimentar:

• Primer triem una probabilitat de contagi (20%, dau de 5 cares; 25%, dau de 4 cares; 33%, dau de 3 cares o 50%, dau de dues cares)
• Després triem un model de veïnatge: de 4 caselles (només es consideren contactes les caselles que comparteixen un costat) o de 8 (són veïnes les que comparteixen costats o vèrtexs).
• Marquem les caselles veïnes a la infectada (segons el model de veïnatge). Hem de marcar-la tantes vegades com veïnes tingui. A la imatge tenim l'exemple basat en el dibuix anterior.

• Tirarem el daus. Cada cara té una lletra. Si surt l'A la cèl·lula s'infectarà. Si una cèl·lula té més d'una veïna es tirarà tantes vegades com veïnes tingui. Si surt una A es deixa de tirar. L'applet ho fa automàticament.
• Farem el pas a l'estadi següent de l'epidèmia: l'avaluació. Cada cèl·lula amb una A emmalaltirà. Cadascuna de les cèl·lules malaltes en aquest estadi quedarà immunitzada al següent.

Explicades les regles ja podem explorar:

Enllaç a l'applet en flash

Podem investigar diferents simulacions:

• Comparar estadístiques finals a partir d'uns mateixos paràmetres de sortida.
• Buscar mitjanes d'estabilització de l'epidèmia per a cadascuna de les condicions inicials.
• Observar com influeix la col·locació al caseller de la cèl·lula infectada inicial.
• ... o pensar millores del model!