17 de juliol del 2013

"¿Pero esto también es matemática?" + Un problema de caramels

Adrián Paenza és matemàtic i periodista esportiu però, sobretot, un magnífic divulgador matemàtic de gran èxit a l'Amèrica llatina. Té un programa setmanal a la televisió argentina del qual podem trobar moltes píndoles a Youtube. A Espanya s'havien publicat dos dels seus cinc primers llibres i ara també el darrer ¿Pero esto también es matemática? Totes les seves obres, inclosa aquesta darrera, també les podem trobar en format pdf a internet alliberades pel mateix autor.


Els textos de Paenza són sempre clars i la tria de problemes i situacions a descriure molt variada i ben feta. És un autèntic plaer acostar-se a la seva obra i, si mireu els vídeos, a la seva persona. Voldria destacar uns fragments del capítol No sé d'aquest llibre perquè conté una autèntica declaració de principis. I, a continuació, plantejarem un dels problemes del llibre.
   "Es curiosa la dificultad que tenemos los humanos para decir “no sé, no entiendo”. Y es curioso también cómo se va modificando a lo largo de los años, porque los niños no tienen difi cultades en preguntar “¿por qué el cielo es azul?” o “¿por qué mi hermanito tiene ‘pitito’ y yo no?” o “¿por qué gritaban ustedes dos ayer por la noche?” o ¿por qué el agua moja y el fuego quema y la electricidad ‘da patadas’?”. Y siguen los porqué. (../..) Pero a medida que el tiempo pasa empiezan los rubores, los temores y uno ya no se siente tan cómodo cuando se exhibe falible o ignorante. La cultura se va filtrando por todas partes y las reglas empiezan a encorsetar. Uno se empieza a sentir incómodo cuando no entiende algo. Y la sociedad se ocupa de remarcarlo todo el tiempo".
(../..)
   "Yo creo que uno debería tratar de estimular la prueba y el error. O, mejor dicho, de estimular que el joven pruebe y pruebe, que pregunte y pregunte, y que busque él/ella la vuelta para ver si le sale o si entiende lo que en apariencia le resulta inaccesible.
   Sobre todo invito a los adultos a que nos asociemos a la búsqueda  con ellos, a mostrarnos tan falibles como ellos, sobre todo porque  SOMOS tan falibles como ellos, y no estaría mal mostrarnos tan  apasionados por entender como ellos, tan curiosos como ellos.
   En definitiva, el saber es algo inasible, difícil de definir. Y  perecedero, salvo que uno lo riegue todos los días. ¿Qué quiere decir saber algo? Una persona puede saber cuáles son todos los pasos para conducir un auto, pero eso no significa que sepa manejar. Un cirujano, no bien egresa de la facultad de medicina, puede creer que sabe lo que tiene que hacer. De allí a poder operar, hay un trecho largo.
   Por eso, el único camino es la pregunta, la duda y el reconocimiento constante del “no sé, no sé cómo se hace; no entiendo; explicámelo de nuevo”.
  Y eso es lo que creo que nos falta como sociedad: seguir como cuando éramos niños, sin pruritos ni pudores. Era el momento en el que no saber era visto como una virtud, aceptado por los adultos por la ingenuidad que contenía y porque la película estaba virgen y estaba todo por entender. Quizás uno llegue a la conclusión de que en esencia conoce poco y de muy poquitas cosas, pero la maravilla de la vida pasa por el desafío de descubrir. Y de poder decir “no sé, no entiendo”.

Voleu conèixer el problema "caramels per a tots"?

13 de juny del 2013

Un llibre amb problemes històrics: "Expediciones matemáticas"

El subtítol d'aquest llibre de Frank J. Swetz, publicat per La esfera de los libros, diu "L'aventura dels problemes matemàtics a través de la història". Hauríem d'aclarir que la majoria dels 500 problemes que recull són el que l'autor anomena problemes descriptius, que, per entendre'ns, serien de l'estil dels problemes d'aplicació que trobem encara actualment a molts llibres de text. La lectura d'aquests problemes fa venir una certa esgarrifança quan ens fa pensar que els manuals matemàtics no han canviat gaire des de les tauletes babilòniques de fa cinc mil anys. Mirem, si no, un exemple que el llibre qualifica com "el més antic dels problemes descriptius conegut":

Un graner de civada. Un home rep 7 sila de gra. Quants eren els homes?
(1 graner =  2 400 gur; 1 gur = 480 sila)


La diferència democràtica és que els manuals (en la forma que siguin: tauletes, papirs, rotllos, llibres manuscrits, impresos...) de l'antiga Mesopotàmia, Egipte, Grècia... provinents de la cultura xinesa, hindú... estaven adreçats a la preparació d'especialistes que gaudirien de grans o petits privilegis, mentre que als llibres de text l'objectiu és que eduquin al conjunt de la població. Un altre tema és pensar que aquests tipus de problemes són els que han de centralitzar l'educació matemàtica dels nostres infants.

23 de maig del 2013

De com els pirates cruels es reparteixen el botí


Al llibre Locos por las matemáticas el divulgador matemàtic Ian Stewart dedica un capítol (Apuradas piruetas entre piratas) a estudiar un problema de lògica força interessant per la seva sorprenent solució. L'enunciat és el següent:
“Deu pirates s'han fet amb un tresor de cent peces d'or i se'l volen repartir. Són pirates democràtics, a la seva manera, i tenen el costum de fer els repartiments de la següent forma. El pirata més cruel fa una proposta de repartiment i tots voten: cadascú té un vot, inclòs el que fa la proposta. Si s'obté un 50% o més dels vots a favor, la proposta s'aprova i es posa en pràctica. En cas contrari, el proposant és llançat per la borda i es repeteix el procediment amb el següent pirata més cruel. 
Tots els pirates frueixen llençant gent per la borda, però si els dónes a triar s'estimen més tenir diners a la butxaca. No els agrada ser ells mateixos els llançats per la borda. Tots els pirates són racionals, saben que els altres pirates són racionals, saben que ells saben que.... (../..) No hi ha dos pirates igualment cruels, de forma que hi ha un ordre per fer propostes precís, que és conegut per tots ells. Per acabar, les peces d'or són indivisibles i no es permeten acords per compartir peces (donat que cap pirata confia en que els seus col·legues respectin un acord d'aquesta mena). Cadascú es preocupa només d'ell mateix. 
Quina proposta maximitzarà els guanys del pirata més cruel?"


12 de maig del 2013

Atzar i cromosomes


La investigació genètica és un dels camps científics que més canvis està provocant en la nostra vida quotidiana: en l'alimentació, en l'erradicació i curació de malalties... Molts dels seus avenços són també objecte de discussió: la clonació, l'ús de cèl·lules-mare, les possibles repercussions dels aliments transgènics... Sense entrar en aquestes importants qüestions ètiques relacionades amb la genètica farem una petita mirada a alguns aspectes que relacionen els gens amb la probabilitat.
 

Primer recordarem que la informació genètica es guarda en l’ADN cel·lular i que llargues cadenes d’ADN formen els cromosomes. Podríem dir que la informació genètica és com una enciclopèdia: els cromosomes són els diferents toms i les seqüències d'ADN els capítols que expliquen com hem de ser (el color dels ulls, el grup sanguini, etc.)

Estudiem alguns casos?

31 de març del 2013

Baralla't amb la baralla

Al número 6 de la revista Cacumen (juliol 1983) apareixia un article amb el títol La baraja matemàtica signat per Medea Juraido (molt probablement un pseudònim) on, a més d'una petita història dels naips (el seu origen xinès, l’existència de cartes rodones i altres curiositats...) ens proposa utilitzar les cartes com un petit laboratori matemàtic. Per practicar en aquest laboratori ens convida a experimentar amb tres problemes que plantejarem a continuació. Però, atenció, cal anar a buscar les cartes per practicar!

Un dels avantatges que ens proporcionen les cartes és la possibilitat d'experimentació ràpida. Imaginem, per exemple, que hem de resoldre un quadrat màgic. Què és més fàcil? Escriure i esborrar nombres sobre un paper? O bé, anar intercanviant cartes si la disposició que hem preparat no és la que es correspon amb el problema que investiguem?


Vols conèixer els tres problemes?

20 de març del 2013

Hasta el infinito y más allá

Clara Grima, amb la col·laboració en les il·lustracions de Raquel Garcia Ulldemolins, és una activa i experimentada "bloggera" de la divulgació matemàtica. Els seus matecontes els podem trobar a Mati y sus mateaventuras i Mati, una profesora muy particular. En ells trobarem a la Mati, els nens Sal i Ven i al gos Gauss. I matemàtiques, moltes matemàtiques. Ara algunes d'aquestes mateaventures s'han recollit en forma de llibre. Benvingut sia.


Vols saber més sobre el llibre?

17 de març del 2013

Prenem-li la temperatura al termòmetre

El termòmetre és l’aparell que utilitzem per a mesurar la temperatura. Els termòmetres clàssics es basen en la propietat que tenen les substàncies de dilatar-se amb la calor. Si triem una substància que, entre altres factors, es dilati d'una forma prou regular podrem mesurar temperatures a partir de les seves variacions de longitud producte de la dilatació.


A principis del segle XVIII, el físic alemany Daniel Gabriel Fahrenheit (1686 – 1736) va fabricar el primer termòmetre de mercuri. El mercuri té l’avantatge que es manté líquid entre -38,9 °C i  356,7 °C.

El problema més curiós que tenim amb els termòmetres és que es graduen amb escales diferents segons el país o l’àmbit en què s’utilitzen.

Vols saber com graduar un termòmetre?

10 de març del 2013

Obrint i tancant portes

Aquest problema va aparèixer al n. 5 de la revista Cacumen (juny de 1983) en un recull sobre Martin Gardner. També Adrián Paenza l'explica al seu llibre Matemática, ¿estás ahí? Episodio 100.

El problema es pot plantejar perfectament al cicle superior de primària arribant a deduir el patró que el soluciona. A secundària podem plantejar-nos, a més, esbrinar el perquè d'aquest patró.

Imaginem un hotel amb un grum juganer. Una nit organitza el següent joc. Demana pels altaveus a totes les habitacions que  obrin les portes (Posem que hi ha 100 habitacions, encara que a l'applet que acompanya el problema només n'hem posat 25). Després ordena: "Que les portes parells es tanquin!". Així les portes 2, 4, 6... queden tancades i les 1, 3, 5... queden obertes. Després torna a donar una altra ordre. "Que les habitacions múltiples de 3, canviïn la seva situació!". Canviar la situació significa que si la porta està oberta s'ha de tancar, i si està tancada, s'ha d'obrir. Així la porta 3, que estava oberta, s'haurà de tancar, però la 6, que estava tancada, s'haurà d'obrir. Després el grum va seguint: "Els múltiples de 4 que canviïn la seva situació!". "I ara els múltiples de 5!". I continua.

Al final del joc... quines portes quedaran obertes?

Podeu practicar amb aquest applet on obrireu i tancareu les portes clicant a sobre.


Comentem com portar el joc a l'aula?

4 de març del 2013

El contable hindú + El problema de les particions

L'escriptor estatunidenc David Leavitt va escriure al 2007 aquesta novel·la on recrea, entre altres temes, la relació entre els matemàtics Godfred Harold Hardy i Srinivasa Ramanujan, el comptable hindú del títol. No ha estat fins el 2011 que hem disposat d'una traducció al castellà. A l'hora de la veritat el títol és lleugerament enganyós ja que no és Ramanujan l'autèntic protagonista del llibre, la personalitat del qual queda força desdibuixada, sinó que qui focalitzen la narració són Hardy, l'ambient del Trinity College de Cambridge i, en certa manera, la Gran Guerra. Però aquest "petit engany" no treu interès a la novel·la. Si el personatge de Ramanujan queda difús és perquè, fonamentalment, el veiem des de la perspectiva de Hardy, que, amb un caràcter força egocentrista, no està especialment dotat per relacionar-se o comprendre als altres.



És bastant coneguda la història d'aquests dos matemàtics però recordem-la breument. Hardy era un matemàtic amb un cert renom que treballava sovint en col·laboració amb John E. Littlewood. L'any 1913 va rebre una carta d'una dotzena de pàgines plena de fórmules inusuals signada per un desconegut matemàtic, comptable del Port Trust Office de Madràs i que es declarava autodidacta. Hardy i Littlewood van saber valorar el treball que se'ls hi presentava i van fer gestions perquè Ramanujan anés a Anglaterra, cosa que van aconseguir. Ramanujan va fer una estada d'uns cinc anys a la Gran Bretanya, just coincidint amb el període de la Primera Guerra Mundial. Va emmalaltir i moria poc després de retornar a l'Índia.
Hardy i Ramanujan

Tenint en compte que parlem de novel·la i no d'història o biografia, la recreació que es fa de l'època i dels seus personatges, dels seus dilemes, de les seves contradiccions és interessant.

I les matemàtiques tenen una presència, no només inevitable, sinó intencionadament clara. I un dels problemes que del que es parla de forma més reiterada és el de les particions, un problema encara no resolt de forma completa i que té un plantejament que es pot explorar perfectíssimament des de l'educació primària.

Vols conèixer el problema a de les particions?

24 de febrer del 2013

Mesurant les il·lusions

Segur que coneixes un bon grapat d'il·lusions òptiques i hauràs vist que algunes enganyen més que altres. Només cal escriure “il·lusions òptiques” en un cercador. Hi ha de molts tipus i algunes, fins i tot, són molt conegudes.


Però... hi ha il·lusions millor que altres? Es por mesurar l'engany?

Hi ha molts exemples d'il·lusions que ens permeten realitzar algun tipus de mesura sobre si “enganyen” més o menys que altres. Ens serà especialment fàcil en les que provoquen trampes de longitud.

Observa aquesta il·lusió.

Per a la majoria de la gent, la figura inferior és major. Però, en tenim prou amb comptabilitzar quantes persones “piquen”? No podem millorar la nostra mesura de l’engany?

Vols practicar amb unes il·lusions?

Ara pots experimentar, amb alguns applets fets amb flash, el grau d'ajustament de les teves mesures a ull. Després de seguir les instruccions realitza la mesura, a cada cas, i comprova el teu grau d'encert.

Il·lusió 1
Estirant de la fletxa col·loca la recta B on creguis que és la continuació de l'A.

Enllaç a l'applet (flash)
Versió MatGi (GeoGebra)