Nombres figurats i càlcul d'àrees de polígons regulars. Una connexió dubtosa

Al llibre Las matemáticas de la Edad Media (2015), de Pablo Martín Prieto, s'esmenta que, com a mètode pràctic de càlcul dels polígons regulars, als agrimensors se'ls recomanava utilitzar unes fórmules aproximades relacionades amb els nombres figurats, també coneguts com a nombres poligonals. L'aritmo-geometria, que estudia aquests nombres, té el seu origen a l'Escola Pitagòrica i els més coneguts són els triangulars i els quadrats. Recordem, breument, aquesta família de nombres, que representem sempre amb punts.

• Nombres triangulars

Comencem amb un punt que representarà el nombre 1. A continuació, afegim una fila amb 2 punts: serà el nombre 3 (1+2). Després afegirem una tercera fila amb tres punts i obtindrem un total de 6 (1+2+3). I continuem indefinidament: 10 (1+2+3+4), 15 (1+2+3+4+5), 21 (1+2+3+4+5+6), etc.

• Nombres quadrats

Si ara , també començant des de l'1, disposem els punts formant quadrats, obtindrem una sèrie diferent: 1, 4 (1+3), 9 (1+3+5), 16 (1+3+5+7), 25 (1+3+5+7+9), 36 (1+3+5+7+9), etc.

• Nombres pentagonals

Comencem de nou. i sempre ho farem així, per l'1. Ara les disposicions seran pentagonals i la sèrie obtinguda 1, 5 (1+4), 12 (1+4+7), 22 (1+4+7+10), 35 (1+4+7+10+13), 51 (1+4+7+10+13+16), etc.

D'aquesta manera podem continuar construint noves sèries de nombres hexagonals, heptagonals, octogonals... Per a trobar el terme n de cada sèrie existeixen fórmules específiques:

De fet, existeix una fórmula general dels nombres figurats. Si anomenem c a la quantitat de costats del polígon i n al terme específic de la sèrie, la fórmula és la següent:

Podeu veure una demostració en aquest document

La qüestió és que en alguns llibres de l'Edat Mitjana adreçats principalment a agrimensors, com hem dit abans, se suggeria com a mètode pràctic aplicar aquesta fórmula per a aproximar les àrees dels polígons regulars. Per a calcular l'àrea n seria la longitud del costat i c la quantitat de costats del polígon concret. No calia cercar l'apotema i fer arrels quadrades ni càlculs trigonomètrics. Era molt més senzilla perquè només demanava fer un quadrat, com a molt dos productes, una suma i una divisió per dos. De fet, el que acostumaven a fer era donar les fórmules adaptades a cada polígon particular. És a dir, les de la taula anterior. Però, era una bona aproximació?

Estudiem el problema?