Triangles d'or

Amb aquest títol apareixia un petit còmic-problema al primer número de la revista Cacumen (febrer 1983, pàgines 20 i 21). És una bona excusa per treballar els nombres triangulars.

El problema és aquest:

"A un castell hi viuen un comte, un majordom i un jardiner.

Una nit el comte torna tot content al castell perquè ha guanyat una petita fortuna en monedes d'or. A la seva habitació munta un "triangle d'or" amb totes les seves monedes.

Quan el comte dorm el majordom entra a robar-li algunes monedes. Per tal de que el comte no s'adoni li deixa una quantitat amb la que encara queda un triangle sencer més petit. Quan arriba a la seva habitació ell mateix veu que pot muntar també un triangle amb les monedes que ha robat.

Tot content es posa a dormir i llavors el jardiner aprofita per entrar a l'habitació del majordom i robar-li algunes monedes, però deixant-li un triangle muntat perquè el furt no sigui descobert. El jardiner descobreix que amb el que ha agafat també por muntar el seu propi "triangle d'or".

Sabem que aquella nit el comte havia guanyat menys de 300 monedes. Podem esbrinar quina va ser la quantitat exacta?"

Seguim una resolució tot veient possibles idees per treballar a l'aula?

Nombres triangulars

Que els personatges de la nostra història puguin "fer triangles" amb les monedes significa que estan treballant amb els coneguts nombres triangulars.

Els cinc primers nombres triangulars

Aquesta sèrie de nombres apareix a molts problemes i ofereix moltes possibilitats de treball. El nostre problema pot ser un bon pretext per parlar-ne.

Els nombres triangulars al triangle aritmètic (o de Pascal, de Tartaglia, Yang Hui...)

Solucionem el problema

Sabent la llei de construcció (el nombre triangular n s'obté sumant tots els naturals des d'1 fins a n) o veient que es poden obtenir de forma recursiva, no és difícil fer-se una llista utilitzant la calculadora o un full de càlcul.

Què hem de buscar? Un nombre triangular C (comte) del que puguem treure un altre nombre triangular M (majordom) i que a aquest M li puguem treure un altre nombre triangular J (jardiner) i, sempre, que el quedi sigui també un nombre triangular (C-M i M-J).

La solució que proposava la revista era la següent. L'anomenem solució 1:

C → 231 (21è nombre triangular) 

M → 21 (6è nombre triangular) i deixa 210 (20è triangular)

J → 6 (3r triangular) i deixa 15 (5è triangular)

És una solució que sembla molt adequada per a la història del problema. A cada triangle li trec un fila "llarga" i queden unes quantitats raonables perquè la diferència visual d'un triangle a un altre no sigui gaire gran. Però podem veure en aquesta taula acolorida que hi ha alguna solució més:

• Solució 2:

C → 21 (6è nombre triangular)

M → 6 (3r nombre triangular) i deixa 15 ( t₅ )

J → 3 ( t₂ ) i deixa també 3

Però en aquest tipus de solucions ens hem autoimposat una regla: agafar només de la darrera fila. Si en robem de més d'una apareixen noves solucions, com aquesta de l'exemple:

C → 66 ( t₁₁ )

M → Agafa 21 ( t₆ ) i deixa 45 ( t₉ )

J → Agafa 6 ( t3 ) i deixa 15 ( t₅ )

Si traiem el límit de monedes hi ha infinites ternes de nombres triangulars que acompleixen les condicions del problema. Per exemple, podem fer qualsevol terna aplicant una regla recurrent

• comencem per un nombre triangular t₁ (J)
• li sumem un altre nombre triangular t₂ de forma que el resultat també sigui triangular (M)
• li sumem el nombre triangular t₃ mirant que el resultat també ho sigui (C)

Aquí tenim un exemple en el que el jardiner roba més que el majordom

• comencem amb 91 ( t₁₃ )
• si sumem 990 ( t₄₄ ) obtenim 1081 ( t₄₆ )
• si ara sumem 630 ( t₃₅ ) obtenim 1711 ( t₅₈ )

 I a l'aula?

• Podem fer una cerca exhaustiva de solucions amb un límit superior de monedes. Per exemple la de la història: 300.
• Podem buscar diferents solucions del problema canviant les condicions.
• Es pot resoldre amb nombres quadrats?
• Podem buscar la fórmula que genera els nombres triangulars i, si ens animem a fer una equació de segon grau, buscar la fórmula que comprova si un nombre és triangular o no

Fórmula que genera nombres triangulars

Fórmula per comprovar si un nombre és triangular x (n haurà de ser natural)

• També podem estudiar propietats dels nombres triangulars com aquestes quatre

La suma de dos nombres triangulars consecutius és un nombre quadrat 

Si multipliquem per 8 un nombre triangular i sumem 1 obtenim un nombre quadrat

Si multipliquem per 9 un nombre triangular i li sumem 1 obtenim un altre nombre triangular

La suma de n nombres triangulars dóna un nombre tetraèdric

• Treballar amb problemes en els que apareixen els nombres triangulars: quantes encaixades de mà es fan n persones quan es saluden al trobar-se a una reunió? Quants partits es jugaran en una lliga de n equips?

Quantes cartes calen per formar un castell de n pisos?

Quants cubets calen per fabricar una torre de n pisos?