Tallar i multiplicar

Per a SM, per "donar idees" sempre

Hi ha problemes que són especials, i el que ho fa, és la possibilitat d'explorar-los de formes diferents segons el nivell educatiu en que ens moguem. Això vol dir que el problema no s'esgota. Que permet diferents aprofundiments i que, com aquest, ens porten de la primària al batxillerat. Mirem una forma "bàsica" d'enunciar-lo:

Si tallem un nombre en diferents parts i les multipliquem entre si... com podem obtenir el producte màxim?

Per exemple, 37 es pot tallar en tres trossos: 5, 12 i 20. El producte és 1200. Es pot obtenir un producte més gran?

 

 
Comencem a estudiar el problema?

• 1a exploració: Quin paper fa l'1?

 De cara al producte poc. "Deixa" els resultats igual. No compta. Per tant.... evitem-lo.

6 = 1+5 → 1·5 = 5

6 = 1+1+1+1+1+1+1 → 1·1·1·1·1·1·1 = 1

• 2a exploració: Si el tallem en dos trossos només... és millor que siguin molt iguals o molt diferents?

Només cal experimentar una mica per veure que quan més iguals són els dos trossos el producte serà més gran:

13 = 2+11 → 2·11=22

13 = 6+7 → 6·7 = 42

Aquesta idea la podem "traduir" geomètricament com l'àrea d'un rectangle i observar que, per un mateix perímetre, quan "més quadrat" sigui el rectangle obtingut, més àrea tancarà.

A primària i a 1r o 2n d'ESO podem treballar només amb nombres naturals (mireu la part final de l'article). A ESO es poden estudiar les funcions associades y = 13-x → A= x·(13-x) i observar que el producte màxima s'obté just a la meitat de 13, quan les dues part són exactament iguals.

Podem estudiar la funció de forma més general amb aquest applet fet amb GeoGebra. Movent el punt lliscant variarem el nombre a "tallar" entre 1 i 15.

I, a batxillerat, ... podem derivar.

• 3a exploració: I en tres, quatre, cinc.... trossos?

Aquí comencen a aparèixer idees aritmètiques interessants. Si fixem una quantitat de trossos observarem, com en el cas de dos trossos, que quan més iguals siguin, més gran serà el producte.

En el cas de tres trossos podem relacionar el problema amb arestes d'ortoedres i volums màxims. Equiparant al cas de dos trossos (rectangles i quadrats) observarem que el volum màxim el dóna el cub, quan fem tres parts iguals.

A les possibles divisions en quatre trossos, en cinc... la  regla s'estén: el producte màxim el trobem quan les parts són iguals.

• 4a exploració: Bé... la parts han de ser iguals... però quantes en faig?

Experimentem amb el nombre 7

Nombre: 7
trossos	mida	càlcul	producte
1	7	71	7
2	3,5	3,5·3,5	12,25
3	2,33	2,33·2,33·2,33	12,7
4	1,75	1,754	9,38
5	1,4	1,45	5,38
6	1,66	1,666	2,52
7	1	17	1

Experimentem ara amb el nombre 10

Nombre: 10
trossos	mida	producte
1	10	10
2	5	25
3	3,33	37,04
4	2,5	39,06
5	2	32
6	1,66	21,43
7	1,42	12,14
8	1,25	5,96
9	1,11	2,58
10	1	1

Podem observar que interessa tenir una mida de la part no gaire gran per poder obtenir el producte màxim.

Aquí comença a jugar el concepte de potència i les característiques d'aquesta operació. La base serà la mida del tros i l'exponent la quantitat de parts.

a → nombre                 n  → trossos                  a/n → mida

Com sabem, a les potències, en la mida del resultat acostuma a tenir més pes l'exponent que la base. És més gran 2⁵ =32 que 5²=25. Si la mida és petita (però tampoc massa) l'exponent serà més gran i, en conseqüència també ho serà el resultat.

Anem a batxillerat? Podem estudiar la funció. Per exemple experimentant amb aquest applet fet amb GeoGebra.

• 5a exploració: Canviem el xip? I si importa més la mida de la part que la quantitat d'aquestes?

Les taules anteriors, i altres similars que podríem haver construït, ens mostrarien que sembla interessant que la mida del tros estigui a prop de 3 sense arribar-hi. La gràfica anterior també ens mostra que el producte màxim s'obté per una divisió en trossos que no són un nombre natural. I si canviem la mirada? No serà que la pauta ens la dóna la mida del tros i no la quantitat de trossos?

Experimentem en tallar el 7 en trossos que tinguin una mida entre 2 i 3. Les mides dels trossos les posem entre cometes perquè ara no són nombres naturals. Treballarem amb dos decimals.

Ens adonem de la jugada? Haurem d'agafar la calculadora científica i posar exponents decimals! L'alumnat de primària o ESO veuran que la calculadora respon i dóna resultats. Algun dia ja donarem significat a aquests exponents "decimals"

Nombre: 7
mida	"trossos"	producte
2	3,50	11,31
2,1	3,33	11,86
2,1	3,18	12,29
2,3	3,04	12,62
2,4	2,92	12,85
2,5	2,80	13,01
2,6	2,69	13,10
2,7	2,59	13,13
2,8	2,50	13,12
2,9	2,41	13,07
3	2,33	12,98

Provem amb el 10?

Nombre: 10
mida	"trossos"	producte
2	5	32
2,1	4,76	34,23
2,1	4,55	36,01
2,3	4,35	37,39
2,4	4,17	38,39
2,5	4,00	39,06
2,6	3,85	39,45
2,7	3,70	39,60
2,8	3,57	39,54
2,9	3,45	39,31
3	3,33	38,94

La "caça" comença a funcionar. Podem provar amb més nombres. Repartim-ho entre la classe. Fer servir fulls de càlcul... Sembla que mida ideal és 2,7.

I, si ens animem, anem a caçar un segon decimal entre 2,6 i 2,8? Descobrirem que la mida del tros serà de 2,72. I si volem pescar un altre decimal? Trobarem 2,718. Aquest ja comença a ser un nombre conegut.

Però abans. Tornem a batxillerat. Dibuixem la nova funció:

a → nombre                 x  → mida                  a/x → "trossos"

Podem practicar amb aquesta funció amb GeoGebra i veure que el producte màxim sempre s'obté per un mateix valor. Amb aquest applet pots, com abans, fer canviar el valor del nombre a tallar fins a 15.

• 6a exploració: Quina és la mida del tros?

Una resposta aproximada ja la tenim a l'apartat anterior. La "caça" de decimals ens portaria a 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995... El coneixeu? Com un fantasma vingut de no se sap on ens ha aparegut el nombre e, una de les constants matemàtiques més importants. A l'igual que Π és irracional i transcendent, però no és tan conegut. Apareix en problemes de creixement (interessos bancaris, població...), a la fórmula de la catenària (i, per tant, a les teranyines de les aranyes o les corbes de les veles inflades pel vent).

Aquí tenim un vídeo en el que el divulgador matemàtic Adrián Paenza ens parla de e.

Com que e té infinits decimals podeu buscar la vostra data de naixement, el vostre DNI o telèfon entre els seus decimals. Podeu fer-ho aquí.

Demostrar per què apareix e ho deixarem per batxillerat, que és on "deriven".

• Resposta final

Si tallem un nombre en diferents parts i les multipliquem entre si... com podem obtenir el producte màxim?

Hem de fer un nombre de parts tal que la mida s'acosti el màxim a e.

Exemple. En quantes parts hem de dividir el nombre 57?

• 57 : e = 20,96... ≈ 21
• 57 : 21 = 2,714...
• 2,714²¹ = 1 275 870  834

Clar... que amb més decimals de la divisió millorem el resultat!

• I amb nombres naturals?

A primària o a principis de l'ESO pot ser molt interessant treballar aquest problema només amb nombres naturals. La solució que trobarem en aquest cas és que cal dividir en el màxim nombre de tresos i, si cal, utilitzar un o dos dosos. Pot ser interessant que sàpiguen definir els casos en què es pot fer només amb tresos, en quins cal un dos i en quins en calen dos.