Combinatòria i geometria musical

Els continguts d'aquest article són fruit
del treball amb Francina Turon

Les relacions entre música i matemàtiques són múltiples. La construcció de l'escala musical n'és un exemple clar. En aquest article ens centrarem en dos aspectes. El primer abordarà com alguns compositors han jugat amb aspectes combinatoris bàsics. El segon, tractarà sobre com es modifiquen melodies i harmonies amb operacions equivalents als moviments i transformacions, també bàsiques, en el pla (translació, simetria, gir i homotècia).

Dos exemples combinatoris

Podríem dir, simplificant molt, que una melodia és una successió de notes musicals. Segons l'escala que utilitzem (la pentatònica, la diatònica, la cromàtica, etc.), i movent-nos només dins d'una octava, disposarem d'una quantitat de notes determinades (5, 7 o 12 a les que hem citat) i que ordenarem i reordenarem com convingui. El resultat musical ja queda a valoració de cadascun. Evidentment, podem ampliar la tria de notes a més d'una octava i enriquir les nostres melodies. Si parlem d'ordenacions i reordenacions els jocs combinatoris surten de seguida. Volem compartir dos exemples fàcils de comprendre. El primer no té ni notes. És una combinació de palmades i silencis.

La composició Clapping Music (1972) d'Steve Reich és una composició per a dues persones fent palmades. Hi ha ritme base de dotze temps amb 8 palmades i 4 silencis.

Tots dos interpreten junts aquesta seqüència una quantitat determinada de vegades. Habitualment 8. Després un dels músics mantindrà la seqüència, i ho farà durant tota la peça, però l'altra farà una permutació portant el primer so (o silenci) al final i desplaçant tot el conjunt restant a l'esquerra. I així aniran procedint cada vuit repeticions fins a arribar a tocar a l'uníson una altra vegada.

Exemple de les dues primeres permutacions

Podem endevinar que, a la dotzena permutació tornaran a coincidir.

Permutacions completes

Què millor ara que escoltar el resultat:

Un segon exemple purament combinatori és la peça per a piano Tango (1984) de Tom Johnson. Són les 120 combinacions diferents de cinc notes (RE – FA – SOL♯ –LA - SI♭). Tot amb un acompanyament de tango amb la mà esquerra. A continuació teniu un fragment de la partitura en què no es veu l'acompanyament.

Les 24 permutacions del quart temps

Podem ara sentit la peça:

Hem dit que posaríem dos exemples. Però no ens podem estar d'esmentar les combinacions de compassos per a fer minuets tirant uns daus i atribuïda a Mozart: Músicalisches Würfelspiel (Joc de daus musicals). En vam parlar a l'article Combinar i comptar (joguines, poemes, discursos...).

Passem ara a la "geometria".

Transformacions isomètriques

Tenim tres transformacions isomètriques bàsiques que no canvien la forma ni les mesures: la translació, el gir i la simetria. Aquestes seran les primeres que adaptarem a la música.

Deixarem l'explicació amb detall i l'exemplificació de tots els casos per a la 2a part de l'article. Però per obrir boca sobre el tema, mostrarem a què ens referim amb un petit fragment musical. Aplicarem els mateixos moviments a una partitura. Cal dir, especialment respecte a les dues inversions, que ara apliquem una simetria "visual" sobre les notes i la seva posició. Més tard farem una simetria més ajustada, perquè serà tonal.

Ara podem jugar aquestes quatre variants: encadenant-les per ampliar la melodia o superposant-les per donar una mica de riquesa harmònica (encara que per aconseguir-ho "s'ha de saber" i en els exemples no ens hem en sortit gens).

Els grans músics sí que saben fer-ho bé. Veiem exemples?