Experimentem els sorteigs "per lletra"

Fa molt poc Clara Grima publicava a l'ABC Ciència l'article "El sorteo por apellidos: la gran injusticia de la administración". La raó de la seva publicació va ser que la Junta de Castella-Lleó utilitzava, un cop més, aquest tipus de sorteig per dirimir els empats a l'hora d'adjudicar places escolars. Tothom hem sentit parlar d'aquest tipus de sorteig i, possiblement, l'hem patit, ja que fa uns anys eren més freqüents i a Catalunya també s'havia fet servir per adjudicar places escolars. L'article toca més temes, però en concret la injustícia matemàtica del sistema, està molt ben explicada i exemplificada. En tot cas és un exercici interessant aplicar-ho a la teva "realitat" perquè amb exemples reals i coneguts tot es veu i es viu d'una manera diferent. I, vet aquí, que tenim una magnífica situació per experimentar a l'aula amb la pròpia llista de la classe. A més, relativament fàcil de fer, perquè un cop entès el sistema d'anàlisis només cal que cada alumne faci l'estudi del seu cas i després només caldrà reunir les dades de tot el grup per comparar-les.

Un sorteig per lletra simple,  per adjudicar n places, funciona de la manera següent:

• s'ordenen els candidats alfabèticament
• s'extreu una lletra d'una urna
• es cerca a la llista el primer nom que trobem a partir de la lletra que ha sortit.
• s'adjudiquen les n places començant per aquesta

D'on prové la injustícia? Mirem-ho amb un exemple. L'estudi està fet amb els cognoms dels meus companys de feina que he reconvertit convenientment en noms de municipis de Catalunya. Ja us podeu imaginar qui és en realitat Jafre. La prova la farem adjudicant quatre places.

Cabrils, Calafell, Falset, Fígols, Figueres, Flix, Guissona, Gurb, Jafre, Linyola, Lladurs, Manresa, Martorell, Mollerussa, Montblanc, Mura, Peralada, Rellinars, Reus, Terrassa

Mirem alguns casos:

• si surt la P els "afortunats" seran Peralada, Rellinars, Reus i Terrassa
• si surt la R seran Rellinars, Reus, Terrassa i Cabrils, perquè es torna a començar pel principi de la llista.
• si surt la Q tornen a ser els mateixos que abans (Rellinars, Reus, Terrassa i Cabrils) perquè amb la Q no tenim cap poble i, per tant, passa a la R.

Ho comencem a veure? Ens pot "tocar" amb més d'una lletra però cal mirar amb quines lletres ens toca i això depen de la llista concreta: quines lletres no hi són, quants pobles hi ha a cada lletra. Si fem un estudi observarem que, per quatre adjudicacions, Falset té un 50% de possibilitats de que li toqui i a Mura no li tocaria mai. El gràfic mostra clarament que les probabilitats no estan gens equilibrades.

Ho estudiem amb més atenció?

Com fer l'estudi?

El primer que s'ha de fer és analitzar cada cas concret. Mirem alguns casos als que aplicarem un sorteig de 26 lletres (sense la ñ o la ç)

• Falset. És fàcil de veure que li toca amb qualsevol lletra des de l'A a l'F (a, b, c, d, e, f). Però en cas de que sortís la T, en que es comptarien Terrassa i tres més, també li tocaria. I no només això, si no amb qualsevol lletra entre la T i la Z (t, u, v, x, y, z). És a dir, li tocaria amb 13 lletres diferents. Un 50 % de possibilitats
• Mura. És el cinquè poble de la M. Adjudicant només quatre no li toca encara que surti la pròpia M. Un 0% de probabilitat.
• Lladurs. Aquest és un cas més general i ens servirà per mirar com analitzar qualsevol altra de manera ràpida. Lladurs té per davant tres pobles: Gurb, Jafre i Linyola. Això ens permet veure que li tocaria des del moment en que li toqués a Gurb ser el primer. Però si surt la G a Lladurs no li tocaria perquè serien Guissona, Gurb, Jafre i Linyola. Així haurà de ser des de la lletra següent, l'H. Així, Lladurs sortiria amb 5 lletres (h, i, j, k, l). Un 19,23 %

Estudi de tots els pobles

I si ho fem només amb les lletres presents?

Per què han d'entrar en sorteig lletres que no hi són? Eliminar-les faria el sorteig just? A la nostra llista només hi ha nou lletres diferents: c, f, g, j, l, m, p, r, t. Si fem l'estudi podrem veure que la cosa millora... però tampoc està equilibrada. I Mura continua sense possibilitats!

Potser si fem el sorteig amb dues lletres...

Sorteig amb dues lletres

Mura només té alguna possibilitat de sortir triat si juguem amb dues lletres. Si aquestes són M-A no hi entra en joc. Però de M-B a M-U surt triada. Potser amb dues lletres tot s'equilibra... o no. Comptar els casos és ara una mica més complex i, cercar com fer-ho, torna a ser un bon problema d'aula. Mirem una manera de fer-ho. amb un exemple. Un cop més triem Lladurs

• En primer lloc busquem entre quin parell de lletres surt triat un poble. Lladurs ho serà entre G-V i L-L.
• Dividirem les parelles de lletres en tres grups. Dos són incomplets, el primer (de G-V a G-Z) i l'últim (de L-A a L-L). El altre serà el de voltes completes de lletres (H-A, H-B.... H-Z; I-A, I-B... I-Z; J-A...)
• Mirem el tros G-V fixant-nos en la segona lletra. Tenim 5 casos: v, w, x, y, z
• Amb l'H hi haurà 26 casos (l'H i cadascuna de les 26 possibles segones lletres). Per la I altres 26... i així fins a la K. Si de l'H a la K hi ha 4 lletres tindrem un total de 4·26 = 104 casos
• Mirem el grup final. De L-A a L-L hi ha 12 casos
• En total tenim 5+104+12 = 121 casos
• Per a calcular la probabilitat tenim en compte que hi ha 26·26 = 676 possibilitats.

Fent-ho amb tots els pobles obtenim aquest gràfic que ens mostra, una vegada més, que el sorteig és injust encara. I molt! Ens movem entre el 4 (Mollerussa i Montbanc) i el 54% de probabilitats (Fígols).

I amb dues lletres, però de les que tenim?

Podem mirar, com abans, si jugant amb dues lletres, però de les que tenim en joc, les probabilitats s'equilibren.

En el nostre cas tenim 9 primeres lletres (c, f, g, j, l, m, p, r, t) i 6 segones (a, e, i, l, o, u). Un total de 54 combinacions. Pel cas de Lladurs ara estaríem entre J-A i L-L. Si les comptem hi ha 10 combinacions favorables el que dóna un 18,52%. No ha millorat gaire. De fet, com anteriorment, si juguem amb les lletres presents el sorteig s'equilibra més però sense arribar a ser equitatiu.

En conclusió...

No hi ha remei. Si no tenim una distribució de cognoms molt particular el sorteig serà sempre injust. Ho podem acabar de comprovar mirant tres gràfics: un que compara els sorteigs d'una i dues lletres rifant-les totes, un altre que els compara rifant només sobre les que tenim, i un tercer que ens situa els percentatges de cadascuna de les quatre possibilitats que hem mirat.

Sorteig amb totes les lletres de l'alfabet

Sorteig amb les lletres presents

Les probabilitats dels quatre casos comparades

I a l'aula?

• La primera qüestió serà sempre fer conjectures. Abans de passar a l'estudi discutir sobre si el sorteig estaràs equilibrat, si no, si poc, si molt, per què...
• Després es pot fer l'estudi a partir de que cada alumne calculi el seu cas.
• Podem continuar analitzant les altres possibilitats de sorteig, però potser serà més interessant tornar a discutir sobre possibilitats d'equilibrar el sorteig i estudiar ñes que hem explicat aquí o les altres que surtin.
• Esbrinar casos reals en els que es facin aquests tipus de sorteig.
• Dissenyar models de sorteig equilibrats.
• Investigar sobre les estadístiques dels cognoms. A l'IDESCAT trobem les dades dels cognoms a Catalunya. Així García és el cognom més habitual, seguit de Martínez, López, Sánchez... Podeu buscar el vostre cognom i veure quin lloc ocupa en el rànquing.