Heptatrisecció de l'angle

A l'antiga Grècia, per resoldre els problemes geomètrics, es van autoimposar un regles de joc. De la mateixa manera que quan juguem a futbol, si no som porters, ens autoimposem no tocar la pilota amb els braços encara que ho puguem fer amb qualsevol altra part del cos, les regles gregues per a la resolució de problemes es referien a les eines a utilitzar: només rectes i circumferències, o, dit d'una altra manera, amb regle sense graduar i compàs col·lapsable (un compàs que es tanca quan el separes del paper). Van resoldre molts problemes, però hi ha tres que van passar a la història perquè no en van trobar la solució:

• la quadratura del cercle (construir un quadrat d'àrea equivalent a un cercle donat).
• la duplicació del cub (trobar l'aresta del cub de volum doble a un altre donat).
• la trisecció de l'angle. 

Segles més tard es va demostrar que cap dels tres problemes era resoluble amb aquestes regles de joc. Potser del que menys es parla és el de la trisecció de l'angle i, per aquest motiu, li dedicarem aquest article.

Una dels teoremes més bonics relacionats amb la trisecció de l'angle és el teorema de Morley. Aquest teorema diu que els punts d'intersecció entre les trisectrius dels angles d'un triangle qualsevol formen un triangle equilàter. Pots provar-ho amb aquest applet.

És evident que hi ha angles concrets, com el de 90º, que es poden trisecar amb regles i compàs. Us convidem a fer-ho amb GeoGebra.

https://www.geogebra.org/m/z32rpRP2

Però la impossibilitat de la resolució del problema general, per a qualsevol angle, va ser demostrada per  Pierre Wantzel al 1837. Si bé a l'antiga Grècia no van saber resoldre el problema amb regle i compàs de forma exacta, sí que ho van saber fer amb altres eines. Per exemple amb un regle amb un parell de marques o amb regle, compàs i algunes corbes especials com l'espiral d'Arquímedes, la quadratriu d'Hipies o la concoide de Nicomedes. Són solucions molt boniques que es poden mostrar i treballar a l'aula. Recordem que la cultura matemàtica, i en concret el coneixement de la seva història, han de ser part important del bagatge dels nostres alumnes.

Espiral d'Arquimedes

Quadratiu (o trisectriu) d'Hipies

Concoide de Nicomedes

També mostrarem un trio d'artefactes mecànics que trisequen l'angle: els trisectors de Ceva, Laisant i Kempe.

Pantògraf de Ceva

Trisector de Laisant

Trisector de Kempe

Ens hi posem?

D'un sol tall (2)

Continuem l'article anterior amb problemes "d'un sol tall". En aquest parlarem de talls de triangles i quadrilàters.

• Un quadrat d'un sol tall

Tenim un quadrat dibuixat al mig d'un full. Aquí dibuixarem totes les figures "ben orientades" en el paper però, en el problema general, no és estrictament necessari. Tornem al quadrat. Tal com està, per retallar-lo ens calent quatre talls de tisora.

Si el pleguem per la meitat ens podrem estalviar un tall i fer-ho només amb tres.

Per altre banda tenim dues formes de plegar el quadrat que ens deixa tallar-lo amb tan sols dos talls. El primer demana dos plecs, el segon només un.

Si a partir del plec en diagonal anterior en fem un altre, també "en diagonal" observarem que amb un sol tall podem tallar el quadrat.

Ho podem veure en aquest vídeo:

El repte: més figures d'un sol tall

Us proposem que agafeu paper i tisores i us enfronteu a aquests problemes: com plegar cada figura per poder-la tallar d'un sol cop de tisores:

• Triangles: un d'equilàter, un isòsceles i un escalè.

• Quadrilàters: un rectangle, un romboide, un trapezi i un trapezoide.

Per tal de poder superposar costats quan dobleguem és recomanable treballar amb paper vegetal. Si no, encara que és més incòmode, haureu de treballar a contrallum; en aquest cas convé dibuixar els costats dels polígons ben gruixuts. 

Vols mirar les solucions?

D'un sol tall (1)

Al llibre "El país de las maravillas matemáticas", escrit per Jin Akiyama i Mari-Jo Ruiz, es plantegen tot un seguit d'interessants problemes "d'un sol tall" i que tractarem al llarg de dos articles. En aquest primer presentarem dos jocs sorprenents, i en el proper, problemes per portar a l'aula.

Els problemes "d'un sol tall" plantegen el següent repte: com plegar un full de paper per obtenir amb un únic tall una figura concreta. Podríem dir que és un problema d'optimització en el que simetries, bisectrius, mediatrius... juguen un paper important. Comencem per un problema real ben simple i que ens vam trobar a la feina fa ben poc.

Havíem de tallar cinc teles en terços. En principi això implica dos talls per tela. Consell de la costurera i que vam aplicar: "plegueu la tela per la meitat, mesureu 1/3 del total de l'amplada, marqueu i talleu". Amb un sol tall per tela aconseguíem tres trossos iguals.

En repte plantejat al llibre consisteix en plegar una quadrícula de 4x4 pintada com un tauler d'escacs de forma que, aplicant un únic tall amb les tisores puguem separar els quadrats negres dels blancs. Sembla impossible, no? Doncs ara us explicarem com fer-ho. I també com fer una estrella de cinc puntes d'un sol tall.

Resultat del tall. Els que em coneixen saben que les manualitats no són el meu fort

En quin lloc sortirà?

Imaginem un joc com el següent. Tenim una urna opaca amb deu boles: vuit blanques i dues negres. El joc consisteix en treure boles de la urna fins que apareix una negra.

A partir d'aquí ja podem fer preguntes a l'aula. Per exemple:

• Pot aparèixer la primera bola negra en el desè lloc?
• Quin és el lloc més llunyà en el que pot aparèixer?
• I el més proper?
• Tenen tots els llocs (1r, 2n, 3r... ) la mateixa probabilitat?

No es tracta, de moment, de calcular probabilitats. Sinó de treballar la intuïció probabilística.

Compliquem ara el joc. Hem d'apostar, posem-ne un pèsol (com fan sovint a les retransmissions de la TdP), per endevinar en quin lloc pensem que apareixerà la primera bola negra. En quin número d'ordre (la primera, la segona, la tercera...) pensem que és més probable que surti? Quin lloc triaríeu?

Contesta't mentalment i continua llegint

Descobrir l'error i corregir-lo

Quan un lector de codi de barres llegeix els nombres que codifiquen un producte sap si la lectura que ha fet és correcta o no perquè realitza uns càlculs determinats amb les primeres dotze xifres per obtenir-ne la tretzena. Si coincideixen la lectura està ben feta. Per altra banda, les targetes de crèdit o el números de compte corrent tenen també uns dígits de control que s'obtenen a partir de les altres xifres del nombre. Serveixen per autentificar-los i eliminar possibles errors o falsificacions. Podeu llegir més sobre els càlculs que es fan en cada cas al web del Calaix +ie. Una cosa és clara: aquests codis detecten un error, però no el corregeixen.

En una transmissió "digital", com la TDT o la telefonia mòbil, és molt possible que les interferències modifiquin les seqüències de uns i zeros de la transmissió. No en parlem de la connexió telefònica d'internet. Ens interessa "netejar" aquestes interferències i reconstruir el codi original si ha estat alterat: hem de detectar l'error i corregir-lo. Si, per exemple, enviem duplicada una seqüència, comparem les dues versions i són diferents, no sabrem ni quina és la bona ni si les dues són incorrectes. Ens pot passar el mateix si tripliquem una seqüència. Dues poden haver "patit" la mateixa interferència i ser correcta la diferent. O poden ser les tres incorrectes. Per tant, cal fer un altre "invent" i que sigui més econòmic en termes de transmissió. I l'invent ja està fet. Es coneixen com a codis de detecció i correcció d'errors. Bàsicament consisteixen en afegir una cadena de bites a la seqüència origen que, amb un algoritme concret, comprovi el missatge i el modifiqui si no s'ajusta al que "tocaria".

El 22 de setembre de 2015, en una conferència realitzada al MMACA, el professor Jin Akiyama va presentar un petit joc matemàtic que il·lustra perfectament un d'aquests codis correctors. També l'explica Clara Grima a una de les seves "mateaventures" (Adivinando en 55 segundos). L'únic que afegiré de nou serà un model interactiu ampliat del joc perquè podeu jugar i algunes explicacions lleugerament diferents.

Jin Akiyama

El joc matemàtic és una modificació del força conegut conjunt de targetes binàries per endevinar un nombre. Bàsicament la versió clàssica del joc es basa en que qualsevol nombre es pot descompondre en potències de 2. Així si vull endevinar nombres entre 1 i 31 faré el següent:

• Fabricaré 5 targetes amb 16 caselles.
• Encapçalaré les targetes amb els nombres 1, 2, 4, 8 i 16
• Descompondré els nombres de l'1 al 31 en sumes de potències de 2 (1, 2, 4, 8 i 16). Per exemple el 6=2+4,13=1+2+8, 23=1+2+4+16...
• Col·locaré els nombres de l'1 al 31 a les targetes encapçalades pels nombres que intervenen en la seva descomposició. El 6 estarà a les targetes de 2 i el 4, el 13 a la de l'1, el 2 i el 8, etc.
• Amb les meves 5 targetes li demanaré a alguna persona que pensi un número de l'1 al 31 i que m'indiqui a quines targetes està el nombre pensat. Si, per exemple, m'indica les targetes encapçalades pel 2, el 8 i el 16, per endevinar el nombre pensat només haig de sumar mentalment aquests tres nombres 2+8+16=26.

Podeu veure un exemple interactiu d'aquestes targetes a la pàgina Càlculus, així com descobrir, amb més detall, com es construeixen.

Però...

... què passa si ens diuen una mentida?