20 de juny de 2012

127 corbes + una : Obaba i un cargol

Aprenem a conèixer abans les corbes del camí que les purament matemàtiques. En els camins les corbes serveixen per canviar de direcció, per evitar obstacles o irregularitats. Però també per suavitzar pujades. A cost de fer més llarg el recorregut també el fem més descansat. No cal aplicar tanta energia per pujar. Els cotxes i els trens tenen uns límits per salvar desnivells: no poden amb pendents massa forts. Un tema que es pot treballar a l'aula és el de l'expressió dels pendents en percentatges. Però avui no en parlarem d'això. Plantejarem un problema de corbes de carretera extret de la novel·la Obabakoak i parlarem del túnel del Cargol que es troba a la línia de tren que uneix Barcelona amb Puigcerdà.
Les 21 corbes de paella de l'Alpe d'Huez

Les 127 corbes cap a Obaba

El llibre de contes Obabakoak, publicat per Bernardo Atxaga a l'any 1988 és, segurament, el llibre escrit en euskera de més èxit internacional. Va donar peu al 2005 a una pel·lícula que (tot són opinions) no acabava de recollir l'esperit del llibre.



Reproduïm un fragment que descriu la carretera de les papallones.

"Des d'aquell punt fins a Obaba ens quedaven cent vint-i-set corbes: vuitanta costa amunt, pujant suaument fins al final d'un llarg pendent; i a partir d'allà,  després de passar a l'altre costat de la muntanya, unes altres quaranta-set que eren costa avall.

(../..)

- Com saps que hi ha cent vint-i-set corbes? -em va preguntar el meu amic quan ja portàvem unes vint.

- Ja t'he dit abans que vaig passar tota la meva infància pujat en bicicleta per aquests paratges. La de vegades que hauré passat per aquí, donant pedals i comptant-les a crits!: quaranta! quaranta-una! quaranta-dos! Em conec aquestes corbes de memòria-vaig continuar-. Veus aquella d'allà davant? Doncs si comptes les corbes venint d'Obaba és la número cent. Comptant-les, en canvi, des del poble del que venim, és la número vint-i-set.

- Suposo que per vosaltres és un lloc molt especial -va dir el meu amic somrient.

- Però no només perquè és la número cent. També per la font que hi havia adalt. Bé, que hi havia i que continua havent. Ja has vist el reguerol d'aigua que la creauava -li vaig respondre... parlant en passat, clar, perquè la corba número cent havia quedat enrere tan sols fer ell la pregunta."

Si hi ha 127 corbes, pot ser que la número cent, venint d'Obaba, sigui la vint-i-set venint de l'altre poble? Quina és la norma que marca el canvi de numeració?


Per cert... al Montsec de Rúbies, prop de Llimiana, hi ha l'ermita de Sant Salvador del Bosc. El camí que hi porta es coneix com el camí de les cent corbes, perquè l'ascensió es fa per un caminoi que, tot fent ziga-zagues, ajuda a superar els 600 metres exactes de desnivell. I també és exacta la quantitat de corbes: en fer la número cent arribes a l'ermita. Sis metres de desnivell superat, de mitjana, entre revolt i revolt. Una bonica i recomanable excursió. Però...la corba 50 de pujada... quin número té de baixada?

Sant Salvador del Bosc
Una altra idea: per què no investiguem les normatives sobre el disseny geomètric de corbes de vies públiques? Una carretera segura ha de tenir bons revolts i els radis de curvatura depenen del pendent, de la visibilitat, de la velocitat permesa a la carretera, la sortida a recta (on intervé un corba matemàtica tant interessant com la clotoide)...


El túnel del Cargol

La inclinació dels pendents que poden superar els trens és molt inferior a la dels cotxes. Als voltants del 5% ja necessita ajudes com rodes dentades o altres enginys. I tampoc poden fer corbes molt tancades. Per tant el disseny de línies de tren en zones de muntanya és especialment complicat. Per això hi ha tants túnels i ponts en aquests traçats.

Pont Gliscard al Conflent, en la línia del Petit Tren Groc

Un dels túnels més curiosos al nostre país és el Túnel del Cargol. El trobem a la línia Ripoll-Puigcerdà, entre Planoles i Tosses. Rep aquest nom perquè és un túnel que fa una corba de 360º. Però no és una rotonda de trens, no. És la solució per superar un desnivell de 32 m. 
En concret es presentava la dificultat de vèncer una diferència de cota d’uns 20 m en una distància horitzontal d’uns 50 m; el pendent resultant en un tram rectilini és impossible de vèncer directament pel ferrocarril. Tal com s’ha indicat, a d’altres països s’havia optat per estirar el tren mitjançant un cable o bé per la solució de ziga-zaga emprada en diversos projectes. La solució adoptada va ser la d’excavar un túnel de traça circular dins de la muntanya per tal de guanyar cota; el projecte va establir un pendent mitjà del 2%


Josep Suriol
Té forma d'hèlix circular, una longitud total de 1057 m i un pendent mitjà del 2%. Està dividit en tres sectors, dos coberts i un descobert.

En aquest vídeo podeu viatjar pel túnel tot observant el gir constant i regular cap a l'esquerra. També al començament del vídeo es veu, a la dreta, el tram inferior de la via, tot just a la sortida de la boca sud.


Aquí teniu una imatge d'un mapa topogràfic on es veu representat.



Podem proposar a classe calcular el radi de curvatura. Donada la poca diferència d'alçada entre les dues boques del túnel es pot menystenir aquesta. Després podem comprovar el càlcul sobre un mapa com el de la imatge o sobre mapes com el de l'ICC o el de Googlemaps. Tots dos mesuren longituds però no donen el mateix resultat. Potser veurem que hi ha coses que no acaben de quadrar i es pot fer una discussió sobre mapes, contrast de fonts d'informació...

També ens podem estirar a estudiar algunes característiques de l'hèlix circular.


Per exemple:
  • que el camí més curt entre dos punts no alineats verticalment en un cilindre és el tros d'hèlix que els uneix (cosa fàcil de justificar si fem el desenvolupament pla del cilindre).
  • que és un altre tipus de línia auto-congruent (qualsevol tros d'ella mateixa es pot fer coincidir exactament amb qualsevol altre porció), no tan evident com la recta o la circumferència. També és una forma no evident d'espasa que encaixaria en una baina de la mateixa forma, com les espases rectes o les simitarres.
  • la seva presència a l'entorn (banyes d'animals, escales de cargol, ADN, molles, cargols, taps de rosca...)
Doble escala de cargol del Vaticà. Té una doble hèlix que no es creua. Normalment una s'utilitza per la gent que puja i l'altra per la que baixa. És interessant dibuixar un model, amb dos colors, en un paper.


Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada