Problemes a sobrebot

Per acomiadar el curs i aprofitar el relax estiuenc us proposarem alguns dels problemes que Martin Gardner va recollir i qualificar com per resoldre "al bot", de forma ràpida. Apareixen al vuitè capítol del seu llibre Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas. Gardner recull 38 problemes del tipus "idea feliç". Són reptes de diferent dificultat, però que sempre es poden resoldre de forma més fàcil i ràpida si, tal com diu l'autor, "se'ls enfoca adequadament". Tot seguit us en presentem una tria respectant la numeració original.

• Problema 1. Es vol construir l'esquelet d'un cub de filferro rígid de 10 cm de costat. Disposem de 12 varetes de 10 cm de longitud soldant-les de tres en tres als vuit vèrtexs del cub. Un amic suggereix que utilitzant varetes més llargues i doblegant-les en angles rectes als vèrtexs reduiríem els punts de soldadura. Fent cas al nostre amic... quin seria el nombre mínim de vèrtexs a soldar per construir un cub rígid?

• Problema 3. Tenim el rei a un angle de la diagonal del tauler i un cavall a l'angle diagonalment oposat. El cavall és el primer en moure. Durant quantes jugades podrà el rei evitar l'escac?

• Problema 7: Tracem amb un llapis negre una corba tancada de forma arbitrària.

Amb un llapis vermell, i per sobre de la negra, dibuixem una segona corba tancada amb la condició de no passar mai per una de les interseccions que es vagin creant.

Assenyalem amb un cercle cadascun dels punts on una corba talla l'altra.

Cal demostrar que la quantitat de punts obtinguts és sempre parell.

• Problema 8. Poseu un símbol matemàtic entre el 2 i 3 per expressar un nombre més gran que 2 i més petit que 3.

• Problema 10. Cadascun dels costats iguals d'un triangle isòsceles és de longitud unitat. Sense ajut del càlcul diferencial cal trobar la longitud del costat desigual de forma que l'àrea del triangle sigui màxima.

• Problema 14. Al 1938 es va publicar a la revista Time que un tal Samuel Isaac Krieger havia descobert un contraexemple del teorema de Fermat. El teniu a la imatge inferior. Tot i no revelar l'exponent un periodista del New York Times va poder demostrar fàcilment que Krieger estava equivocat. Com ho va fer?

• Problema 16. S'agafa a l'atzar un punt situat a uns quants quilòmetres de l'edifici del Pentàgon. Quina és la probabilitat de que des d'aquest punt es vegin tres dels seus costats?

• Problema 19. La "superdama" o "amazona" és una reina d'escacs dotada també del moviment del cavall. Com situarem quatre "superdames" en un tauler de 5x5 sense que cap d'elles amenaci a les altres? I, si ho aconseguiu, com poder col·locar 10 "superdames" en un tauler de 10x10?

Caselles amenaçades per la "superdama".
En verd les que amenacen el moviment de cavall

• Problema 24. Al nostre país una data com el 6 de desembre de 2014 l'escrivim 6/12/14. Als països anglosaxons, en canvi, escriuen primer el mes i després el dia: 12/6/14. Si no sabem quin dels sistemes s'està utilitzant, quantes dates quedarien indeterminades al llarg d'un any?

• Problema 29. A una circumferència l'inscrivim i li circumscrivim un parell d'hexàgons regulars. Si l'àrea de l'hexàgon inscrit és de tres unitats de superfície, quina és la de l'hexàgon circumscrit?

• Problema 33. Disposem d'un cub vermell i d'una provisió suficient de cubs blancs d'idèntica grandària. Quin és el nombre més gran de cubs blancs que podem col·locar en contacte amb el cub vermell? Entenem que "està en contacte" si un tros de superfície de la cara d'un cub blanc toca un tros de superfície d'una de les cares del cub vermell. Els contactes pels vèrtexs o les arestes no compten.

Intenta fer els problemes. I si no... continua llegint per veure les solucions.

Solucions

• Problema 1. Continuen havent-hi 8 punts de soldadura. Ja que a cada vèrtex concorre un nombre senar d'arestes, tres en el cas del cub, no podem estalviar-nos-en cap.

• Problema 3. Es pot evitar l'escac tota l'estona que es vulgui. El cavall canvia de color a cada moviment. L'únic que ha de fer el rei és moure cada vegada al mateix color en el que està el cavall.

• Problema 7. La corba negra divideix el pla en diferents regions. Cada vegada que la línia vermella entra en una d'aquestes regions ha de tornar a sortir, ja que si no és així no tornaria al punt de partida per tancar-se. Com que cada entrada comporta una sortida el total de punts serà parell.

• Problema 8. En tenim prou amb afegir una coma decimal entre el 2 i el 3.

2 < 2,3 < 3

• Problema 10. Tenint en compte que l'àrea depèn de la mida de la base i de l'altura podrem veure que, si fem girar un dels costats iguals al voltant del vèrtex compartit, l'àrea màxima l'obtenim quan el triangle és rectangle, amb base i altura 1. Per tant l'altre costat mesurarà √2.

• Problema 14. El primer dels nombres, 1324, acaba en 4. Qualsevol de les seves potències acabarà en 6 o en 4. Les potències dels altres dos nombres, 731 i 1961, acabaran en 1. Si observem la fórmula proposada veurem que la suma de potències de l'esquerra acabarà en 7 (6+1) o en 5 (4+1), mentre que la del costat dret de la igualtat acabarà sempre en 1. La igualtat és falsa.

• Problema 16. La demostració que explica Martin Gardner de que la probabilitat és 1/2 és la següent: imaginem dues persones que estan en dos punts diametralment oposats del pentàgon. Agafant prou distància mentre un vegi dos costats l'altre en veurà tres.

• Problema 24. Les dates ambigües en un mes són aquelles en les que no podem distingir dia de mes. Per tant, en principi, qualsevol dia de l'1 al 12. Però cada mes hi ha un dia d'aquesta llista que no és ambigu, quan número de dia i número de mes coincideixen (per exemple 7/7/14). Això fa 11 dies indeterminats per mes: 11·12 = 132 dies cada any.
  
• Problema 19. A les imatges podem veure les dues solucions. La de 5x5 ens ajuda a esbrinar les característiques de les posicions de les "superdames" a la situació de 10x10.

• Problema 29. Hi ha una possible divisió dels dos hexàgon en triangles iguals. L'inscrit en té 18 i el circumscrit 24. La relació és, per tant 18/24 que, simplificada, queda en 3/4. Donat que l'àrea del petit és 3 la del gran serà 4.

• Problema 33. A l'article original de la revista Investigació i Ciència Gardner va donar una solució amb 20 cubs blancs que explicava de la següent manera: podem fer una base de 7 cubs blancs que toquin el cub vermell, tal com es veu a la imatge inferior.

De la mateixa manera podrem fer un "sostre" de 7 cubs. Entre "terra" i "sostre" podem col·locar lateralment dos cubs blancs en contacte amb cada cara del cub vermell. En total s'obtenen 20 cubs (7 al "terra", 7 al "sostre" i 6 laterals).

El que és més interessant és que Gardner va rebre posteriorment solucions dels lectors que milloraven la seva fins a 24 cubs. Us convidem a mirar-les en el seu llibre.

---

I, com a comiat de vacances, us convidem a sentir una coneguda cançó de bressol d'estiu per sentir-la després de dinar, quan al carrer fa més calor i no convé sortir, quan el sofà ens crida pel nostre nom...