Si se'm demanés fer una antologia dels deu millors problemes de recreació matemàtica el problema "dels pastors i els pans" ocuparia un lloc d'honor. Crec que el vaig conèixer al llibre de l'Home que calculava de Malba Tahan (pseudònim del professor brasiler Julio César de Mello i Souza) amb el calculista Beremiz com a protagonista. És el nus del quart capítol on ens parla de "les tres divisions de Beremiz: la divisió senzilla, la divisió correcta i la divisió perfecta". Però apareix a moltíssims altres llibres, normalment en la seva versió amb dos pastors i un caçador com a protagonistes. No he pogut trobar la història d'aquest problema. Però en alguna pàgina web es diu que aquest ja se li va plantejar al califa Ali-Ibn-Abi Talib (segle VII). També trobem una variant al Liber abaci de Fibonacci (i de la que parlarem més tard).
L'enunciat és el següent:
Un pastor té 5 pans i un altre en té 3. Al migdia es troben amb un caçador que no porta menjar i, entre els tres, es reparteixen els pans a parts iguals. Al moment d'acomiadar-se el caçador els hi dóna 8 monedes. Com se les han de repartir?
A l'aula recomanaria, abans de posar-se a resoldre el problema, iniciar una discussió. Fins i tot fer alguna votació sobre els possibles repartiments. Hi haurà alumnat que defensarà que se les reparteixin a parts iguals (que seria la "divisió perfecta" de Beremiz), altres diran que 5 i 3 amb correspondència als pans que es tenien (la "divisió senzilla" de Beremiz). Però solen sortir altres alternatives. Al cap i a la fi si tots dos pastors es posen d'acord qualsevol repartiment pot considerar-se correcte. És un bon moment per discutir sobre si el que és correcte és sempre del tot just. I sobre què vol dir "just". Podem conduir el debat a investigar, si més no, que vol dir "matemàticament just" o "proporcionalment just". I a parlar de "repartiment proporcional" que, com veurem i d'aquí la gràcia del problema, no és cap dels proposats fins ara. Ens falta la "divisió correcta" de Beremiz.
Una segona recomanació és fer investigar el problema amb material. Unes tires de paper de dos color diferents (per separar visualment els pans de cada pastor), que es puguin tallar com els pans, i unes fitxes per a representar les monedes poden ser suficients.
 |
| El problema representat amb polígons encaixables |
En aquest article abordarem en primer lloc la resolució del problema. Però després intentarem analitzar-lo amb diferents distribucions inicials de pans entre els pastors (1 i 7, 2 i 6...), diferents quantitats totals de pans o de monedes. I intentarem veure quines característiques comuns tenen les solucions trobades. També farem alguna petita incursió històrica en aquesta mena de problemes.
Continuem?
