23 d’octubre del 2013

Triangles misteriosos

Amb aquest títol es publicava, el passat 13 d'octubre de 2013, una entrada al molt recomanable blog esquemat.es . En ell es planteja una interessant exploració que, a diferents nivells, es pot treballar tant a primària com a secundària. Des del mateix bloc espot resseguir el fil de l'origen i autoria del problema. Aquesta exploració, que convida a cercar caos des de l'ordre i ordre des del caos, ens recorda alguns autòmates cel·lulars, com el joc de Vida que ja va se objecte d'una activitat del Calaix +ie, o la simulació de la propagació d'una epidèmia en aquest mateix bloc.

La proposta és senzilla de plantejar. Es parteix d'una xarxa hexagonal en forma de triangle equilàter i disposem de tres colors. Es pinta a l'atzar cada cel·la de la primera filera. A l'exemple treballarem en una xarxa de 6 fileres:

Per pintar cada cel·la de les següents fileres seguirem dues normes que tenen en compte les dues cel·les immediatament superiors:
  • Si tenen el mateix color pintarem també amb el mateix color.
  • Si tenen colors diferents pintarem amb el tercer color.
En aquesta animació podem veure com es pintaria la xarxa anterior.


Investiguem el tema?

19 d’octubre del 2013

Arrel quadrada 4: resoldre arrels restant senars

Hi ha una curiosa i força coneguda propietat que relaciona la suma de senars consecutius amb els nombres quadrats:
Si sumem n senars consecutius (començant per u) el resultat és igual a n2

Podem visualitzar aquesta propietat amb aquesta animació.



Si ens interessa podem utilitzar aquesta propietat per a resoldre arrels quadrades manipulativament. En aquest vídeo podem veure com fer l'arrel de 18 sumant senars.




De fet, treballant amb nombres, acostuma a ser més pràctic anar restant que anar sumant, ja que sempre podem saber si encara podem treure més o no. Així, partint del que hem obsevat fins ara, podrem obtenir un sistema per resoldre arrels quadrades només aplicant restes successives. A continuació explicarem el mètode general i a la part final,  a més de les propostes per a l'aula, us presentarem un algoritme relacionat absolutament sorprenent.

Seguim?

8 d’octubre del 2013

Arrel quadrada 3: el tempteig i el bon ull

No aprendre l'algoritme tradicional de l'arrel quadrada no significa que ens limitem a fer-les amb la calculadora pitjant la tecla d'arrel. Precisament, quan s'introdueix aquesta operació s'hauria de prohibir tocar-la i mirar de fer-la per altres procediments.


A les dues entrades anteriors d'aquest blog sobre l'arrel quadrada hem insistit molt amb la seva traducció geomètrica, però també hauríem de considerar els seus aspectes purament numèrics, tant per fer bones aproximacions com per utilitzar-la amb sentit en contexts no geomètrics. Per exemple l'arrel quadrada ens va molt bé per assenyalar-nos un límit de proves en cercar tots els divisors d'un nombre o comprovar si és primer o compost.


En aquesta entrada parlarem del tempteig numèric i geomètric per trobar arrels.

25 de setembre del 2013

Arrel quadrada 2: L'arrel dels algoritmes més tradicionals

La majoria d'algoritmes tradicionals de l'arrel quadrada, del que s'ensenya(va) a les escoles, del xinès antic, del grec, de l'Índia... es basen en una interpretació algèbrica del problema geomètric de trobar el costat d'un quadrat d'àrea coneguda. Disposant d'una eina com GeoGebra no és difícil trobar una solució aproximada de forma relativament fàcil.


Si no disposem d'aquesta eina el que hem de fer és anar obtenint, de mica en mica, aproximacions successives a l'arrel del nombre. Els tres algoritmes que descriurem tenen trets comuns:
  • Comencen fent una primera aproximació encaixant un quadrat de costat conegut i que sigui el més gran possible (encara que sovint respectant graus d'unitat: centenes, desenes...)
  • Millorar l'aproximació a partir de càlculs amb l'àrea que no queda recoberta pel quadrat de la primera aproximació.
  • Per trobar aquesta aproximació es compta amb un nombre especial: el doble del costat del primer quadrat trobat.
Per exemple, si volem calcular l'arrel quadrada de 142 trobarem una bona aproximació inicial amb el quadrat d'11, que és 121. Ens quedarà per esbrinar el valor de x perquè s'acompleixi que l'àrea de la zona que queda en forma de lletra L valgui el que falta de 121 a 142, és a dir, 21.

Continuem?

7 de setembre del 2013

Arrel quadrada 1: el mètode d'Heró

El meu primer contacte personal amb l'arrel quadrada va ser aproximadament a deu anys. Se'm va ensenyar un exigent algoritme que recordava vagament al de la divisió, però amb estranyes alteracions (es baixaven les xifres de dos en dos, es feien dobles tot deixant un foradet al darrere que omplies després de complicats temptejos...). Un cop dominat l'algoritme es passava a una altra cosa. El segon contacte no es va produir fins dos o tres anys més tard que un company (no el mestre) em va proposar un problema de l'estil: "un pagès vol plantar 169 cols de forma que hi hagi tantes files com columnes; quantes cols hi haurà a cada fila?". Vaig resoldre el problema tot fent proves i quan li vaig ensenyar la solució em va dir: "Bé... però només calia fer l'arrel quadrada de 169". Recordaré aquell instant tota la vida. L'arrel quadrada "servia" per a alguna cosa a banda de per torturar les nostres tendres neurones "en formació", resolia alguns problemes. Les cometes del "servia" són degudes a la inexistència de pagesos amb aquestes dèries. Recordo que els meus oncles pagesos de La Mancha tenien altres preocupacions més relacionades amb el temps atmosfèric o els preus fixats pels intermediaris. Tornant al tema: van caldre molts anys perquè em reconciliés amb l'arrel quadrada i va ser gràcies a les seves utilitats numèrico-geomètriques.

Les "arrels quadrades" de l'Ànec Donald al País de les Matemàtiques

Estarem ràpidament d'acord, confio, que aprendre l'algoritme tradicional amb llapis i paper de l'arrel quadrada és absolutament innecessari. Però també estarem d'acord que treballar mètodes resoldre'n alguna, per algun altre mètode i sense utilitzar la tecla corresponent de la calculadora, ens ajudarà en la comprensió del(s) seu(s) significat(s). També, com no, analitzar algoritmes històrics és un treball matemàtic de primer ordre.

Per aquesta raó iniciem una petita sèrie sobre algoritmes de l'arrel quadrada semblant a la que vam fer sobre la divisió. I res millor que començar per un algoritme que dona sentit geomètric a aquesta operació: l'algoritme d'Heró d'Alexandria.

2 de setembre del 2013

LOA (Lines of Action): un sorprenent joc de tauler

El LOA és un joc d'estratègia que, pel seu objectiu, podríem classificar en la categoria de jocs de connexió o d'alineació. Però la seva originalitat rau en les regles de moviment, rotundament inusuals i sorprenents. També el fet de l'existència de captures que poden proporcionar, a la vegada, avantatges i inconvenients. El joc va ser inventat a l'any 1960 pel canadenc Claude Souci i publicat pel seu amic, el també inventor de jocs Sid Sackson, a l'any 1969.

El material bàsic és fàcil d'aconseguir: un tauler de dames (8x8) i 12 fitxes de cada color que es disposen inicialment tal com es veu a la imatge:


Vols conèixer les regles i jugar?

17 de juliol del 2013

"¿Pero esto también es matemática?" + Un problema de caramels

Adrián Paenza és matemàtic i periodista esportiu però, sobretot, un magnífic divulgador matemàtic de gran èxit a l'Amèrica llatina. Té un programa setmanal a la televisió argentina del qual podem trobar moltes píndoles a Youtube. A Espanya s'havien publicat dos dels seus cinc primers llibres i ara també el darrer ¿Pero esto también es matemática? Totes les seves obres, inclosa aquesta darrera, també les podem trobar en format pdf a internet alliberades pel mateix autor.


Els textos de Paenza són sempre clars i la tria de problemes i situacions a descriure molt variada i ben feta. És un autèntic plaer acostar-se a la seva obra i, si mireu els vídeos, a la seva persona. Voldria destacar uns fragments del capítol No sé d'aquest llibre perquè conté una autèntica declaració de principis. I, a continuació, plantejarem un dels problemes del llibre.
   "Es curiosa la dificultad que tenemos los humanos para decir “no sé, no entiendo”. Y es curioso también cómo se va modificando a lo largo de los años, porque los niños no tienen difi cultades en preguntar “¿por qué el cielo es azul?” o “¿por qué mi hermanito tiene ‘pitito’ y yo no?” o “¿por qué gritaban ustedes dos ayer por la noche?” o ¿por qué el agua moja y el fuego quema y la electricidad ‘da patadas’?”. Y siguen los porqué. (../..) Pero a medida que el tiempo pasa empiezan los rubores, los temores y uno ya no se siente tan cómodo cuando se exhibe falible o ignorante. La cultura se va filtrando por todas partes y las reglas empiezan a encorsetar. Uno se empieza a sentir incómodo cuando no entiende algo. Y la sociedad se ocupa de remarcarlo todo el tiempo".
(../..)
   "Yo creo que uno debería tratar de estimular la prueba y el error. O, mejor dicho, de estimular que el joven pruebe y pruebe, que pregunte y pregunte, y que busque él/ella la vuelta para ver si le sale o si entiende lo que en apariencia le resulta inaccesible.
   Sobre todo invito a los adultos a que nos asociemos a la búsqueda  con ellos, a mostrarnos tan falibles como ellos, sobre todo porque  SOMOS tan falibles como ellos, y no estaría mal mostrarnos tan  apasionados por entender como ellos, tan curiosos como ellos.
   En definitiva, el saber es algo inasible, difícil de definir. Y  perecedero, salvo que uno lo riegue todos los días. ¿Qué quiere decir saber algo? Una persona puede saber cuáles son todos los pasos para conducir un auto, pero eso no significa que sepa manejar. Un cirujano, no bien egresa de la facultad de medicina, puede creer que sabe lo que tiene que hacer. De allí a poder operar, hay un trecho largo.
   Por eso, el único camino es la pregunta, la duda y el reconocimiento constante del “no sé, no sé cómo se hace; no entiendo; explicámelo de nuevo”.
  Y eso es lo que creo que nos falta como sociedad: seguir como cuando éramos niños, sin pruritos ni pudores. Era el momento en el que no saber era visto como una virtud, aceptado por los adultos por la ingenuidad que contenía y porque la película estaba virgen y estaba todo por entender. Quizás uno llegue a la conclusión de que en esencia conoce poco y de muy poquitas cosas, pero la maravilla de la vida pasa por el desafío de descubrir. Y de poder decir “no sé, no entiendo”.

Voleu conèixer el problema "caramels per a tots"?

13 de juny del 2013

Un llibre amb problemes històrics: "Expediciones matemáticas"

El subtítol d'aquest llibre de Frank J. Swetz, publicat per La esfera de los libros, diu "L'aventura dels problemes matemàtics a través de la història". Hauríem d'aclarir que la majoria dels 500 problemes que recull són el que l'autor anomena problemes descriptius, que, per entendre'ns, serien de l'estil dels problemes d'aplicació que trobem encara actualment a molts llibres de text. La lectura d'aquests problemes fa venir una certa esgarrifança quan ens fa pensar que els manuals matemàtics no han canviat gaire des de les tauletes babilòniques de fa cinc mil anys. Mirem, si no, un exemple que el llibre qualifica com "el més antic dels problemes descriptius conegut":

Un graner de civada. Un home rep 7 sila de gra. Quants eren els homes?
(1 graner =  2 400 gur; 1 gur = 480 sila)


La diferència democràtica és que els manuals (en la forma que siguin: tauletes, papirs, rotllos, llibres manuscrits, impresos...) de l'antiga Mesopotàmia, Egipte, Grècia... provinents de la cultura xinesa, hindú... estaven adreçats a la preparació d'especialistes que gaudirien de grans o petits privilegis, mentre que als llibres de text l'objectiu és que eduquin al conjunt de la població. Un altre tema és pensar que aquests tipus de problemes són els que han de centralitzar l'educació matemàtica dels nostres infants.

23 de maig del 2013

De com els pirates cruels es reparteixen el botí


Al llibre Locos por las matemáticas el divulgador matemàtic Ian Stewart dedica un capítol (Apuradas piruetas entre piratas) a estudiar un problema de lògica força interessant per la seva sorprenent solució. L'enunciat és el següent:
“Deu pirates s'han fet amb un tresor de cent peces d'or i se'l volen repartir. Són pirates democràtics, a la seva manera, i tenen el costum de fer els repartiments de la següent forma. El pirata més cruel fa una proposta de repartiment i tots voten: cadascú té un vot, inclòs el que fa la proposta. Si s'obté un 50% o més dels vots a favor, la proposta s'aprova i es posa en pràctica. En cas contrari, el proposant és llançat per la borda i es repeteix el procediment amb el següent pirata més cruel. 
Tots els pirates frueixen llençant gent per la borda, però si els dónes a triar s'estimen més tenir diners a la butxaca. No els agrada ser ells mateixos els llançats per la borda. Tots els pirates són racionals, saben que els altres pirates són racionals, saben que ells saben que.... (../..) No hi ha dos pirates igualment cruels, de forma que hi ha un ordre per fer propostes precís, que és conegut per tots ells. Per acabar, les peces d'or són indivisibles i no es permeten acords per compartir peces (donat que cap pirata confia en que els seus col·legues respectin un acord d'aquesta mena). Cadascú es preocupa només d'ell mateix. 
Quina proposta maximitzarà els guanys del pirata més cruel?"


12 de maig del 2013

Atzar i cromosomes


La investigació genètica és un dels camps científics que més canvis està provocant en la nostra vida quotidiana: en l'alimentació, en l'erradicació i curació de malalties... Molts dels seus avenços són també objecte de discussió: la clonació, l'ús de cèl·lules-mare, les possibles repercussions dels aliments transgènics... Sense entrar en aquestes importants qüestions ètiques relacionades amb la genètica farem una petita mirada a alguns aspectes que relacionen els gens amb la probabilitat.
 

Primer recordarem que la informació genètica es guarda en l’ADN cel·lular i que llargues cadenes d’ADN formen els cromosomes. Podríem dir que la informació genètica és com una enciclopèdia: els cromosomes són els diferents toms i les seqüències d'ADN els capítols que expliquen com hem de ser (el color dels ulls, el grup sanguini, etc.)

Estudiem alguns casos?