El "joc militar" o els "Gossos i la llebre"

L'anàlisi de jocs d'estratègia ofereix un magnífic marc de treball d'investigació matemàtica. Malgrat la feina de difusió de diferents reconeguts autors de didàctica de les matemàtiques (com Jordi Deulofeu, Fernando Corbalán, Mari Luz Callejo, Miguel de Guzman...) o que el al concurs del Fem Matemàtiques sovint se'n proposa un a la primera fas,e continuen tenint una entrada dificultosa a les aules. Mestres i professorat ens resistim a obrir-los la porta. Potser perquè estem poc acostumats a realitzar aquest tipus d'investigacions. Però nosaltres, des d'aquí us en continuarem proposant perquè estem convençuts de la seva riquesa didàctica i, de pas, oferint exemples d'estudi de les estratègies.

El "joc militar" que us presentem l'estudia Édouard Lucas al tercer volum de les seves Recreacions matemàtiques (p. 108). A Anglaterra és coneix com el "joc de la llebre i els gossos"(Hare and hounds).

Pàgina del llibre de Lucas

Les regles són senzilles però és estratègicament prou ric. Les primeres pràctiques ens fan pensar que un dels jugadors té avantatge sobre l'altre però un estudi atent ens farà descobrir que el jugador "aparentment feble" disposa d'una estratègia guanyadora (un camí perfectament definit. amb una resposta per a cada jugada, que condueix a guanyar la partida).

Les regles del joc

• El tauler i la situació de sortida és la que es veu a l'esquema.

• El primer moviment el realitza la fitxa verda.
• A cada moviment el desplaçament és d'una casella a una altra connectada per un segment (una cruïlla de línies). Les vermelles no poden retrocedir (el moviments són cap endavant o laterals). La verda es pot moure en totes direccions.

• Les fitxes vermelles guanyen si bloquegen la fitxa verda i aquesta no pot moure. La verda guanya si "traspassa" la línia de les vermelles i aquestes ja no la poden acorralar.
• Si es repeteixen els mateixos moviments més de tres vegades es poden considerar taules. Tot i així és més interessant evitar les taules donant avantatge a la fitxa verda. Per exemple fent que la fitxa verda guanyi si es repeteixen els moviments o si no se l'ha bloquejat en un màxim de 25 jugades.

Juguem i analitzem el joc?

Alguns problemes

Començarem per uns problemes molt senzills

• Problemes 1a i 1b: Juguen vermelles i guanyen en una jugada.

• Problema 2: Juguen vermelles i guanyen en dues jugades.

• Problema 3: Juguen vermelles i guanyen en dues jugades. (La tercera fitxa vermella pot estar a qualsevol de les caselles indicades amb un cercle blanc)

Aquests problemes ja són una mica més "exigents"

• Problema 4: Juguen vermelles i guanyen en tres moviments (La tercera fitxa vermella pot estar a qualsevol de les caselles indicades amb un cercle blanc).

• Problema 5: Vermelles juguen i guanyen en tres o quatre jugades.

Solucions

Abans d'analitzar el joc convé resoldre els problemes 4 i 5 perquè ens ajudaran a trobar l'estratègia general.

• Solució al problema 4

Si el primer moviment és l'indicat la fitxa verda sempre anirà obligada i vermelles podran bloquejar-la al 3r moviment (que no hem dibuixat)

• Solució al problema 5

Bloquejar en tres o quatre jugades dependrà de les respostes de la fitxa verda. Podem observar que la línia superior és la jugada estudiada al problema 4.

Analitzem el joc

Si heu provat de jugar una mica abans de resoldre els problemes haureu vist que la primera jugada de verda i la primera de vermella són obligades. La verda perquè no pot triar i les vermelles perquè dels tres moviments possibles dos la fen perdre. La situació en la que es queda és la que es mostra a l'esquema.

És a partir d'aquí que explicarem l'estratègia del joc que mostra com les vermelles sempre poden tancar a la verda.

Presentem l'estratègia en forma de diagrama en arbre, des de la posició mostrada abans (després d'un moviment de cada color). Cada situació es bifurca segons els possibles moviments de la fitxa verda i, per a cada opció, es mostra la resposta de les vermelles

Uns aclariments previs per a la lectura del diagrama:

• S'han descartat les situacions simètriques per no fer l'arbre més gran
• Les fletxes blaves porten a situacions similars per poder continuar la lectura de l'arbre.
• Les branques acaben sovint amb "Problema 4" o "Problema 5". Això vol dir que els finals de la partida es corresponen amb els esquemes que hem fet per resoldre aquests dos problemes anteriorment.

Al seu llibre Édouard Lucas explica unes instruccions bàsiques per no haver de recordar tot l'arbre.

•  Les vermelles han d'evitar ocupar la posició diagonal si la fitxa verda ocupa una d'aquestes posicions (o les simètriques)

• Al principi de la partida, i fins que s'arriba a,una de les situacions plantejades en els problemes 1 a 5, les vermelles han de jugar en diagonal només si la verda també ho ha fet. Hi ha una excepció que mostrem a l'esquema.

Variar el joc

Sempre que tenim analitzat un joc i l'estratègia definidia "l'hem matat": ja no podem jugar. Una possibilitat de "reanimar-los" és fer alguns canvis.

Un canvi molt lleuger és modificar la disposició de sortida.

Des de la primera posició de sortida podeu jugar en línia en aquest enllaç i des de la segona en aquest altre.

Una altra posibilitat és modificar el tauler.

Podeu trobar més idees en aquest nou enllaç.

A l'aula

• El més aconsellable és deixar jugar un temps lliurament per familiaritzar-se amb el joc.
• A la següent fase podem fer estudiar el joc col·laborativament: anar fent jugades i discutint-les per parelles o grups petits.
• Podem proposar situacions intermèdies de joc perquè tots els grups les analitzin. Poden ser com els problemes proposats o a partir de situacions que hagin sortit a l'aula.
• Segons l'edat no cal definir tota l'estratègia de punta a punta. En comptes de fer un estudi "estratègic" podem fer un estudi "tàctic", de situacions mitjanes o de final de partida.