28 de novembre de 2012

Divisió 4: la divisió "per galera"

El matemàtic italià Nicolo Fontana, conegut com a Tartaglia, va publicar a mitjans del segle XVI el llibre Tratatto di numeri et misure en el que explicava, entre altres coses, mètodes de càlcul. A l'apartat dedicat a la divisió escrivia:
"El segon mètode de dividir s'anomena a Venècia per "vaixell" o per "galera" per certa similitud de les figures que de tal operació resulten, perquè de la divisió d'algunes classes de nombres neix figura similar a un vaixell (../..) amb la proa, la popa, el pal, la vela, els rems..."
Una divisió per "galera" té un aspecte com el de la imatge.

Divisió que apareix a la pàgina 84 del llibre (912345:1987) 

En alguns llibres antics s'evidenciava aquesta semblança afegint alguns "guarniments" a la figura.


El mateix Tartaglia no va poder evitar fer una demostració de la potència de l'algoritme fent una macrodivisió que, a més, encara mostrava de forma més clara el "vaixell".

Divisió que apareix a la pàgina 85 del llibre
(8888880000000888800000000888888 : 9999900000000999000000000999) 
Nota: al resultat li falta un altre 8

Aquesta divisió és "mare" evident de la que realitzam nosaltres ara.

Vols veure com és divideix "per galera"?
Divisió per una xifra
Veiem un primer exemple de divisió per "galera". Dividirem 23 586 entre 8.


Podem justificar, pas a pas, que és el que es fa en aquesta divisió.


Si organitzem les passes de la divisió serem més conscients del que fem, a cada pas: accelerar amb productes la resta repetida del divisor (traient grups de "vuit mils", de "vuit cents"...).


Una reflexió per a l'aula
Amb aquesta divisió són vàlides algunes de les propostes que ja hem fet per altres algoritmes de la divisió que hem presentat en entrades anteriors (descobrir com funciona l'algoritme, explicar-lo...). Però aquesta vegada volem fer un pas més. Si ens hem fixat bé en l'animació anterior estem molt a prop del càlcul en columnes que proposa l'Institut Freudenthal i que es comenta al bloc del PuntMat en una entrada sobre la suma i la resta. No és difícil fer una adaptació intermèdia que acosta el càlcul en columnes al format de la nostra divisió estàndard.


Continuem amb la divisió per galera
Hem vist la divisió per una xifra. Podem observar ara com s'aplica l'algorisme a una divisió per dues xifres. Dividirem 59 072 entre 63.


Si ens hem fixat hi ha una diferència important amb el nostre algoritme actual. Quan es multiplica la xifra que afegim al quocient (per exemple el 9) per les xifres del divisor (63) ho fem d'esquerra a dreta. Primer es multiplica el 9 per 6, es fa la resta, i després es fa 9x3, i es fa la resta. Nosaltres ho fem al revés: de dreta a esquerra, primer 9x3 i després 9x6. Va ser el mateix Tartaglia qui va proposar aquesta modificació sobre el mètode que es feia servir fins aquell moment. Podem veure a continuació com es faria la mateixa divisió seguint la proposta de Tartaglia:


No content amb això Tartaglia va fer una segona proposta: distribuir els nombres d'una altra manera perquè la divisió quedés més clara i ordenada, i sintetitzar l'escriptura d'alguns càlculs fent-los "de cap". Si mirem aquesta imatge del Tractat dels nombres i les mesures reconeixerem prou bé un format molt semblant al de la divisió actual.
Divisió que apareix a la pàgina 86 del llibre (912345:1987)
Nota: és la mateixa divisió de la primera imatge que hem posat

Observem, estructurada així, com es faria la nostra divisió (59 072 entre 63).


Reivindicació "tartagliana"
Tartaglia comparava al seu tractat la divisió per galera (i les seves modificacions) amb altres mètodes qualificant-lo com "el més bell, el més elegant, el més segur, el més usat i el més general". Bé. Podem estar d'acord o no. Però de forma "tartagliana" hauríem de reivindicar, com fa ell en la divisió que hem vist abans, que els productes i les restes parcials s'escriguin de forma explícita.

Ho diem més alt?


Que els productes i les restes parcials s'escriguin de forma explícita!

Fent-ho així no només alliberem el cap de subcàlculs mentals que potencien les equivocacions, sinó que podem revisar millor el que hem fet en la cerca de possibles errors. I el que és més important: ens acostem més a la comprensió del que fem mentre apliquem l'algorisme.

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada