Dissenyem rosasses

El passat 6 de febrer de 2020, a la XIII Jornada de l'Associació Catalana de GeoGebra, al taller Matemàtiques amb GeoGebra. Nivell 0 portat per Guillem Bonet (@willhek1), es va proposar un problema de tangències que em va recordar l'activitat que vam treballar alguns anys a l'INS Alella durant un crèdit de síntesi relacionat amb l'Edat Mitjana. L'activitat es relaciona amb el disseny de rosasses i, específicament, amb el de sèries de cercles tangents entre sí i que ho són també a la circumferència exterior de la rosassa.

Rosassa de la façana principal de la Catedral de Burgos (fotografia original de Javier Soto)

Real Monasterio de Santa María de Guadalupe Cáceres (fotografia original del Baúl del Arte)

Visualment ja es veu clarament el problema. Com dibuixar un cercle d'n circumferències tangents a l'exterior i entre les directament veïnes? A cadascuna d'aquestes cirecumferències els hi direm pètals a partir d'ara. Ja s'intueix que n ve determinat per un polígon regular inscrit a la circumferència exterior la mateixa quantitat de costats que la de pètals dessitjats. No tots els polígons regulars són construïbles amb regle i compàs de manera "pura". Gauss ja va descriure quines eren les condicions perquè un polígon fos dibuixable amb aquestes dues eines. Obviarem aquesta part de la construcció ja que podem dibuixar un polígon inscrit a partir del càlcul del seu angle central i plantejarem el problema concret de la construcció, ara sí, amb regle i compàs del "rosari de pètals".

El polígon de 7 costats no és construïble amb regle i compàs, però el podem dibuixar a partir d'un angle de 51,43º. El de 10 costats sí que és construïble, però també el podem dibuixar a partir d'un angle de 36º

L'objectiu de l'activitat serà construir rosasses com aquestes que podem veure fetes amb GeoGebra. Poden ser casos particulars de 3, 4, 5, 6... o més pètals. La primera part de l'activitat consistirà en buscar un mètode per a fer la construcció. La segona conèixer un mètode aparentment estrany d'aconseguir-ho. I la tercera demostrar que tots dos mètodes són equivalents. Per a fer aquesta demostració jugarem amb una mica de trigonometria, Pitàgores...

Abans de continuar llegit, però, us convidem a resoldre el problema per a un cas particular: 5 o 6 pètals. I a que ho feu amb GeoGebra.

Continuem?

Carrers i places matemàtiques de Barcelona ciutat

L'hodonímia estudia el noms dels carrers, places, avingudes, passeigs, etc. d'un lloc determinat. En aquest article mostrem els hodònims de la ciutat de Barcelona relacionats amb les matemàtiques. Sense més intenció que fer un petit inventari i observar el grau de presència matemàtica, que ja podem dir que no és gaire gran. Tenim des del carrer del Triangle als Jardins Ada Byron, tot passant pels carrers Horitzontal o d'Hipàtia.

La font de consulta ha estat el Diccionari nomenclàtor de les vies públiques de Barcelona de Jesús Portavella.

Els criteris per entra al mapa han estat els següents:

• Si és un nom de persona, que dintre de les seves activitats principals les matemàtiques hagin tingut un cert pes específic. Així, per exemple, pot entrar Leonardo da Vinci però no Ramon Martí i Alsina que va ser conegut com a pintor, tot i haver estat professor d'aritmètica i geometria a la l'Escola de l Llotja. Sí que hem acceptat alguns geodèsics com Carlos Ibáñez.
• Si és una paraula relacionada amb objectes o idees matemàtiques que el nom sigui una referència directa a aquest objecte o concepte. Així no han entrat tots els carrers numerats de la Zona Franca però si una Plaça del Nou, que fa referència al número de l'autobús que hi sortia des d'allà. I no hem posat el Passatge de Pla perquè es refereix al cognom d'un antic propietari de la zona. Tampoc tindrem una Plaça de Pi encara que sí tenim realment una Plaça del Pi que no posarem al mapa. Hem recollit, però, carrers com la Meridiana o el Paral·lel.
  

Carrer del Triangle, prop de Born, vist des d'un vèrtex.

 

 A cada carrer hem posat una informació mínima extreta, en la majoria de casos, del diccionari de nomenclàtor. També sovint hem afegit algun enllaç per a ampliar la informació.

Vols veure el mapa?