Divisió 7: la divisió per diferència

Parlem avui d'un nou (vell) algoritme de la divisió. L'hem recuperat del web Animando la web 2.0 d'Ana de la Fuente (@Anuska72) i cal reconèixer ja d'entrada que, tot afegint alguna petita cosa, transcriurem directament el text del seu article. Sobre tot perquè la justificació que en fa de l'algoritme és clara i magnífica.

En aquest gràfic es veu com es realitza la divisió de 4019 entre 87 (Quocient 46; residu 17)

En el gràfic es reconeix l'àbac de Gerbert d'Orlhac (938-1003). Gerbert, que va ser Papa amb el nom de Silvestre II, va romandre tres anys al monestir de Ripoll. Es pensa que va viatjar per Andalusia i que allà va conèixer els nombres indoaràbics. Va inventar un àbac amb fitxes que utilitzaven aquestes xifres (menys la del zero). No va ser un àbac molt utilitzat, però no deixa de tenir el seu interès. Podeu saber-ne més sobre Gerbert i el seu àbac llegint l'article de Montserrat Bover va publicar al n. 22 de la revista Biaix.

Aquest algoritme, que es coneix amb el nom de divisió per diferència, és molt pràctic amb nombres no massa llunyans de les potències de 10 (propers a 10, a 100, a 1000...). Destaquem alguns dels seus avantatges:

• no cal buscar "per quin número hi cap". Treballem directament a partir de les primeres xifres del dividend i dels resultats parcials.
• en conseqüència, no cal fer proves (hi cap?, no hi cap?)
• no restem; només es fa multiplicacions i sumes
• les multiplicacions es fan amb nombres "més fàcils". A l'exemple de l'esquema es veu que en comptes de treballar amb el 87 del divisor els càlculs els fem amb el 13, clarament més petit.

A continuació us posem un vídeo elaborat per Ana de la Fuente, on veiem dos exemples de divisió. El primer correspon amb la divisió de la imatge inicial.

Vols saber per què funciona aquest algoritme?

El "joc militar" o els "Gossos i la llebre"

L'anàlisi de jocs d'estratègia ofereix un magnífic marc de treball d'investigació matemàtica. Malgrat la feina de difusió de diferents reconeguts autors de didàctica de les matemàtiques (com Jordi Deulofeu, Fernando Corbalán, Mari Luz Callejo, Miguel de Guzman...) o que al concurs del Fem Matemàtiques sovint se'n proposa un a la primera fase, continuen tenint una entrada dificultosa a les aules. Mestres i professorat ens resistim a obrir-los la porta. Potser perquè estem poc acostumats a realitzar aquest tipus d'investigacions. Però nosaltres, des d'aquí us en continuarem proposant perquè estem convençuts de la seva riquesa didàctica i, de pas, oferint exemples d'estudi de les estratègies.

El "joc militar" que us presentem l'estudia Édouard Lucas al tercer volum de les seves Recreacions matemàtiques (p. 108). A Anglaterra es coneix com el "joc de la llebre i els gossos"(Hare and hounds). Amb aquest nom no és difícil trobar versions per a jugar en línia. Per exemple, en aquest enllaç.

Pàgina del llibre de Lucas

Malgrat que les regles són senzilles és estratègicament prou ric. Les primeres pràctiques ens fan pensar que un dels jugadors té avantatge sobre l'altre, però un estudi atent ens farà descobrir que el jugador "aparentment feble" disposa d'una estratègia guanyadora (un camí perfectament definit. amb una resposta per a cada jugada, que condueix a guanyar la partida).

Les regles del joc

• El tauler i la situació de sortida és la que es veu a l'esquema.

• El primer moviment el realitza la fitxa verda.
• A cada moviment el desplaçament és d'una casella a una altra connectada per un segment (una cruïlla de línies). Les vermelles no poden retrocedir (els moviments són cap endavant o laterals). La verda es pot moure en totes direccions.

• Les fitxes vermelles guanyen si bloquegen la fitxa verda i aquesta no pot moure. La verda guanya si "traspassa" la línia de les vermelles i aquestes ja no la poden acorralar.
• Si es repeteixen els mateixos moviments més de tres vegades es poden considerar taules. Així i tot, és més interessant evitar les taules donant avantatge a la fitxa verda. Per exemple fent que la fitxa verda guanyi si es repeteixen els moviments o si no se l'ha bloquejat en un màxim de 25 jugades.

Juguem i analitzem el joc?