Despenjant quadres algebraicament (o gairebé)

En jocs, com ara els escacs o el futbol, acceptem participar en una mena de realitat irreal i amb unes regles pactades per la pura satisfacció que obtenim mentre juguem. No qüestionem la lògica de les regles ni la dels objectius. Les virtuts o defectes d'aquestes normes i finalitats són, precisament, les que diferencien els bons i els mals jocs. Per altra banda, si mirem l'objectiu final d'un joc observarem que té sempre forma de repte (alinear tres fitxes, encistellar més pilotes que el contrari). Si analitzem les normes veure que les condicions delimiten la forma d'assolir aquest objectiu (hem de colpejar la pilota amb una raqueta i no amb qualsevol part del cos, la torre mou en vertical o horitzontal). Si ho mirem així veurem que les matemàtiques tenen molt de joc. Per exemple, a l'antiga Grècia només s'acceptava dibuixar un triangle (objectiu) amb un regle sense graduar i un compàs col·lapsable (regles). A partir del repte decidim si volem jugar. Com que és un joc no li demanem sentit pràctic. El repte que us presentem avui té aquestes característiques. Un repte sense cap utilitat pràctica directa però que ens pot enganxar per poc que aprofundim una mica intentant generalitzar-lo.

Imaginem que tenim un quadre penjant d'un clau, mitjançant una corda, com el de la imatge.No cal dir que si traiem el clau el quadre caurà.

Ara imaginem que pengem el quadre de dos claus A i B.

Si traiem el clau A el quadre no caurà perquè encara penjarà del B. Si traiem el clau B el quadre quedarà penjant de l'A.

El problema és justament aquest:

Com podem posar la corda perquè el quadri s'aguanti amb els dos claus però si en traiem un de qualsevol, A o B, el quadre caigui?

En aquest petit vídeo podem veure que és possible.

Us proposem que proveu de buscar una solució abans de continuar llegint. Si us animeu després podeu provar de trobar alguna solució per a tres claus.

A continuació explicarem les solucions i, el que és més important, veurem com un tipus d'anotació determinada ens pot ajudar a trobar fàcilment solucions diferents per a tres claus, quatre, cinc, sis...

Segueix llegint i... no et quedis penjat

La idea "clau"

Si passem la corda en sentit horari sobre un clau i immediatament la tornem a passar també per sobre del clau però en sentit antihorari és com si no haguéssim fet res. Doncs això és precisament el que hem de fer... però no seguit.

Per solucionar el problema amb dos claus haurem de passar la corda per sobre d'un clau (en el sentit que vulguem) i després per sobre de l'altre (també en el sentit que vulguem). D'aquesta manera el quadre s'aguantarà. Ara el que hem de fer és continuar passant la corda començant una altre vegada pel primer clau però passant-la en el sentit invers al que l'havíem passat i fer el mateix amb el segon clau. Ho podem il·lustrar amb aquest exemple a la vegada que introduïm una anotació:

• Cada vegada que passem la corda per un clau anotarem la lletra.
• Si ho fem en sentit horari la lletra serà majúscula
• Si ho fem en sentit antihorari la lletra serà minúscula.

Aquest és justament la solució aplicada a l'exemple del vídeo.

L'anotació ens ajuda a comprovar que el quadre cau. Mirem-ho.

• Sobre un mateix clau dues passades en sentits contraris  s'anul·len (diem "passada" quan passem la corda per sobre del clau). Ho podem simbolitzar així anotant un 0 si la corda queda solta i un 1 si queda cargolada fent alguna mena de nus (Aa → 0; aA → 0; Bb → 0 o bB → 0)
• Si tenim el llistat de lletres que simbolitza una "tirada" de corda quan eliminem un clau hem d'eliminar les lletres que el representen i anar veient, per parelles de lletre juntes, si el que ens queda es va autoeliminant.

Mirem un parell d'exemples:

1. Si fem AbaB és indiferent el clau que traguem; el quadre caurà,
   
   

   
   
2. Si fem AbAB el quadre cau només si traiem el clau A.

Amb una petita investigació, i tenim en compte que no podem passar dues vegades seguides per un mateix clau, veurem que amb dos claus hi ha vuit solucions simples:

ABab    AbaB    aBAb    abAB    BAba    BabA    bABa    baBA

Diem solucions "simples" perquè són les que tenen menys voltes. En podem trobar d'altres més complexes.

I amb tres claus?

Amb tres claus el problema es complica força. Si l'ataquem directament amb una corda veurem que encara que comencem a compensar passades horàries amb antihoràries la majoria de vegades acabarem amb la corda nuada a alguns claus. No és que no es pugui resoldre però sí que és força més difícil que en el cas de dos claus.

Una altra opció és atacar el problema directament a partir de la seva notació i veure què passa quan s'eliminen el claus, és a dir, les lletres de l'expressió.

Mirem un exemple. Imaginem que passem la corda d'aquesta manera aBbAC. Podem observar que si traiem el clau B el quadre quedarà penjant del C

Mirem un altre exemple en que acabarem amb nusos.

Ho podem resoldre amb les lletres i comprovar després què passa.

• Si traiem el clau A el "càlcul" serà el següent: AbABBaCBca → bBBCBc → BCBc. Ja no podem simplificar més. Les dues lletres C no s'anul·len perquè estan separades i les dues B perquè són les dues majúscules i estan separades.
  
  
  
  
• Si traiem el clau B el quadre s'alliberarà AbABBaCBca → AAaCca → Aa → 0
• Si traiem el clau C també ens quedarà la corda bloquejada: AbABBaCBca → AbABBaBa. Podem observar que no tenim cap simplificació possible.

Potser hem de fer un pas per facilitar la recerca de solucions per tres o més claus.

La clau de volta

Una possibilitat és partir d'una solució de dos claus. Seguim-ho amb un exemple.

• Solució triada: abAB
• Escrivim la se "inverso-simètrica" (escrivim simètricament les lletres però canviant majúscules per minúscules i viceversa): abAB → baBA
• Intercalem entre les dues expressions una lletra C o c i, al final la seva inversa: abABcbaBAC

Podem comprovar que aquesta expressió "funciona" traient qualsevol dels claus:

• Traient A: abABcbaBAC → bBcbBC → cC → 0
• Traient B: abABcbaBAC → aAcaAC →cC → 0
• Traient C: abABcbaBAC → abABbaBA → abAaBA → abBA → aA → 0

En aquest dibuix podem veure què passa amb una expressió obtinguda d'una forma semblant. Us convidem a que feu les simplificacions de cada cas i les interpreteu al dibuix.

abCBAbacAB

Si ho pensem aquest mètode el podem generalitzar i, utilitzant solucions per a tres claus trobar-ne per a quatre, fent servir les de quatre per a les de cinc, etc. Hem trobat una mena d'algoritme, per tant, "ja no hi ha problema"!

Com dèiem al començament un problema aparentment menor dóna més joc del que ens podia semblar inicialment.

Observacions finals i alguns problemes

• Podeu ampliar informació sobre aquesta entrada llegint el capítol L'accrochage des tableaux del llibre Inventions mathématiques de Jean-Paul Delahaye (Editions Belin). He aprofitat els esquemes fets per Frencesco de Comité que apareixen a l'article fent alguns retocs per adapatar-los al canvi d'anotació que he fet respecte a l'article. Podeu veure una còpia del capítol en aquest enllaç.
• Al mateix article s'explica que una disposició de corda que permet que sempre caigui el quadre es diu un "muntatge Podger" en honor a un personatge de la novel·la de Jerome K. Jerome Tres homes dins una barca on el tal Podger es mostra força inútil penjant quadres.
• Si intenteu fer amb cordes el problema dels tres claus reproduint algunes de les solucions obtingudes agafeu força corda (la solució mínima fa 10 passades sobre els claus) i sigueu curosos quan despengeu la corda d'un dels claus. Una cosa és la teoria i una altra la pràctica. La corda sembla que tingui vida pròpia i, qual colobra o boa constrictor, té tendència a girar-se imperceptiblement provocant nusos inesperats.
• Podeu practicar el mètode d'anotació a partir de problemes com els que es proposen a l'article de Delahaye. Aquí teniu alguns per si voleu provar.

1. Quins dels tres claus s'ha de treure perquè caigui el quadre?
   
   
   
   
2. Perquè el quadre es despengi s'han de treure dos claus. Quins són?
   
   
   
   
3. El quadre cau si es treu un sol clau. Quin és? També cau si se'n treuen dos. Quins?
   
   
   
   
4. Només traient un dels quatre claus caurà el quadre. Quin és?
   
   
   
   
5. Estudia aquesta situació. Què passa si treus un clau qualsevol? I si en treus dos? I si en treus tres?
   
   
   
   
6. Tenim dos claus vermells i dos de blaus. Què passa si traiem dos claus del mateix color? I si són de colors diferents?