Bitllets, números de sèrie i arrel digital

Els bitllets de qualsevol país tenen un sistemes de seguretat per lluitar contra les falsificacions. Aquest sistemes s’han anat sofisticant progressivament: marques d’aigua, papers i tintes especials, impressions en relleu, codis de barres amagats, microimpressions, bandes hologràfiques i iridescents... i un llarg etc. Un dels més inútils però més curiosos és el del número de sèrie dels bitllets. Com a sistema antifalsificacions és inútil perquè és públic, fins i tot per als falsificadors. Però ens dóna informació que pot ser interessant i que pot portar a jocs aritmètics a l’aula.

Hologrames dels bitllets

Per estudiar el números de sèrie hem de diferenciar els bitllets antics dels nous. De moment els nous (a dia d’avui) només els trobem en valors de 5 i 10 euros. Els bitllets “antics” tenen una lletra al número de sèrie. Els “nous” en tenen dues. En tots dos casos la primera lletra ens indica el país d'emissió. Si veieu una V s’ha emès des d'Espanya; una S indicarà Itàlia, etc. El número de sèrie té la característica de que ha de donar un residu concret dividint-lo per 9.

Si voleu saber com funciona i mirar idees per a l’aula només cal seguir llegint.


Qüestions d’ordre

L’ordre de lletres corresponents a cada país s’obté d’una forma curiosa. Potser algú havia de justificar el sou de pertànyer a la comissió que es va encarregar de pensar-ho.

• S’ordenen els països emissors per ordre alfabètic
• S’adjudiquen les lletres en ordre invers
• Es deixen lletres per adjudicar (si no seria massa senzill)

Si voleu consultar la taula completa de països i lletres només cal seguir aquest enllaç. Si no a continuació teniu un mapa amb algunes de les lletres.

Cada país té també un número de seguretat associat al número de sèrie. Aquest número de seguretat és el residu de dividir-lo per 9. Així per Espanya és el 4 i per a Itàlia el 7.

Mirem-ho en aquest bitllet

Està fet a Portugal (lletra M) i té un dígit de seguretat 4. Comprovem-ho

83646772708 : 9 = 9294085856 (residu 4)

En realitat tot no cal saber quin dígit de control té cada país perquè aquest s’adjudica, en realitat, jugant amb el “valor numèric” de la lletra i el número 8. Ho mirem?

El secret del 8

Cada lletra de l’alfabet es pot fer correspondre amb el seu valor numèric d’ordre. Normalment es prescindeix de lletres especials com la ç o la ñ)

A	1	N	14
B	2	O	15
C	3	P	16
D	4	Q	17
E	5	R	18
F	6	S	19
G	7	T	20
H	8	U	21
I	9	V	22
J	10	W	23
K	11	X	24
L	12	Y	25
M	13	Z	26

En aquest altre bitllet d’origen holandès la lletra és la P amb un valor 16.

El seu residu de 16 entre 9 és 7. Quan li falta a 7 per fer 8? Restem 8 menys 7 i obtenim1. Aquest és el “número secret” d’Holanda.

De fet la “regla secreta” és que si agefim el valor de la lletra al número i fem la divisió per 9 el residu ha de ser sempre 8.

P30441950002 → 1630441950002

1630441950002 : 9 = 181160216666 (residu 8)

I als bitllets nous?

Als bitllets nous apareixen dues lletres. La primera continua indicant el país (en aquest cas Bèlgica).  El joc és gairebé el mateix: afegim els valors de les dues lletres a la part numèrica, dividim per 9 i mirem el residu. La diferència és que en els bitllets nous ha de donar 7 en comptes de 8. Mirem-ho amb un bitllet de 5.

Z → 26   B → 2

ZB0200851269 = 2620200851269

2620200851269 : 9 = 291133427918 (residu 7)

Ens estalviem feina?

El residu de la divisió d’un nombre qualsevol entre 9 és molt fàcil d’esbrinar sense fer loperació. Només cal trobar el que es coneix com l’arrel digital del nombre. Aquesta es troba sumant totes les xifres del nombre. Si el resultat té més d’una xifra sumem les del resultat ... i anem fent fins a quedar-nos amb una xifra.

Mirem-ho amb un bitllet de 10 € (que per cert és Francès) i observant com juguem trobar el residu de la divisió per 9 mitjançan l'arrel digital.

U → 21

U34938752747 → 2134938752747

2+1+3+4+9+3+8+7+5+2+7+4+7 = 62  →  6+2 = 8

Amb el bitllet holandès que hem vist abans també funciona

P →16

P30441950002 → 16304419500002

1+6+3+0+4+4+1+9+5+0+0+0+2 = 35 → 3+5 = 8

De fet encara ho podem fer més ràpid si no tenim en compte els nous i els grups de xifres que sumen 9

Si miro el nombre 16304419500002 abans de sumar veig un 9, un 6 i un 3 que sumen 9 i un 5 i un 4.

Si no els tinc en compte (els puc tatxar abans de començar) la suma es redueix a

1+4+1+2 = 8

(16304419500002)

Un altre procediment, que es pot combinar amb els anteriors, és anar sumant i, si la suma mental parcial que porto és un múltiple de 9 segueixo des de zero.

2008512947 → 2+8=10 → 10+5=15 → 15+1=16 → 16+2=18 (ep! 18 és múltiple de 9, segueixo des de 0) → 9 (no el tinc en compte, és múltiple de 9) 4+7=11 (final de la suma) → 1+1=2 (arrel digital)

Idees per a l’aula

• Es pot tractar tot el tema de controls de seguretat i en concret el del número de sèrie, ja sigui explicant-lo o, millor, fent buscar la informació a partir d’una pregunta inicial.
• Es pot fer una cacera de números de bitllets reals. Millor que la facin a casa perquè quedaria molt estrany allò de “la mestra m’ha dit que demà haig de portar un bitllet de 50€ a classe per estudiar-lo”. Amb els números obtinguts podem:




Practicar divisions per 9 a mà en una situació on té sentit i és el residu el que dóna la informació.




Fer les divisions amb calculadora i pensar en com obtenir el residu. El cas de la divisió per 9 és un cas especialment fàcil de resoldre perquè s'observa fàcilment a la part decimal, però es pot presentar el problema general. 




Calcular les arrels digitals i aplicar o descobrir i compartir dreceres per trobar-les ràpidament.

• Fer trucs de màgia: podem fer que ens dictin un número de sèrie (amb lletra inclosa) d’un bitllet vell però que li falti un dígit (que no sigui un 0). Si nosaltres fem l’arrel digital i la restem de 8 tindrem la xifra amagada, menys en dos casos:

si l’arrel digital dóna 8 el número amagat és 9

si l’arrel digital dóna 9 el número amagat és 8

Exemple

• Imaginem que la persona té un bitllet amb el número X33329564633

• Ens el dicta i ens amaga el 5: X3332964633 

• Nosaltres afegim el valor de la X (24) al número: 243332964633 

• Trobem l’arrel digital 2+4+3+3+3+2+9+6+4+6+3+3 =48 → 4+8=12 → 1+2=3 

• Restem l’arrel digital de 8 i sabrem la xifra amagada: 8-3 = 5

Si ens haguessin amagat el 9 hauríem ho sabríem perquè l’arrel digital seria 8

2+4+3+3+3+2+5+6+4+6+3+3 = 44 → 4+4 = 8

Es pot investigar després el per què d’aquesta qüestió del 8 i el 9. Una altra possibilitat és adaptar el truc al cas dels bitllets nous amb dues lletres i nombre clau 7.

Hi ha una manera de trobar més ràpidament el valor de les lletres si recordem aquest "palabro": EJOT (on E és el 5, J és 10, O és 15 i T és 20)

Una possibilitat és preparar un full de càlcul o un applet amb scatch que endevinin la xifra amagada

Teniu un “endevinador” en línia a la pàgina del Divulgamat

En aquest vídeo podem veure a Fernando Blasco fent un altre truc basat en el mateix principi. Heu d'anar al minut 5:30.