21 d’octubre de 2012

Soldats amb un gos a mitjanit


La novel·la El curiós incident del gos a mitjanit de Mark Haddon ens explica, en primera persona, la història d'un noi de 15 anys, Cristopher Boone, que té síndrome d'Asperger.


En Cristopher té un gran interès per les matemàtiques i al llibre van apareixent petites reflexions sobre els nombres així com els problemes que el seu protagonista va resolent. Un d'ells és el del Soldats de Conway, problema inventat per John Conway al 1982. Aquest problema es resol amb fitxes sobre un tauler de cel·les il·limitades.


T'animes a conèixer-lo i a jugar-hi?
  • El text del llibre
Primer llegirem el text de la novel·la.  (Versió de l'edició de l'Editorial La magrana, Barcelona 2004; traducció de Rosa Borràs).
“Aleshores vaig provar de pensar què havia de fer, però no podia pensar perquè tenia massa coses al cap, o sigui que em vaig plantejar un problema matemàtic per aclarir-me la ment.
I el problema matemàtic que vaig resoldre és un que s'anomena Soldats de Conway. En el problema dels Soldats de Conway tens un tauler d'escacs que continua infinitament en totes les direccions i totes les caselles que queden per sota d'una línia horitzontal establerta tenen una fitxa fosca, com aquí:

 
Les fitxes fosques només es poden moure si poden saltar per damunt d'una altra fitxa fosca en horitzontal o en vertical (però mai en diagonal) i col•locar-se en un quadrat buit, dos quadrats més enllà d’on eren. I llavors, quan mous una peça fosca així, has de substituir la peça fosca que ha saltat per una altra, com aquí:


I has de provar d'arribar tan lluny com puguis amb les fitxes fosques per damunt la línia horitzontal d'inici, i es comença fent una cosa més o menys així:
 
I després fas una cosa així:

I sé la solució perquè, moguis com moguis les peces fosques, mai no es poden fer anar més enllà de quatre quadrats per damunt de la línia horitzontal d'inici, però és un bon problema matemàtic per fer mentalment quan no vols pensar en res més, perquè el pots fer tan complicat com vulguis per mantenir el cap ocupat fent el tauler tan gros com vulguis i els moviments tan enrevessats com vulguis.

I jo vaig arribar fins aquí:


Llavors vaig alçar la vista i vaig veure un policia plantat al meu davant que em deia:
- ¿Que hi ha algú a casa?
Però jo no vaig entendre què volia dir. I llavors va dir:
- ¿Estàs bé, jovenet?
El vaig mirar i vaig rumiar una estona per contestar bé la pregunta i vaig dir:
-No.
I ell va dir:
-Fas prou mala fila.
El policia duia un anell d'or en un dit i hi tenia gravades unes lletres recargolades, però no vaig veure quines lletres eren.
Llavors va dir:
-La senyora de la cafeteria diu que fa 2 hores i mitja que ets aquí i que, quan ha provat de parlar-te, estaves completament en trànsit.”
 (pàg. 183-185) 
  • Les regles del joc
Encara que estan explicades al text les resumim ara:
  • Es juga sobre un tauler d'escacs infinit.
  • Hi ha un línia que separa dos camps.
  • A sota de la línia es posen tantes fitxes (soldats) com i on es vulguin.
  • El soldats es mouen saltant horitzontal o verticalment sobre una fitxa veïna si la casella immediata està lliure. No es pot saltar en diagonal ni sobre dues o més fitxes. Tampoc està permès el retrocés cap avall.
  • La fitxa sobre la que s'ha saltat s'elimina del tauler.
L'objectiu és arribar el més lluny possible sobre la part superior de la línia

  • Investiguem
Al text de la novel·la ja es diu que, encara que disposis d'infinits soldats, no es podrà anar més enllà de la quarta fila. No deixa de ser sorprenent. Podem trobar diferents llocs amb la demostració només que ens hi posem a navegar una mica per internet. Això  no ens impedeix jugar, perquè tampoc és tan fàcil arribar-ne a la quarta fila.

Aquí tens un applet interactivament molt senzill. Cliclant sobre les caselles les fem canviar de color. Això vol dir que tu mateix hauràs de fer els salts i eliminar les fitxes.


Clicant sobre les caselles canvien de color

  • Investiguem
A continuació temin unes possibles investigacions a fer
  1. Intenta arribar, seguint les regles del joc, el més lluny que puguis (una, dues, tres o quatre caselles de distància)
  2. Investiga quina és la mínima quantitat de fitxes per arribar a una línia de distància.
  3. Investiga quina és la mínima quantitat per arribar a dues files de distància i quina o quines disposicions poden tenir?
  4. Fes el mateix per tres caselles.
  5. Planteja’t altres situacions com les de l’exemple i estudia-les (si són possibles o no, quantitat i disposició mínima de fitxes per arribar-hi...)

  • Algunes coses més
Si voleu applets interactius més denvolupats i que autocorregeixen teniu els d'aquestes dues pàgines:
I si voleu version en pdf per treballar a l'aula

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada