12 de febrer de 2018

Misteris numèrics a la pintura de Tomasa Martín

Passejant pel carrer Montcada de Barcelona hi ha una petita galeria que porta el mateix nom del carrer on es situa. Més d'una vegada, passa passant, m'han cridat l'atenció uns quadres que tenen exposats a la porta. Em costa descriure què em va fer mirar-los per primera vegada. Potser la proporció del quadre, ben poc habitual (12x73). Potser les textures. Potser els colors, el contrast dels nens pintats amb els fons de grisos matisats o ocres. Potser la composició amb la figura humana lleugerament descentrada. Potser... No sempre sabem descriure per què una cosa ens agrada. Potser no sempre cal.



La seva autora és Tomasa Martín, pintora nascuda a Zamora però afincada de fa anys a Barcelona. Ha exposat a Catalunya, a Espanya i, fins i tot, al Japó. Té altres sèries de quadres. Molt destacables les de llibre o de retrats. En aquest quadre la podem veure autorretratada apilant llibres.


En aquesta sèrie de quadres amb nens i nenes escrivint (a una pissarra?, a una paret?) part del misteri està en el que escriuen: nombres, operacions més o menys curioses, equacions, petits enigmes, figures geomètriques...

Per exemple mirem alguns detalls del quadre "El humor es necesario".


Nombres de l'1 al 7 enmirallats
Algoritme històric per multiplicar d'origen oriental
Petit enigma: quant val cada figura?
Mirem els detalls d'un altre quadre:



Âbac xinès amb el nombre 16040 escrit sense "arreglar"
Quan val el quadrat?
Si voleu continuar llegint us mostrarem alguns exemples més però, sobre tot, ens centrarem en l'estudi de les misterioses sèries numèriques que hi trobem als quadres de Tomasa Martín i a les funcions que es poden associar. També descobrirem unes sumes que no són mai sumes.

Voleu descobrir més?
Cal avisar que les imatges dels quadres les he anat recopilant d'internet, moltes del propi web de l'autora. D'aquí que les ampliacions dels detalls no puguin ser de gran qualitat. Un segon avís es refereix a que no faré una mostra exhaustiva dels detalls matemàtics. Us convido a descobrir-los. Em limitaré a assenyalar les sèries que he anat trobant i que ens poden fer pensar en representar-les com a funcions. També en les "pesudosumes".

Sèries

Si mirem més en detall el primer quadre que hem mostrat veurem que la noia està escrivint una sèrie numèrica d'una forma que matemàticament no ens agradaria gens però que és perfectament vàlida en el terreny artístic.


És una sèrie fàcil: cada nombre és "igual" a la seva meitat. Els podem representar gràficament.


Si representem la funció en forma d'equació tenim:


Una sèrie semblant apareix al quadre Words, words, words però en forma d'enigma.


Al costat esquerra de la nena llegim una sèrie que comença amb la paraula "Si" i al costat del darrer terme mostra un interrogant.


Ara mirem el detall de la sèrie que apareix, a la dreta del nen. És el mateix quadre en el que apareixia també un àbac:


Si representem els punts sobre un gràfic veiem que ara no semblen formar una línia recta.

Escala dels eixos 1:5

Al quadre l'interrogant ens demana el valor per 6. Tant a primària com als primers cursos d'ESO no serà difícil que esbrinin el valor que falta observant les regularitats de la taula, especialment les diferències successives.


D'aquesta manera es podria continuar la sèrie fins on volguéssim. Però i si volem "saltar". Quin valor correspondria , per exemple, a 415?

A partir de 3r d'ESO poden intuir que la línia que formen els punts és una paràbola i que tindrem una funció de segon grau, amb algun "quadrat". El fet de que les segones diferències siguin constants també ens proporciona una pista semblant. Però, tant al final de la primària com a inicis de la secundària, segur que poden descobrir d'alguna manera, ni que sigui per "assaig i millora", com es calculen els valors. I no cal que ens ho escriguin en forma algebraica. Ens ho poden explicar de de forma retòrica i ser nosaltres qui fem la traducció a l'àlgebra. Ens poden descriure el càlcul d'una forma semblant a aquesta:

"Es multiplica el número pel seu doble"


Ja tenim la idea per portar el tema a l'aula:
  • Mostrar la sèrie del quadre.
  • Fer taules i, si cal, buscar diferències.
  • Trobar el càlcul ocult i descriure'l.
  • Si s'escau escriure una fórmula.
  • Si cal representar el gràfic.
Hi ha tot un joc de fer conjectures i confirmarles.

Mirem més quadres

Veiem un detall de El humor es necesario amb una sèrie plantejada d'una forma una mica diferent.


Aquesta vegada no ens convé llegir els nombres de l'esquerra tal com estan escrits. Si en comptes de 113 llegim per separat 11 i 3 no serà difícil descubrir la pauta.

11 i 1 = 13
11 i 2 = 24
11 i 3 = 35
11 i 4 = 46
11 i 5 = 57
11 i 6 = 68
11 i 7 = 79
11 i 8 = ?  

Veient la diferència constant entre dos termes consecutius ja veiem que la funció que s'obté és una recta que no passa per l'origen de coordenades.


Quan val la x?

Al quadre Live the present apareix una altra sèrie formulada de forma estranya.


| | = 98
| | | = 87
| | | |  = 76
| | | | | = 65
| | | | | | = ?

En aquest cas no tenim clar el valor de la x. Sí que podem observar que la sèrie baixa d'11 en 11 i que serà del tipus -11x+b. Ens podem inclinar per pensar que dos palets són 2, tres palets són 3, etc. Tindrèim la funció y = -11x +120. De fet, és la proposta més neta.



Si no estem conformes podem fer una petita investigació per cercar per a quins valors de b  obtenim com a x un nombre natural. Si ho fem veurem que són de la forma 11n+10. Però ara hauríem de jugar amb els palets per donar una coherència a la seva lectura. Una opció possible, diferent a l'anterior, seria pensar que dos palets fan un 11 i els altres dos palets serien el valor de la x. Tindríem una taula i una fórmual associada com aquestes:

| | → | | (0) = 98
| | || | (1) = 87
| | | || | (2) = 76
| | | | || | (3) = 65
| | | | | || | (4)= ? 

y = -11x +98
Una altra manera d'interpretar la taula produirà una tercera funció:

| | → | | + 0 = 98
| | || | + 1 = 87
| | | || | + 2 = 76
| | | | || | + 3 = 65
| | | | | || | + 4 = ? 

y = -11x +219
Operacions estranyes
En aquest altre quadre podem observar, a la part esquerra, unes sumes "sense sentit"


2 + 3 = 10
6 + 5 = 66
8 + 4 = 96
7 + 2 = 63
9 + 7 = ?

Quina operació s'està fent? D'entrada podem observar que el resultat sempre és múltiple del primer nombre. Fent la divisió no costarà descobrir que es multiplica per la suma del primer i el segon. Així sabrem que 9 + 7 → 9·(9+7) = 9·16 = 144.
a · (a+b)
A un dels quadres que hem mostrar anteriorment, per comentar una sèrie que apareixia a la dreta del nen, també podrem observar altres sumes sense sentit aparent.
 
1 + 4 = 5
2 + 5 = 12
3 + 6 = 21
8 + 11 = ?

 No és difícil esbrinar el seu secret. En tot cas, d'aquesta sèrie i de les següents escriurem les solucions al final de l'article.

Una sèrie que dona més per pensar és la que trobem en aquest quadre a la dreta de la noia:


8 + 2 = 16106
5 + 4 =  2091
9 + 6 = 54153
7 + 5 = 35122
20 + 3 = 602317
14 + 8 = ?

I per acabar una de la que no tinc imatge del quadre general i la del detall no és massa bona. Però convé posar-la perquè dona "més guerra", ja que no funciona de la mateixa forma que les anteriors.



I a l'aula?
Hi ha activitats que són evidents: les d'investigar els quadres, descobrir els elements matemàtics (i no matemàtics), resoldre els enigmes, continuar les sèries o descobrir les lleis amagades, representar-les de diferents maneres, investigar les pseudosumes... Però hi ha altres possibilitats.
  • Inventar sèries o operacions pròpies.
  • Crear obres inspirades en les de Tomasa Martín. I quan dic crear més aviat vull dir recrear, partir de... per fer obres diferents. L'Ester Forné, de l'àmbit artístic del CESIRE, sempre ens parla de que no s'ha d'imitar sinó agafar les obres dels artistes com a punt de partida per fer coses noves.
  • Discutir sobre el per què d'aquestes sèries operacions. Què ens vol comunicar l'autora?
Busque-ne més!
Us convido a buscar quadres de Toamasa Martin a la xarxa. O millor: visitar alguna sala on exposi. I continuar la cerca de detalls matemàtics, sèries o operacions estranyes. Us esperen espirals, fórmules, nombres cíclis, enigmes... Però no ho perdem de vista: és un joc afegit a l'observació i gaudi del quadre. Camineu!


Solucions

1 + 4 = 5  → 1·(4+1) = 5
2 + 5 = 12 → 2·(5+1) = 12
3 + 6 = 21 → 3·(6+1) = 21
8 + 11 = ? → 8·(11+1) = 96


8 + 2 = 16106  → 8·2 | 8+2 | 8-2 → 16106
5 + 4 =  2091  → 5·4 | 5+4 | 5-4 → 2091
9 + 6 = 54153  → 9·6 | 9+6 | 9-6 → 54153
7 + 5 = 35122  → 7·5 | 7+5 | 7-5 → 35122
20 + 3 = 602317  → 20·3 | 20+3 | 20-3 → 602317
14 + 8 = ?  → 14·8 | 14+8 | 14-8 → 112226

 Aquesta darrera sèrie és recurrent; utilitza els resultats anteriors

1 + 4 = 5
2 + 5 = 12 → 2+5+5 = 12
 3 + 7 = 22 → 3+7+12 = 22
 5 + 6 = 33 → 5+6+22 = 33
7+ 5 = 45 → 7+5+33 = 45
9 + 3 = 57 → 9+3+45 = 57
4 + 2 = ? → 4+2+57 = 63

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada