21 de maig de 2018

Fem quadrats en sèrie

Aquesta proposta ve de l'imprescindible web de l'NRICH i té el nom original d'Sticky Numbers. Cal dir que sovint mires les activitats i no prens la mesura de la seva potència fins que t'hi poses a treballar o una altra persona, que ho ha fet, te la destaca. A mi em va arribar per la Sílvia Margelí que, a la vegada, la veure en una formació de l'AraMat. També en podem trobar una referència, com no, al Blog del PuntMat. Vaja... el que vull dir és que compartir problemes és una bona manera de conèixer possibles activitats d'aula interessants i, sobre tot, de buscar maneres d'estirar-les.

Començarem fent una petita variant de la proposta d'NRICH (variant que tampoc és d'invenció pròpia i està inspirada en una altra activitat del web Transum). Plantejarem un joc per a dos jugadors. A l'exemple tenim 17 cartes amb els nombres de l'1 al 17. Es barregen i es treu una a l'atzar que es col·loca sobre la taula. Imaginem que surt el 12.


La jugada correcta consisteix en posar un carta al costat d'aquesta de manera que entre les dues sumin un quadrat perfecte. En aquest cas el primer jugador pot triar entre el 4 (12+4=16) o el 13 (13+12=25). Imaginem que juga el 4. El 2n jugador podrà triar ara entre el 13, per posar-lo al costat del 12 o el 5, per posar-lo al costat del 4 (4+5=9).

El 2n jugador podrà triar ara entre el 13, per posar-lo al costat del 12 o el 5, per posar-lo al costat del 4 (4+5=9). El joc continua fins que un dels jugadors no pot col·locar cap targeta i perd la partida. Si es col·loquen totes seran taules. En aquesta partida d'exemple ja no es poden posar més cartes i ha guanyat el 1r jugador.

Podem continuar jugant de forma competitiva o, millor, de forma cooperativa: intentant fer sèries el més llargues possibles o, fins i tot, una sèrie completa amb tots els nombres. No cal dir que la quantitat de cartes potser diferent a 17. El que té d'interès de fer-ho amb cartes és que les proves es fan d'una forma més àgil que amb llapis i paper, sobre tot per controlar que utilitzem tots els nombres o que no en repetim cap. La pàgina d'NRICH té un petit applet (que no funciona en tots els navegadors; per exemple sí ho fa amb Firefox) que permet moure i encadenar els nombres.

A l'activitat original se'ns convida a investigar amb altres nombres, especialment del 31 en avall. I aquí haurem de fer com l'Adrián Paenza en els seus llibres: convidar-vos a resoldre el problema i, sobre tot, a cercar estratègies per poder buscar les cadenes completes si existeixen. Si no ho fas i continues llegint veurem que hi ha estratègies que relacionen aquest problema amb aspectes de topologia com els camins Hamiltonians.

Voleu veure una manera de fer-ho?

Utilitzem els grafs. De l'1 al 17

No tots els nombres estan relacionats entre sí per sumar quadrats. A l'exemple del joc, fins el 17, hem vist que el 12 només té dos "socis": el 4 i el 13. El 4, a la seva vegada, només pot fer quadrats amb el 12 i el 5. Podem construir un mapa de relacions en forma de graf. El millor és procedir pas a pas. Per exemple, començant amb els nombres que sumats amb 1 formen un quadrat.

A continuació podem seguir amb els que estan relacionats amb el 3, el 8 i el 15.



Si continuem d'aquesta manera completarem el següent esquema de relacions


Ara només es tracta de buscar un camí que passi per tots els nombres una sola vegada. Si analitzem l'esquema obtingut veurem que el 16 i el 17 només tenen una connexió. Per tant hauran de ser els extrems de la cadena. També és fàcil veure que tots els nombres van ben lligats i que l'única connexió triple és la de l'1. De fet, si eliminem el traç entre l'1 i el 3 tindrem una cadena completa i que, a més,  és solució única. És fàcil demostrar-ho a partir del propi esquema.


Ja tenim un cadena de quadrats completa:

16-9-7-2-14-11-5-4-12-13-3-6-10-15-1-8-17

I amb els nombres de l'1 al 31? (Camins Hamiltonians)

Podem procedir de la mateixa manera: construir un graf complet de relacions i estudiar després el possible camí. Però només que mirem el graf veurem que ara trobar una cadena completa pot ser una mica més complicat.



Potser és moment de fer un incís matemàtic. El que estem buscant en aquest graf és el que es coneix com a camí hamiltonià. Es defineix com a camí hamiltonià aquell que passa per tots els vèrtexs dels graf (els nombres en el nostre cas) i només una vegada per cadascun. Al MMACA tenen un mòdul per jugar-hi buscant un camí que passi per totes els vèrtexs d'un dodecaedre.


També l'incansable Maurici Carbó, sota el seu àlies de Númmolt, ha dissenyat una petita aplicació per a dispositius mòbils que ens fa jugar amb aquest tipus de camins.

Camins d'Euler i Hamilton
La cerca d'un camí al graf de relacions del 31 fa que l'activitat deixi de ser purament numèrica per entrar en l'àmbit de la topologia, una de les branques de la geometria més desateses a les nostres aules. Igual que abans, tornant al'estil Paenza, us aconsellem que us imprimiu el graf del 31 i ho intenteu vosaltres mateixos. Si no ho voleu fer, a continuació s'expliquen unes petites passes d'anàlisis.
  • Assenyalar els nombres amb només dues connexions. Si volem fer un recorregut complet i hem de passat per tots els nombres convé assenyalar els "camins obligatoris". Per exemple al 27 només s'arriba des del 22 o el 9. Per tant, si el hem de passar pel 27 ho farem, per força, des d'un d'aquests nombres. Pintarem aquests nombres i camins de color verd. Cal destacar que no tots els camins verds seran de pas obligatori. Si el 27 acaba sent principi o final d'itinerari només caldrà que, al final, quedi un d'aquests camins. De moment, però, els hem marcat. Amb el mateix criteri anem marcant la resta de nombres biconnectats: 17, 28, 30...

  • Buscar noves obligatorietats. Els nombres i camins que he marcat generen noves obligatorietats que podem buscar i assenyalar. Per exemple, abans hem marcat els nombres 18 i 29 com connectats necessàriament amb el 7 (a la part inferior de l'esquema). Donat que pel 7 només podem passar una vegada això anul·la els camins que connecten el 7 amb el 2 i el 9.. Amb el mateix criteri podem eliminar alguns camins dels que surten de nombres com el 20, el 8 i el 19.

D'aquesta manera obtenim un nou graf en el que algunes connexions s'han esborrat i d'altres apareixen com a forçoses. Observarem que els nombres en blau són els que tenen més d'una connexió.


  • Viatjar de forma ordenada pel graf estudiant opcions. Per exemple podem començar pel nombre 5 situat, en blau, a la part inferior dreta. Té dues vies possibles de sortida: l'11 i el 4. Si explorem primer el camí de l'11 veurem que aquest connecta obligatòriament amb el 25 i podrem eliminar també l'arc (el camí) que uneix l'11 amb el 14. Tirem per aquí i, si cal, ja explorarem més endavant el camí del 4.

Del nombre 25 arribem al 24 que té dues opcions: 1 i 12. Explorem la que passa pel 12.


I des del 12 explorem el camí del 4. Ja retrocedirem a estudiar l'arc del 13 si ens quedem bloquejats.

El camí del 4 porta al 21 i d'aquí anem a tota una sèrie d'obligatorietats fins arribar al 6. Del 6 podrem passar al 3 i al 10. Explorem l'arc del 10.

Seguint pel 10 la nova tria la tenim al 23, entre el 2 i el 13. Explorem el camí del 2. Però abans fer una altra observació. A l'agafar el camí del 10 que porta al 23 eliminem l'arc que el connectava al 15 que ara ha quedat amb un sol arc. Això significa que el 15 haurà de ser principi o final d'itinerari.


Ara podem veure que l'arc del 2 al 14 porta del 14 al 22 i del 22 al 27. D'aquesta manera hem tancat un camí que deixa quatre nombres fora: 15, 1, 3 i 13.


Molt bé... cal retrocedir. La darrera tria l'havíem fet al 23. L'arc del 2 no ens ha resolt el problema. Toca explorar l'arc que portava al 13. Del 13 passem al 3 on tenim dues opcions. El camí de l'1 sembla obligatori per poder connectar amb el 15 que és un extrem de l'itinerari. 

Al gràfic anterior es pot veure que el 2 és un nou extrem. Però. a més, podem descobrir que tenim una cadena completa de parelles de nombres contigus que sumen quadrats. Ja tenim una solució del problema!
2-14-22-27-9-16-20-29-7-18-31-5-11-25-24-12-4-21-28-8-17-19-30-6-10-26-23-13-3-1-15
De fet només hem explorat algunes possibilitats. Per poc que hi jugueu en trobareu noves solucions.
2-14-22-27-9-16-20-29-7-18-31-5-11-25-24-12-4-21-28-8-17-19-30-6-3-13-23-26-10-15-1
4-12-13-3-6-30-19-17-8-28-21-15-1-24-25-11-5-31-18-7-29-20-16-9-27-22-14-2-23-26-10


I amb altres nombres?

És interessant anar investigant altres nombres. A la pàgina de l'activitat de l'NRICH també ho recomanen. El nombre més petit que permet fer una cadena sencera és el 15. La de 16 i 17 són molt fàcils de fer a partir d'aquesta del 15 ja que només cal afegir-los als extrems. Les següents cadenes són les de 21, 23 i, a partir de 25 són totes possibles fins a 31. En aquesta presentació trobareu algunes solucions, així com cadenes tallades de les que no es pot aconseguir.


En aquest enllaç, trobat al web del PuntMat, trobareu cadenes per nombres superiors

I a l'aula?

Aquesta és una activitat que té poc a afegir per aplicar-la a l'aula. És un bon exemple de pràctica productiva (en contraposició a pràctica merament reproductiva) que va més enllà de la familiarització amb els nombres quadrats. Si es fa tota la investigació hi ha una connexió clara amb la topologia si utilitzem els grafs per representar les relacions entre els nombres i estudiar després els possibles camins hamiltonians que fan una cadena completa. En tot cas, podem apuntar la possibilitat de dividir la feina en petits grups per investigar diferents nombres.

Un altre patró més simple que poden descobrir els alumnes es basa en fer un quadre de doble entrada amb els nombres que es relacionen entre sí per obtenir com a suma un quadrat. Es pot observar un patró que també és interessant d'estudiar i que convida a pensar en els quadrats com a suma de senars consecutius.


De fet la persona que em va fer cridar l'atenció en l'activitat va ser la Sílvia Margelí que em va fer observar que la solució de 17 tenia una representació gràfica interessant en aquest mateix gràfic.


Hi ha altres possibilitats per fer sèries d'aquests tipus:
  • Al web de Transum hi ha una activitat, Prime Pairs Game, que convida a fer cadenes en la que la suma dels dos nombres ha de ser un nombre primer. Té un applet interactiu plantejat com un joc per a dos jugadors. 

  • Una altra activitat de Transum, Flabbergasted, consisteix en fer cadenes de nombres de forma que cada nombre sigui múltiple o divisor de l'anterior.
  • Una activitat d'NRICH molt similar a la que hem tractat és Cycling Squares en la que planteja fer cercles de nombres que formin quadrats sumant el seu anterior o el seu posterior. Aquí no cal que siguin nombres consecutius.

  • L'activitat inicial l'havíem plantejat com un joc per a dos jugadors. Hi ha estratègia guanyadora per a un d'ells? Cal recordar que al principi surt una carta a l'atzar.




Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada