Problemes a sobrebot

Per acomiadar el curs i aprofitar el relax estiuenc us proposarem alguns dels problemes que Martin Gardner va recollir i qualificar com per resoldre "al bot", de forma ràpida. Apareixen al vuitè capítol del seu llibre Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas. Gardner recull 38 problemes del tipus "idea feliç". Són reptes de diferent dificultat, però que sempre es poden resoldre de forma més fàcil i ràpida si, tal com diu l'autor, "se'ls enfoca adequadament". Tot seguit us en presentem una tria respectant la numeració original.

• Problema 1. Es vol construir l'esquelet d'un cub de filferro rígid de 10 cm de costat. Disposem de 12 varetes de 10 cm de longitud soldant-les de tres en tres als vuit vèrtexs del cub. Un amic suggereix que utilitzant varetes més llargues i doblegant-les en angles rectes als vèrtexs reduiríem els punts de soldadura. Fent cas al nostre amic... quin seria el nombre mínim de vèrtexs a soldar per construir un cub rígid?

• Problema 3. Tenim el rei a un angle de la diagonal del tauler i un cavall a l'angle diagonalment oposat. El cavall és el primer en moure. Durant quantes jugades podrà el rei evitar l'escac?

• Problema 7: Tracem amb un llapis negre una corba tancada de forma arbitrària.

Amb un llapis vermell, i per sobre de la negra, dibuixem una segona corba tancada amb la condició de no passar mai per una de les interseccions que es vagin creant.

Assenyalem amb un cercle cadascun dels punts on una corba talla l'altra.

Cal demostrar que la quantitat de punts obtinguts és sempre parell.

• Problema 8. Poseu un símbol matemàtic entre el 2 i 3 per expressar un nombre més gran que 2 i més petit que 3.

• Problema 10. Cadascun dels costats iguals d'un triangle isòsceles és de longitud unitat. Sense ajut del càlcul diferencial cal trobar la longitud del costat desigual de forma que l'àrea del triangle sigui màxima.

• Problema 14. Al 1938 es va publicar a la revista Time que un tal Samuel Isaac Krieger havia descobert un contraexemple del teorema de Fermat. El teniu a la imatge inferior. Tot i no revelar l'exponent un periodista del New York Times va poder demostrar fàcilment que Krieger estava equivocat. Com ho va fer?

• Problema 16. S'agafa a l'atzar un punt situat a uns quants quilòmetres de l'edifici del Pentàgon. Quina és la probabilitat de que des d'aquest punt es vegin tres dels seus costats?

• Problema 19. La "superdama" o "amazona" és una reina d'escacs dotada també del moviment del cavall. Com situarem quatre "superdames" en un tauler de 5x5 sense que cap d'elles amenaci a les altres? I, si ho aconseguiu, com poder col·locar 10 "superdames" en un tauler de 10x10?

Caselles amenaçades per la "superdama".
En verd les que amenacen el moviment de cavall

• Problema 24. Al nostre país una data com el 6 de desembre de 2014 l'escrivim 6/12/14. Als països anglosaxons, en canvi, escriuen primer el mes i després el dia: 12/6/14. Si no sabem quin dels sistemes s'està utilitzant, quantes dates quedarien indeterminades al llarg d'un any?

• Problema 29. A una circumferència l'inscrivim i li circumscrivim un parell d'hexàgons regulars. Si l'àrea de l'hexàgon inscrit és de tres unitats de superfície, quina és la de l'hexàgon circumscrit?

• Problema 33. Disposem d'un cub vermell i d'una provisió suficient de cubs blancs d'idèntica grandària. Quin és el nombre més gran de cubs blancs que podem col·locar en contacte amb el cub vermell? Entenem que "està en contacte" si un tros de superfície de la cara d'un cub blanc toca un tros de superfície d'una de les cares del cub vermell. Els contactes pels vèrtexs o les arestes no compten.

Intenta fer els problemes. I si no... continua llegint per veure les solucions.