Un problema porta a un altre... (Loop de loops)

 Al concurs del Fem Matemàtiques del 2020 un dels problemes estrella va ser el del Loop de loops que va aparèixer, amb diferents variants, a les tres categories principals. És un problema prou ric i sobre el que es poden fer diferents enfocaments. Posteriorment, al Banc de Recursos del Fem Matemàtiques li han dedicat dos articles d'anàlisi (1 i 2) amb exemples de solucions d'alumnat i propostes d'avaluació. Vegem un dels seus plantejaments i que es correspon amb el que es va proposar a 1r d'ESO:

• Agafem un dau i el tirem cinc vegades. Anotem ordenadament els resultats. Per exemple 2,4, 3, 2 i 5.
• Sobre una quadrícula fem un segment de tantes unitats com el primer resultat. Girem 90° a la dreta i fem un altre segment d'una longitud. Girem 90° a la dreta... i així fins a dibuixar els cinc segments.

• Des del punt on hem acabat girem 90° en el mateix sentit i repetim el procés.

• I continuem tantes vegades com siguin necessàries fins que tornem al punt d'inici i tanquem el loop. En el nostre exemple cal fer-ho dues vegades més.

La sèrie 1-4-5-3-3 (90°) necessita 4 iteracions per a tancar el loop

Ja podem imaginar que canviar les sèries, en nombres, en quantitat de nombres, en ordre dels nombres, en tipus... dona un joc increïble amb resultats molt sorprenents i estètics. I que també podem canviar els angles. Per exemple treballant en una trama isomètrica podrem fer girs de 60° o 120°. Fer un applet amb GeoGebra, amb Scratch o Snap ens pot permetre treballar amb qualsevol sèrie numèrica i qualsevol angle. En el fons, era un dels treballs típics que es feia antigament amb el Logo.

Descobrirem fàcilment que no totes les sèries de daus tanquen amb un angle determinat.

Abans d'entrar en la nostra proposta, pot ser interessant fer un incís i mirar-ne una altra, molt ajustada per a primària i principis de l'ESO, que vaig sentir a Marc Caelles (@caellesmarc) en una presentació d'Innovamat. Es tracta de reduir la sèrie de nombres a tres (no tenen per què ser les tirades d'un dau) i amb un angle de 90°. L'activitat es basa a fer diferents loops, classificar-los segons la forma i buscar la pauta numèrica que fa que s'obtingui un tipus de loop o un altre. A continuació teniu un enllaç a un applet de GeoGebra que us permetrà experimentar. La resposta a la investigació la trobareu a la xerrada d'en Marc (minut 52).

Enllaç a l'applet

Anem ara a centrar la nostra investigació en dues preguntes:

• Podem saber si un loop tancarà o no abans de dibuixar-lo?
• Afecten les mides dels segments al tancament?

Ens hi posem?