Set camps iguals

En Pol Trifàsic  ha deixat en herència als seus set fills un camp triangular de 1500, 2000 i 2500 m per costats. Ha fet marques cada 500 m als dos costats petits. Al testament ha deixat clares indicacions de que perquè els set fills es puguin quedar els camps han de saber situar el punt M sobre els costat de 2500 m de forma que els set camps tinguin la mateixa àrea. Ha deixat clares indicacions de que més que dir a quina distància dels vèrtexs el que demana que especifiquin són les propietats geomètriques d'aquest punt.

Els podem ajudar a trobar on ha d'estar M?

Normalment saber la solució ajuda a resoldre el problema. Diuen que Arquimedes aplicava aquest mètode de forma habitual. Primer investigava mecànicament la solució i, quan la tenia, la justificava matemàticament. Nosaltres també podem provar-ho.

Si ja hem trobat el punt experimentalment podem començar a intuir per on van els trets. Vejam! Els set triangles tenen la mateixa base, 500 m, i comparteixen el mateix vèrtex oposat. Si han de tenir la mateixa àrea hauran de tenir la mateixa altura. Per tant el problema real és buscar un punt que, unit perpendicularment als costats de 1500 i del de 2000, sigui equidistant.

Però quines característiques té aquest punt? Que sempre, perpendicularment, està a la mateixa distància dels dos costats. Si traiem la condició de que estigui sobre el costat de 2500 m potser descobrim alguna cosa.

Bé... sembla alguna recta "interessant" del triangle. Quina d'aquestes dues serà?