Itineraris additius per la quadrícula

Amb el títol de Tot sumant, al novembre del 2013, vaig publicar un article en aquest blog en el que es plantejava un problema d'itineraris additius per una quadrícula. M'agradaria reprendre'l ara per estudiar-lo més àmpliament. Al passat C2EM va ser una de les activitats proposades pel Cesire de Matemàtiques al "taller virtual" Laboratori de matemàtiques i la participació de la gent va ser força animada. De fet el taller va generar algun correu, que després comentaré, i és el que ha promogut aquesta revisió ampliada.

El problema original, que vaig conèixer per un llibre de Fernando Corbalán i amb el nom de L'ascensor (Matemáticas de la vida misma, Ed. Graó, p. 40), és el següent: fer un recorregut per una quadrícula de 3x3 de la següent manera:

• comencem a qualsevol casella posant un 1.
• passem a una casella contigua, en vertical, horitzontal o diagonal, i escrivim el nombre que correspongui a la suma de totes les caselles del voltant, ja toquin per un costat o per un vèrtex.
• continuem fent un recorregut continu que, sense salts, completi tot el caseller.

L'objectiu és aconseguir el nombre més alt un cop completat el recorregut. Aquí teniu un exemple animat d'itinerari.

Si voleu podeu practicar amb aquest applet fet amb Scratch. Per a fer el recorregut cal anar clicant els punts blaus.

Enllaç al programa en Sracht

Quan fem aquesta activitat a l'aula convé saber quin és el màxim assolible per animar a l'alumnat a continuar provant si no l'han obtingut. O bé, per fer observar que hi deu haver alguna errada si diuen un resultat que el supera. Les errades habituals inicials són de càlcul  o per no haver entès alguna de les regles del joc.

A continuació parlarem del correu que em van enviar i que proposava una màgica connexió entre problemes. Aquesta possible relació era d'obligatòria investigació i, a més, convidava a estudiar l'ampliació a quadrícules de 4x4 i 5x5. Però abans, us animo a practicar una mica aquest problema en aquests taulers més grans.

Enllaç al programa en Srcatch

Enllaç al programa en Srcatch

Us animeu a seguir les nostres exploracions?

El nim del doble (2)

 A l'article anterior a aquest (El Nim "del doble" - 1) presentàvem i iniciàvem l'anàlisi d'un joc d'estratègia per a dos jugadors de tipus Nim. En aquest cas, les regles són les següents: hi ha una pila de fitxes de la que cada jugador pot agafar tantes fitxes com vulgui entre una i el doble de les que hagi agafat el jugador anterior. Qui deixa la taula neta guanya. I, a la jugada inicial es poden agafar totes les fitxes que es vulguin menys una.

Exemple de partida amb 10 fitxes inicials.
La partida es llegeix d'esquerra a dreta i guanya verd

Vam fer tots de diagrames en arbre per estudiar diferents quantitats de fitxes inicials i de conjectures equivocades. Cap al final de l'article vam veure que hi apareixien misteriosament els nombres de Fibonacci. Si la quantitat de fitxes inicial és un nombre de Fibonacci sembla que hi ha estratègia per al 2n jugador. Si no ho és el primer pot guanyar si deixa al contrari amb una quantitat de fitxes que sigui un nombre de Fibonacci. Però també vam veure que això no ho podem fer sempre sempre. Posàvem l'exemple de jugar amb 12 fitxes. Si A (el 1r jugador) agafa 4 deixa a B (el 2n jugador) amb 8, que és un nombre de Fibonacci, perdrà perquè B, que pot agafar fins al doble de la jugada anterior, pot agafar les 8 que queden i guanyar. Després vam fer l'arbre d'estudi del joc per a 12 fitxes i vam veure que la sortida guanyadora era 1 (11), que entenem com "agafar-ne una i deixar-ne 11".

Estratègia per a A per a 12 fitxes

Deixar 11 fitxes no és "deixar un nombre de Fibonacci". Per tant vam concloure que havíem d'estudiar més el problema. I és el que farem ara.

T'animes a seguir llegint?

El Nim "del doble" (1)

El jocs d'estratègia són un dels millors recursos per treballar la dimensió de resolució de problemes a l'aula. I de forma inevitable es treballen també les altres dimensions (raonament i prova, representació i comunicació i connexions). Són un dels tipus d'activitats més riques i completes. Però, tot i així, sembla que costa que entrin a l'aula com una activitat habitual. Probablement, entre les moltes raons que hi poden haver, està que sovint no semblen tenir una relació molt directa amb els continguts clàssics. També que mestres i professorat no tenim molt de costum en l'anàlisi de jocs, que tenim una certa inseguretat en l'abordatge de la seva resolució.

El "Tres en ratlla" és un exemple clàssic de joc d'estratègia

En els jocs d'estratègia, que no depenen de cap habilitat física o manipulativa especial ni de cap aspecte relacionat amb l'atzar, s'apliquen tècniques molt habituals de la resolució de problemes. Podeu veure algunes relacions en aquests quadres.

En aquest article estudiarem un joc que, en el passat C2EM, van plantejar Jordi Font i Laura Morera en la seva esplèndida conferència de cloenda. Aquest joc l'anomenarem el "Nim del doble" i és molt interessant i, fins i tot, sorprenent complex. Cal dir que també en conferència inaugural, a càrrec d'Eduardo Sáez de Cabezón, es va plantejat un altre joc de tipus Nim.

Per poder exemplificar millor el procés de l'anàlisi del joc no el mostrarem directament acabat. Anirem mostrant i comentant diferents moments d'aquest procés, fins i tot posant en evidència errades, conjectures falses, idees explorades i abandonades, descobertes de nous camins... Pensem que així, potser, es veurà millor la riquesa d'aquesta petita investigació matemàtica.

Presentem primer el joc. L'únic material necessari és un conjunt de fitxes.

Regles:

• Tenim una pila d'n fitxes. Per exemple 20.
• El primer jugador, a l'inici, pot agafar totes les fitxes que vulgui menys una (en el nostre exemple pot agafar d'una a dinou).
• El segon jugador pot agafar entre una i el doble de les que ha agafat l'anterior. Per exemple, si el primer (A) agafa 4 fitxes , el segon (B) podrà agafar-ne entre 1 i 8.
• Es continua jugant amb aquesta regla.
• Guanya qui deixa la taula neta (qui agafa l'última o últimes fitxes)

A les dues taules següents teniu l'exemple del desenvolupament de dues partides. La primera la guanya B (el 2n jugador) i la segona A (el primer jugador) .

No cal dir que, abans de continuar llegint, és millor que jugueu algunes partides i comenceu a fer les primeres hipòtesis.

Analitzem el joc?

El codi interestel·lar d'Ivan Bell

Aquesta activitat ja està al web antic del Calaix +ie. Inclou un interactiu no gaire assolit, tot s'ha de dir, i està presentada de cara a alumnat, amb una petita introducció i l'activitat.  El format d'aquest blog em permet comentar-la amb més calma i destacar per què em sembla una molt bona activitat per a l'aula. Donat que és molt probable que no la conegueu la presentaré com a nova. El problema el vaig descobrir, per variar, per un llibre de Martin Gardner (Comunicación extraterrestre y otros pasatiempos matemáticos, Cátedra, Madrid, 1987). És una activitat de descodificació, però que ens porta a reflexionar sobre aspectes del nostre sistema de numeració i en les relacions entre operacions. Entrem en situació.

El problema neix de la necessitat (qui la senti) d'elaborar un codi i un missatge que siguin interpretables per una possible civilització extraterrestre. Hi ha algunes idees clau a tenir en compte. Una és llenguatge. No es pot fer un codi amb cap llengua de la Terra. Champollion va poder descodificar els jeroglífics perquè va tenir prou referències: una "xuleta" basàltica en forma de pedra Rossetta i la idea de que l'egipci antic podia ser proper al copte de la seva època. La segona clau es refereix al contingut del missatge. Aquest ha de tenir alguna referència comuna amb la civilització alienígena que el rebi. Sembla versemblant que una civilització capaç de captar el missatge sabrà comptar i fer càlculs aritmètics, que seran, si fa no fa, semblants a tot l'univers. Per tant el contingut del nostre missatge pot ser numèricoaritmètic. Aquesta és la idea a la que va arribar Ivan Bell, un professor d'anglès que vivia a Tòquio i que a l'any 1960 va publicar com un joc a la revista The lapan Times.

El codi d'Ivan Bell consta de 14 missatges que, progressivament, van informant sobre el nostre sistema de numeració i les operacions bàsiques que fem amb els nombres. Cada missatge permet traduir alguns símbols. Aquests poden ser xifres (0, 1, 2, 3, ... fins a 9), nombres (10, 100, etc.), signes d'operació (suma, resta, potència,...). Aquí representarem cada símbol amb una lletra, però els missatges podrien ser també sonors emesos repetidament. No ens hi capficarem amb la forma de transmissió

Ara et convidem a posar-te en el lloc dels extraterrestres que han rebut aquests missatges i que has de descodificar. A continuació et posarem els 14 missatges i, si continues llegint l'article, et comentarem la descodificació i els aspectes interessants de cada missatge. També pots descarregar-te en pdf tots els missatges.

Descarregar en pdf

Missatge 1

A B C D E F G H I J K L M N P Q R S T U V W Y Z

Es presenten els símbols que es faran servir

Missatge 2
AA B	AAAAAAA G
AAA C	AAAAAAAA H
AAAA D	AAAAAAAAA I
AAAAA E	AAAAAAAAAA J
AAAAAA F

Missatge 3
AKALB	CKALD
AKAKALC	BKELG
AKAKAKALD	FKDLJ
BKALC

Missatge 4
CMALB	IMGLB	DMALC

Missatge 5
CKNLC	DMDLN
HKNLH	EMELN

Missatge 6
JLAN	JKJLBN
JKALAA	JKJKJLCN
JKBLAB	FNKGLFG
AAKALAB

Missatge 7
BPCLF	EPBLJ	FPJLFN

Missatge 8
FQBLC	JQBLE	FNQFLJ

Missatge 9
CRBLI	BRELCB

Missatge 10
JPJLJRBLSLANN	JPSLT
JPJPJLJRCLTLANNN	JPTLJRD

Missatge 11
AQJLU	UQJLAQSLV

Missatge 12
ULNWA	VQJLNWNNA
UPBLNWB	VQSLNWNNNA
AWDMALNWDLDPU	JPEWFGHLEFWGH
VLNWNA	SPEWFGHLEFGWH
VPCLNWNC

Missatge 13
GIWIH Y HN	TKC Y T	Z Y CWADAF

Missatge 14

D P Z P NWNNIB R C Q C

Vols veure la descodificació

Tauler infectat

Amb el nom de Tauler infectat apareix al llibre Matemàtica, ¿estas ahí? Episodio 100 aquest interessant problema. No serveix molt com a model de propagació d'epidèmies, però conserva l'aspecte "d'infecció per contacte". El problema és fàcil de plantejar. Imaginem que tenim un tauler de 8x8 en el que algunes caselles estan "infectades".

Casa casella comparteix costats amb quatre caselles més. Si tenim una casella sense infectar que està en contacte amb dues o més caselles infectades també s'infectaran. Així a la imatge següent podem veure quines seran les caselles que s'infectaran a la següent fase. En aquest cas, cada casella nova comparteix exactament dos costats amb infectades.

Aquest procés es va repetint fins que cap casella nova es pot infectar i l'epidèmia s'acaba. Al cas de l'exemple no s'infecten totes les caselles.

Però en aquest altra, amb una disposició i quantitat inicial de caselles infectades diferent, sí que s'acaba amb tot el tauler vermell.

Ja tenim la situació plantejada. Ara venen les preguntes. Per exemple:

• quina és la quantitat mínima de caselles inicials infectades per poder infectar tot el tauler?
• és indiferent com estan distribuïdes?
• observant un disposició inicial, podem predir ràpidament si s'infectarà tot el tauler o no?

Com en molts altres problemes podem investigar-lo fent una reducció: començarem per un tauler de 2x2. Si descartem els casos extrems (una sola casella infectada i tot el tauler) i no tenim en compte simetries i girs tenim tres disposicions inicials.

Aquest cas ja ens dona algunes pistes. En un tauler de 2x2 hi ha un mínim de caselles inicials necessàries: dues. I la disposició sí que importa, perquè si ocupen un costat no hi ha cap infecció nova i sí que hi ha infeccions si ocupen una diagonal.

Ara, abans de continuar, et deixem investigar en taulers de 3x3 i 4x4 amb aquests dos applets fets amb scratch.

Enllaç al programa

Pinta les caselles inicials i prem la tecla "espai" per iniciar

Enllaç al programa

Pinta les caselles inicials i prem la tecla "espai" per iniciar

Continuem l'exploració del problema?

Un joc de cares i creus amb sorpreses (El joc de Penney)

Hi ha problemes que, de vegades, te'ls trobes, no et criden l'atenció i els oblides. I passat un temps, que poden ser anys, te'l tornes a trobar i els trobes superinteressants. I quan comences a investigar... descobreixes que se t'havien passat per alt en un altre moment. Això és que m'ha passat llegint el llibre de Matt Parker "Pifias matemáticas". He trobat un problema que no recordava, però que després he descobert que ja havia vist, com a mínim, tres vegades: com no, a un títol de Martin Gardner, Viajes por el tiempo y otras perplejidades, al Cuaderno de Cultura Científica en un article de Miguel Ángel Morales (@Gaussianos ) o, fins i tot, a una Matiaventura de Clara Grima. Deixem les lamentacions i passem a mirar el joc que genera el problema. Es coneix com el Joc de Penney en honor al seu autor Walter Penney que el va publicar a l'any 1969.

Volem jugar a cara i creu contra una altra persona. Jugar a una sola tirada pot ser molt avorrit. Per tant jugarem apostant (punts, no cal que siguin diners) a una seqüència de tres tirades.  Tenim vuit ternes per triar que són igual de probables, cosa fa pensar que el joc és també equiprobable.

Un cop cada jugador ha triat la seva terna, que han de ser diferents, es comença a tirar la moneda fins que apareix la seqüència triada per un dels dos jugadors, que guanya el punt. A l'animació teniu un exemple de partida.

Potser hauràs observat a la partida d'exemple que, després de sortir dues creus seguides, l'opció CXC ja no podia guanyar. Si teníem dues creus i continuen sortint creus successivament (per exemple CCXXXXXX) guanyarà XXC en el moment que surti una cara, mentre que CXC ja no podrà sortir mai abans que XXC.

Si has entès el joc et recomanem que ara juguis contra l'ordinador. Per començar cada partida nova has de prémer la tecla espaiadora del teu teclat. A continuació tria la teva opció. Recomanem fer un mínim de deu partides.

Enllaç al programa

T'ha anat bé el joc? O sembla que l'ordinador té alguna mena d'avantatge?

Passar de 12

Aquest problema de probabilitat l'he trobat al llibre Matemagia d'Adrian Paenza. Pot ser molt interessant per treballar-lo a l'aula perquè té un plantejament fàcil i només necessitem uns daus. El podem presentar com un joc:

• Tirem un dau i mirem la cara que ha sortit. El tornem a tirar i sumem el nou resultat a l'anterior... i anem fent així fins que obtenim una suma superior a 12. Veiem un exemple a la imatge. La suma de les tres primeres tirades dona justament 12, però el joc consisteix en passar-se. Per tant ens cal fer una quarta tirada. Obtenim un 4 i arribem a 16.

• La pregunta és: si haguéssim d'apostar, a quin nombre final ho faríem?

Mirem com podem portar el problema a l'aula?