El rius, el nombre π i distàncies al planeta

Al llibre L'enigma de Fermat de Simon Singh es parla d'un estudi del geòleg Hans-Henrik Stølum que relaciona el número π amb la longitud dels rius. Concretament es proposa que si dividim la longitud total d'un riu entre la distància en línia recta des del naixement fins a la desembocadura observarem que, en molts casos, és un nombre lleugerament superior a 3. I que si estudiem molts rius la mitjana s'anirà acostant a π. Al mateix text de Singh es comenta que les proporcions més properes a π les trobem a rius amb molts meandres com els que passen per les planures de Sibèria o Brasil.

Meandres del riu Nowitna a Alaska (Viquipèdia)

Què hi ha de cert en aquesta teoria? Què hi ha de fals? En principi és d'un d'aquells casos que ens fa pensar en la frase: se non è vero è ben trobato. Pensant en les corbes alternades dels meandres d'un riu no sembla inversemblant que el nombre π hi jugui algun paper. Per altra banda els rius són llargs, i els meandres només acostumen a aparèixer a la part baixa del riu.

Imatge de Division by zero

Res millor que aplicar l'estadística per comprovar-ho. Existeix un web que es diu Pi me a river (un joc de paraules amb la cançó Cry me a river) on es dediquen a recollir aquesta estadística. Un mes més tar de la publicació d'aquest article la pàgina va fer alguns canvis que van alterar totes les estadístiques,

Vols saber-ne més?

Aquesta pàgina va ser creada a partir del vídeo de Numberphile amb el mateix títol. Diferents voluntaris (vosaltres mateixos ho podeu ser) introdueixen les dades dels rius i es calcula la sinuositat: la relació entre la longitud real del riu i la distància, en línia recta, entre el punt on neix i on desguassa. Per exemple, segons les dades de la mateixa pàgina el riu Elba té una sinuositat de 3,04 i el Guadalquivir de 3,3.

A data 9 de febrer de 2015 tenen dades de 270 rius. En aquest gràfic veiem la distribució actual en la que 15 rius presenten una sinuositat de 3,1.

També podem observar un gràfic de núvol de punts amb les relacions entre les dues longituds (real i recta) amb la línia de π assenyalada.

Podem consultar les dades dels rius incorporats i podem afegir el nostre. I aquí toca explicar una petita història. Amb la gent del CREAMAT vam voler incorporar l'Ebre. Les dades demanades eren:

• La longitud del riu: 910 km (font Viquipèdia)
• Les coordenades geogràfiques del naixement: 43.01611 N, 4.18972 W (font Wikimapia)
• Les de la desembocadura: 40.726944 N, 0.86722 E (font Wikimapia)

Amb aquestes dades el programa del web calcula la longitud en línia recta en uns 304,496 km i la sinuositat propera als 2,99. En tot cas, no deixen de ser sorprenents aquests escassos 300 km de longitud en línia recta des de Fontibre fins al Delta.

Al web Tutiempo amb les mateixes dades s'obtenen prop de 500 km

Una distància molt semblant s'obté a la pàgina Sun Earth Tools: 490.0223 km

La calculadora de CSG Network ens proporciona un valor de 489.5544 km

Tres calculadores ens donen un valor aproximat als 490 km en línia recta. Si prenen aquesta mesura com a bona, la sinuositat de l'Ebre és ben diferent i més llunyana de π.

Us convidem a fer proves amb les dades d'altres rius i comparar-les amb les del Pi me a river. Sembla que la calculadora de distàncies era molt fluixa i no ens permet saber si π i la longitud dels rius guarda aquesta relació que seria tan interessant.

Després d'introduir les dades de l'EBRE al mateix formulari la gent del CREAMAT vam deixar una anotació sobre el mal càlcul de la longitud en línia recta. Poc més d'un mes després, en tornar a visitar la pàgina hem descobert que ens ha tret l'EBRE, però després d'un "ohhhh!" de decepció hem dit un "ahhhh!" d'alleujament. Han retocat tot el programa de càlcul i ara sí que els fa correctament. Compareu si no les dues imatges estadístiques de rius amb sinuositat 3,1.

10/2/2015

1/3/2015

La sinuositat de l'Elba que esmentàvem abans ara és 1,89 en comptes de 3,04 i la del Guadalquivir 1,94 i no és 3,3 anteriors. La sinuositat mitjana a data d'avui, amb dades de 259 rius està en 1,94357, força allunyada de π.

Però tot aquest assumpte ens porta a un altre treball que pot ser interessant a les aules del segon cicle de secundària o a batxillerat: com es calcula la distància entre dos punts de la terra a partir de les coordenades geogràfiques?

Dels diferents mètodes existents proposem el que pensem que és més entenedor.

Càlcul de distàncies a la Terra (1)

Parlem primer de geometria plana. Qualsevol triangle ve determinat per la longitud de dos costats i l'angle que formen.

Si està determinat significa que deu existir una manera de calcula la longitud del costat que falta i la mesura dels altres angles.

L'eina matemàtica que ens permet fer aquesta càlculs és la Llei del cosinus, que ve a ser la generalització, per a qualsevol triangle, del Teorema de Pitàgores.

En el cas de l'exemple podríem calcular així:

Fins ara molt bé. Però... la Terra no és plana!

Càlcul de distàncies a la Terra (2)

El que hem d'esbrinar si existeix una llei semblant sobre l'esfera que ens permeti calcular el tercer costat d'un triangle partint de dos coenguts i l'angle que formen. A la Terra hem de pensar en "triangles esfèrics". Aquests triangles tenen algunes característiques diferents dels seus homòlegs plans. Per exemple la suma dels seus angles pot estar entre 180º i 540º. El de la imatge té tres angles rectes i, per tant, suma 270º.

Per determinar un triangle necessitem tres punts. En el nostre problema poden ser el naixement del riu, la desembocadura i... el Pol Nord.

D'aquest triangle, amb uns petits càlculs, podem esbrinar, en graus, l'arc entre el Pol i el punt de naixement i l'arc entre el Pol i la desembocadura. Només hem de restar les latituds:

• Arc Pol-Naixement: 90º - 43,01611º = 46,98389º
• Arc Pol-Desembocadura: 90º - 40,72994º =  49,27006º

Això seria equivalent a saber la longitud dels dos costats. En comptes de tenir-los en quilòmetres els tenim en graus. Però ja ho arreglarem.

També podem saber, restant les longituds, l'angle Naixement-Pol-Desembocadura:

• Angle: 0,86722º - (-4,18972º) = 5,05694º

El que ens toca ara és "resoldre" aquest triangle esfèric per calcular l'arc (el tercer costat) a partir de les dades de que disposem.

Buscarem quina és l'adaptació "esfèrica" de la llei del cosinus (font Viquipèdia)

Adaptem i calculem:

cos ARC = cos 46,98389º · cos 49,27006º + sin 46,98389º · sin 49,27006º · cos 5,05694º

cos ARC = 0,99705 → ARC = 4,404º

Ara que sabem la longitud en graus de l'arc, el tercer costat del triangle (que representa la "línia recta" que uneix la desembocadura i el naixement del riu) només ens queda calcular la longitud real a partir del radi de la Terra. Farem servir el radi mitjà: 6371 km.

Bé... 20 km de diferència respecte a les "calculadores" oficials no és gaire. Millor que la dels gairebé 200 km del Pi me a river! De fet, si en comptes de calcular amb el radi mitjà ho fem amb l'equatorial (6378 km) obtenim 490,24 km.

I a l'aula?

Segurament tota l'activitat que hem descrit és perfectament transferible a l'aula. No cal donar totes les informacions. Es poden trobar a internet igual que ho hem fet nosaltres, i és bo fer aquesta cerca, comparar resultats, etc.

Potser es pot ampliar a la investigació sobre altres mètodes de càlcul de distàncies a partir de les coordenades geogràfiques o altres tipus de coordenades.

Com hem proposat en altres ocasions també podem elaborar un full de càlcul per calcular distàncies a partir de les coordenades. O un programa amb Scratch. 

Un altra possibilitat és repartir la feina en el grup i anar fent estad´sitica de rius de Catalunya, Europa...

I per què no? Escriure al Sr. o Sra. Pi me a river per proposar-li canviar el codi de programació!

Imatge obtinguda del web Matthen

Addenda (14/2/2015)

El llibre La proporción transcendental d'A. S. Posamentier i Ingmar Lehmann tracta també el tema de la sinuositat dels rius i el nombre π tot fent referència al mateix article científic que Singh. Però allà la relació es dóna entre el doble de la longitud del riu i la distància en línia recta. Aplicant aquesta norma el nostre Ebre té una millor aproximació a π.

El que és més interessant és com justifica aquest "doble" perquè és un raonament que també es pot treballar a l'aula.

En primer lloc ens convida a "dibuixar un riu" i, de mica en mica, anar aproximant les seves corbes a semicircumferències. Això ens permetrà calcular una aproximació a la longitud real del "riu".

A continuació, anomenant l a la longitud real del riu, AB a la distància en línia recta del principi al final, r_i a cadascun dels radis dels meandres i a al'aproximació de la longitud del riu, i fent els càlculs algebraics pertinents arriba a la relació comentada entre  π i les longituds dels rius.