Una estratègia per treure's el barret

Aquest problema l'he conegut a través d'un vídeo de Clara Grima (el podeu veure al final de l'article). Ella mateixa atribueix el descobriment a un blog d'Edward Felten director adjunt de tecnologia de la Casa Blanca (la de Washington). El problema és realment curiós, no només pel fet de tenir solució, sinó per l'eina matemàtica que s'utilitza per resoldre'l. Mirem com s'enuncia.

Imaginem que tenim quatre persones per fer el joc i barrets de quatre colors diferents: vermell, blau, groc i verd. En disposem de quatre de cada color. Posem a l'atzar un barret a cadascun dels jugadors. Es poden repetir colors. Podrien ser els quatre verds, dos vermells i dos grocs, tots diferents... Cadascun dels participants en el joc veu els altres tres barrets però no el seu. A continuació escriuen en un paper el color del que pensen que és el seu barret. Si un sol dels jugadors l'endevina tots guanyen. Si fallen tots, perden tots.

Ja tenim la situació. Ara bé el problema. Imaginem primer que tots juguen de forma absolutament legal, sense fer-se indicacions ni comunicar-se de cap manera. Però això no implica que abans no els haguem deixat una estona per pensar una estratègia a seguir. Existeix tal estratègia? Una manera d'actuar que asseguri que, com a mínim, a cada jugada un encerti el seu color?

Podem començar el problema analitzant què passaria si cadascun dels jugadors contesta a l'atzar. De fet ja és un bon problema. La intuïció ens diu que actuant així no garantim que sempre s'encerti però podem posar a discussió un argument fal·laç: si cada jugador té 1/4 de probabilitat d'encertar entre tots quatre "asseguren el tret":

Bé... ja sabem que és fals. Podríem buscar tots els casos possibles i entre ells els favorables (situacions en la que un jugador o més encerten), però serà feixuc. Millor agafem una drecera: calculem quina és la probabilitat de que tots fallin. Si la d'equivocar-se un és 3/4 la de que ho facin tots serà:

En la resta de casos algú encertarà. Només cal restar de la unitat.

Déu n'hi do! No és una probabilitat baixa. De fet encara és més alta si tenim en compte que cada jugador veu tres barrets. Els quatre jugadors es poden posar d'acord en actuar de manera similar segons els colors que vegin. Una estratègia possible consisteix en dir un color que no veuen. Si són dos els colors que no veuen diran un d'ells a l'atzar. Actuant així la probabilitat general pujarà al 77,03%, i en el cas concret de que realment els quatre portessin colors diferents tots quatre encertarien.

Però el cert és que volem assegurar que una persona encerta sempre, sense importar-nos quina o si és la mateixa a cada joc. I el que també és cert que observar els barrets dels altres no sembla donar-nos cap informació fiable per encertar el color propi.

Encara que sembli impossible en realitat aquesta estratègia existeix. I fa servir l'aritmètica "del rellotge"! Sorpresos?

Voleu conèixer l'estratègia?

Comencem per explicar els mínims necessaris d'aritmètica modular, també coneguda com la "del rellotge", per poder entendre i aplicar l'estratègia.

     L'aritmètica "del rellotge"

En un rellotge les busques van girant i repetint cíclicament les situacions. Si ara són les sis d'aquí 12 hores ho tornaran a ser. I d'aquí quinze hores seran les 9. I fa 7 hores eren les 11. Més o menys tots sabem fer aquests càlculs. Però si els escrivim com ho farem a continuació, sense avisar que estem parlant de rellotges, sembla que no tinguin sentit.

6 + 12 = 6

6 + 15 = 9

6 - 7 = 11

Per que quedi matemàticament "clar" només hem d'explicar que estem treballant en mòdul 12. En el fons el que fem és jugar amb els residus de dividir per 12.

6 + 12 = 18 → 18/12 = 1 (residu = 6)

6 + 15 = 21 → 21/12 = 1 (residu = 9)

La resta la podem raonar d'una altra manera

6 - 7 = -1 → Una hora abans de les 12 → 12 - 1 = 11

Una particularitat és que el 12 del nostre rellotge és l'indicador de l'inici i el final del cicle. Per tant 0 és igual a 12. I posats a triar, ja que parlàvem de residus millor comptar amb el 0. Al nostre rellotge li posarem un 0 en comptes d'un 12.

A la pràctica no cal "matar-se" tant per calcular:

• si sumem avancem amb el rellotge
• si restem retrocedim

En el nostre cas encara serà més fàcil perquè el nostre rellotge només tindrà quatre hores. A la imatge teniu un exemple de suma i un altre de resta.

El més freqüent és escriure aquestes sumes utilitzant un signe diferent de l'igual (amb tres ratlles) i indicar el mòdul.

Si això ja està entès podem continuar

     L'estratègia

El primer pas consisteix en acordar l'assignació d'un nombre del zero al tres a cada color, Per exemple es pot pactar aquesta assignació.

En el segon pas hem d'adjudicar a cada jugador un número també del zero al tres. Li direm "número personal".

Imaginem ara que s'ha fet una distribució de barrets i veurem com s'aplica l'estratègia.

Cada jugador ha de fer el següent:

1. Trobar el valor numèric en mòdul 4 de la suma dels colors que veu.
2. Comptar quan li falta a aquest número, en mòdul 4, per arribar al seu "número personal".
3. Dir el color que li correspon a aquest nombre.

Mirem com funciona en el nostre cas.

• Jugador 0. Suma els valors del colores que veu (3+0+2 = 5). El valor equivalent a 5 en mòdul 4 és l'u (5 ≡ 1). Per arribar al 0 (el seu número personal), i com es veu al gràfic, el rellotge s'ha de moure 3 unitats. El color corresponent al tres és el verd. Ell porta el barret groc. Falla!

• Jugador 1. Suma els valors del colores que veu (2+0+2 = 4). El valor equivalent a 4 en mòdul 4 és el zero (4 ≡ 0). Per arribar a l'1  (el seu número personal), des del zero, el rellotge ha d'avançar una unitat . El color corresponent a l'u és el blau. Ell porta el barret verd. Falla!

• Jugador 2. Suma els valors del colores que veu (2+3+2 = 7). El valor equivalent a 7 en mòdul 4 és el tres (7 ≡ 3). Per arribar al 2 (el seu número personal) el rellotge ha d'avançar tres unitats. El color corresponent al tres és el verd. Ell porta el barret vermell. Falla!

• Jugador 4.  Suma els valors del colores que veu (2+3+0 = 5). El valor equivalent a 5 en mòdul 4 és l'u (5 ≡ 1). Per arribar al 3 (el seu número personal) el rellotge s'ha de moure dues unitats. El color corresponent al dos és el groc. Ell porta el barret groc. Encerta!

Potser pensareu que hi ha un punt de casualitat. O que el cas està preparat. Però si proveu l'estratègia amb altres casos veureu que sempre encerta un... i només un. Quin?

     Analitzem l'estratègia

Per facilitar-vos la feina hem preparat un petit applet que us permetrà provar casos diferents automàticament. L'únic que hem afegit és un càlcul que no cal per l'aplicació de l'estratègia però que ens ajudarà a veure per què funciona. Aquest càlcul és el valor, en mòdul 4, de la suma dels colors dels quatre barrets.

Us convidem a experimentar, veure que l'estratègia funciona sempre i a que busqueu alguna relació de la que no hem parlat fins ara.

Potser haureu observat que, sorprenentment, el valor en mòdul 4 de la suma dels colors ens indica el jugador que encertarà. Però... per què?

L'explicació és relativament senzilla. I diem "relativament" perquè quan s'ha vist és senzilla però mentre no es veu no ho és tant.

El fet de que el valor de la suma dels colors en base 4 assenyali el jugador que encertarà va lligat a l'estratègia.

• Un jugador veu tres colors i li falta un valor per encertar el valor suma dels colors

a + b + c + x = total

• Per tant, el valor de x és el total menys la suma dels colors que veu

x = total - (a + b + c )

• L'estratègia marca que el color que s'ha de dir és "el que li falta a la suma per arribar al número personal". Dit d'una altra manera, cal restar, en mòdul 4, el teu número personal de la suma dels colors.

resposta = número personal - (a + b + c)

• Per encertar la resposta ha de ser igual a la incògnita x. Una mica de manipulació algebraica ens mostra que això només passarà quan el total coincideixi amb el número personal.

resposta = x

total - (a + b + c ) = número personal - (a + b + c)

total = número personal

I a l'aula?

• La primera possibilitat és jugar. Però jugar de debò amb barrets, cintes al cap, gomets al front... Després podem aplicar l'estratègia. Amb alumnat més petit, de primària o primers cursos d'ESO, ens podem ajudar amb una rèplica del rellotge al que li puguem moure l'agulla. Després podem variar la quantitat de jugadors i barrets: amb tres, amb cinc... l'únic que hem de tenir en compte que ens calen tants colors diferents com barrets i que els càlcul s'han de fer en el mòdul corresponent: tres, cinc...
• Una possibilitat més avançada és intentar justificar l'estratègia. És molt probable que surtin argumentacions ben diferents.
• Ja hem comentat la possibilitat de fer l'estudi probabilístic del joc.
• I encara hi ha una darrera proposta també recollida del mateix vídeo de Clara Grima que hem comentat abans. L'estratègia d'aquest joc dels barrets és complexa i difícil d'arribar-hi. No era aquesta la intenció de l'activitat. En canvi sí que podem trobar una estratègia per aquest altre joc. "Posem dues persones en dues habitacions diferents, cadascuna amb una moneda. Cada jugador tira la seva moneda i ha de dir si a l'altre, del que no sap res, li ha sortit cara o creu. Si un encerta guanyen els dos. Si els dos fallen perden els dos". En aquest problema els dos jugadors poden pactar també prèviament una estratègia que assegurarà que un dels dos encertarà. I és una estratègia més accessible.