Multiplicar amb dobles o amb dobles i meitats. Les multiplicacions egípcia i russa

Aquests dos algoritmes són prou coneguts.En aquest article, a més d'explicar-los, intentarem buscar-hi relacions.

Tots dos mètodes de multiplicar són molts idonis per treballar-los a l'aula perquè no requereixen el coneixement de les taules. Per utilitzar l'egipci només cal saber sumar i duplicar. Per aplicar el rus ens caldrà, a més, saber fer meitats. Tots dos es poden treballar a les aules de primària senzillament replicant-los. Serà una forma de practicar dobles i meitats amb sentit. Per altra banda, i especialment l'egipci, és un algoritme clar, transparent, amb control del que s'està fent i per què. És dels pocs algoritmes clarament comprensibles d'entrada. A secundària, o al final de la primària, podem atacar l'explicació del la multiplicació russa, que ja és una mica més exigent.

Mirem primer els algoritmes.

• Multiplicació egípcia

En aquesta presentació podem veure el mètode de multiplicar egipci. Observarem que es van fent dobles d'un dels factors (preferentment el més gran) i, paral·lelament, els dobles d'1, 2, 4, etc. fins a no excedir l'altre factor. A continuació és busquen en aquesta columna els nombres que sumen aquest factor i, tot seguit, sumem els seus paral·lels. Aquesta suma és el resultat de la multiplicació.

• Multiplicació russa

Aquest algoritme va ser utilitzat fins a l'edat mitjana i encara va "resistir" en algunes zones de Rússia, Etiòpia o pròxim Orient. S'observa que d'un dels factors es van fent dobles i de l'altre meitats (preferentment del petit). Quan ens trobem un nombre senar restem un, fem la meitat del número obtingut i marquem el nombre. La suma dels paral·lels marcats ens donarà el producte dels dos nombres.

Estudiem i comparem els dos algoritmes?

• Estudiem la multiplicació egípcia

Ja hem dit abans que aquest algoritme és molt transparent. Quan escrivim un 1 i al costat el 627 diem que una vegada 627 és 627. Quan escrivim un 2 i el 1254 tenim el valor de dues vegades 627. I si continuem amb un 4 i 2508 és que aquest valor és el quàdruple de 627. Després no cal més que combinar valors. Si 5 és 4+1, cinc vegades 627 l'obtindrem de sumar els valors parcials que tenim 2508+627 (quatre vegades 627 i una vegada 627 són cinc vegades 627).

Una de les coses a observar a l'aula és que sempre, a partir de la suma d'1, 2, 4, 8... podrem obtenir el valor del factor buscat. La raó és que estem treballant amb les potències de dos. De fet, si ens ho mirem amb detall, podrem observar que estem treballant amb sistema binari. Si indiquem amb un 1 els valors agafats i amb un 0 els que deixem i ho escrivim ordenadament tindrem la transcripció binària del factor.

• Estudiem la multiplicació russa i comparem-la amb egípcia

La comprensió completa d'aquest algoritme potser demana una mica més de treball. Si comencem per comparar els dos algoritmes veurem que la relació va més enllà de "fer dobles" amb un dels nombres. Observarem també que els resultats parcials triats són els mateixos en els dos casos.

Aquesta observació ens dóna una primera pista. Potser podem veure més clarament la relació si mirem el que fem quan triem els senars. A continuació tenim un exemple amb el 345 multiplicat per un altre nombre qualsevol b.

Com veiem el que obtenim de nou és al valor binari de 345- Els uns que "separem" són els uns del l'escriptura en base dos i ens indiquen "quantes vegades" tenim el segon factor.

L'altra qüestió important a treballar en aquesta multiplicació és la idea de que si multipliquem la meitat d'un dels factors pel doble de l'altre el resultat no varia. Això ho veurem més clar amb un exemple que "quadri", sense "separar senars".

Pot ser interessant a l'aula observar aquesta propietat no només numèrica o algebraicament sinó també gràficament.

• I a l'aula?

En principi, i com ja hem dit, són dos tipus de multiplicacions que tenen sentit treballar-es per sí mateixes reproduint els algoritmes, tant a primària com al principi de la secundària. Pel cas de la multiplicació russa potser convé treballar de forma que un dels factors sigui una potència de 2 (1, 2, 4, 8, 16...) perquè no calgui "separar senars". Però podem fer algunes coses més.

• Intentar adaptar l'algoritme de la multiplicació egípcia a la divisió.
• Investigar les relacions entre els dos mètodes i entre els algoritmes i l'anotació binària.
• Argumentar el funcionament de la multiplicació russa, tant en l'aspecte de la conservació "doble-meitat" com amb la "selecció" dels senars pels resultats parcials.

Altres algoritmes de multiplicació treballats al blog del Calaix +ie

• La multiplicació Veda. Un algoritme que treballa de forma relativament simple amb excessos i defectes.
• L'algoritme de Karatsuba. Algoritme de l'any 1962 que ajuda a reduir la quantitat de productes parcials amb nombres molt grans.
• Tres algoritmes històrics de multiplicar: piràmide, creueta i fulmínia. Algoritmes relacionats entre sí que es van utilitzar entre els segles XIII i XIX.