La numeració oral Ngkolmpu

 Aquest repte l'he trobat entre la magnífica sèrie de problemes setmanals proposats per Alex Bellos a l'edició digital de The Guardian. Concretament és la proposta del 9 d'agost de 2021 i que modificaré ben poc.

Al web Càlculus ja vaig incorporar algunes activitats en les què es treballaven les numeracions orals. Es tractava d'esbrinar, a partir d'uns pocs exemples inicials, com es dirien alguns nombres demanats en la llengua proposada, o traduir quines quantitats representaven algunes expressions donades. A una d'elles, Construïm numerals, un dels objectius és observar la idea de que amb el concepte d'agrupament i algunes operacions bàsiques, es construeixen la majoria de numeracions orals. Com a exemple podem observar que, en català, quan diem "mil tres" estem sumant (1000+3) i quan diem "tres mil" estem multiplicant (3·1000). En una altra activitat (La base és la base) es treballa, a partir també de numeracions orals, la idea de base. Un dels aspectes interessants és que, en les numeracions orals, trobem una varietat més gran de bases que en les escrites. La proposta de Bellos és interessant perquè treballa els dos aspectes conjuntament: no podrem descobrir com funciona la numeració oral presentada si no fem una feina prèvia de descobrir la base.

La numeració proposada és la de la llengua Ngkolmpu, una varietat dialectal parlada pel poble Kanum de Papua-Nova Guinea.

Nyams i bananes, part important de l'alimentació del poble Kanum
(font: The Ngkolmpu Language)

En el seu repte de Bellos presenta en llengua Ngkolmpu, i de forma desordenada, els deu primeres nombres cúbics i demana que emparellem adequadament cada expressió amb la potència corresponent. El meu serà lleugerament diferent. Posarem els cubs ja directament aparellats i afegirem deu potències més: d'1 a 20. El que demanarem descriure com funciona els sistema de numeració:

• Quina és la base?
• Com és diuen cadascuna de les unitats?
• Com es diuen les potències de la base?
• Com es construeix un numeral?

De moment aquí teniu la taula amb els exemples:

Potència de 3	Nombre	Numeral oral
13	1	naempr
23	8	naempr traowo yempoka
33	27	eser traowo yuow
43	64	naempr ptae eser traowo eser
53	125	yuow ptae yempoka traowo tampui
63	216	tarumpao
73	343	naempr tarumpao yuow ptae yuow traowo naempr
83	512	yempoka tarumpao yempoka ptae naempr traowo yempoka
93	729	yuow tarumpao yempoka ptae naempr traowo yuow
103	1000	eser tarumpao yuow ptae eser traowo eser
113	1331	naempr ntamnao tampui traowo tampui
123	1728	naempr ntamnao yempoka tarumpao
133	2197	naempr ntamnao eser tarumpao naempr ptae naempr
143	2744	yempoka ntamnao eser ptae naempr traowo yempoka
153	3375	yempoka ntamnao yuow tarumpao yuow ptae eser traowo yuow
163	4096	yuow ntamnao tampui ptae eser traowo eser
173	4913	yuow ntamnao eser ptae yempoka traowo tampui
183	5832	eser ntamnao yuow tarumpao
193	6859	tampui ntamnao naempr tarumpao eser ptae yuow traowo naempr
203	8000	naempr ulamaeke naempr tarumpao naempr traowo yempoka

Si continueu llegint podreu trobar algunes ajudes, un programa que us escriu qualsevol nombre que demaneu, una taula més fàcil que aquesta per a nombres més petits i l'explicació de la numeració.

Voleu seguir?

Primeres ajudes

Aquestes pistes poden ser útils per a utilitzar-les també a l'aula. No cal que les llegiu totes de cop. Proveu amb una. Si no us en sortiu passeu a l'altra... i així successivament.

• En un sistema de numeració la base, i les seves potències, apareixen formant "paraules" noves. Per exemple, en el nostre cas tenim paraules específiques per a "deu" (10¹), "cent" (10²), "mil" (10³), etc. Tenim moltes paraules curtes?
• Seguint amb la pista anterior, només tenim dos exemples que representats amb una sola paraula: naempr, que és 1, i tarumpao, que és 6³.
• Us heu fixat a la fotografia quants nyams posen a la majoria de grups?
• Hi ha unes paraules que apareixen molt sovint en posicions estratègiques: traowo al penúltim lloc, ptae dos llocs abans, tarumpao dos abans... Semblen unes paraules clau que indiquen la mida de grups i que, probablement estiguin relacionades amb potències de la base.
• Seguin el raonament anterior, si mirem el 8, que es diu naempr traowo yempoka, el podem interpretar com "1-grup-el que sobra". El 27 (eser traowo yuow) seria "Tants-grup-el que sobra". Si assignem un valor a traowo podem fer també una hipòtesi de valors de yempoka (al 8) i d'eser i yuow al 27.
• Podem continuar aplicant la nostra hipòtesi de base a 64 i mirar si el valor que ens surt per a ptae (que també ocupa lloc de "nom de grup", ens quadra amb la hipòtesi que hem fet, ja que hauria de ser una potència d'aquesta . Després podem veure si ens quadra per a 125, tot deduint quin valor representa tampui.
• Fins a 1000 el nom de grup més gran que tenim és tarumpao, que ja sabem quan val perquè està a la taula. Podem anar confirmant les nostres conjectures.
• ... i de mica en mica anar descobrint el valor de totes les paraules i com es construeixen els numerals.

Un applet d'ajuda

Bé... més que ajuda podria ser un "solucionador". Per això aconsellaríem limitar les consultes que feu a un màxim de cinc.

Una taula més senzilla

Potser podem començar per una versió més senzilla, presentant una taula amb nombres més petits i que ajudin més clarament a descobrir com funciona la numeració. Un exemple pot ser aquesta.

Nombre	Numeral oral
1	naempr
3	yuow
9	naempr traowo yuow
10	naempr traowo eser
19	yuow traowo naempr
20	yuow traowo yempoka
26	eser traowo yempoka
30	tampui traowo
39	naempr ptae yuow
50	naempr ptae yempoka traowo yempoka
64	naempr ptae eser traowo eser
100	yempoka ptae eser traowo eser
198	tampui ptae yuow traowo
220	naempr tarumpao eser
500	yempoka tarumpao naempr ptae tampui traowo yempoka
817	yuow tarumpao eser ptae eser traowo naempr
1000	eser tarumpao yuow ptae eser traowo eser
1300	naempr ntamnao eser
3785	yempoka ntamnao tampui tarumpao yuow ptae tampui
5000	yuow ntamnao tampui tarumpao tampui traowo yempoka

Un cop estudiada la taula podem demanar a l'aula que ens tradueixin o ens escriguin un nombre donat.

• Quin nombre és eser ntamnao tampui tarumpao eser ptae eser?
• Com es diu el nombre 7000?

Explicació de la numeració

I per si no heu fet la feina de descobrir com va la numeració, només cal dir que la clau està en veure que la base, ben inusual, és 6. Tenim paraules especials pels nombres de l'1 al 5 i un nom per a cada potència de 6.

Nombres de l'1 al 5		Potències de 6
1	naempr	61=6	traowo
2	yempoka	62=36	ptae
3	yuow	63=216	tarumpao
4	eser	64=1296	ntamnao
5	tampui	65=7776	ulamaeke

Els numerals es construeixen amb un sistema additiu-multiplicatiu especificant, ordenadament de gran a petit, quants grups tenim de cada potència de 6 i afegint les unitats que sobren. 

Si hem de traduir un nombre ho podem fer de forma molt directa. Així el nombre de la primera pregunta de l'apartat anterior el podrem traduir així:

 

Si el que volem és dir el nombre 7000 de la segona pregunta tindrem més feina. Primer hem de buscar la seva descomposició polinòmica en potències de 6.

I a l'aula?

• Segurament a l'aula és més fàcil posar la segona taula. Està més en la línia dels exemples que es treballen en el web del Càlculus. Però també pot ser molt bona opció donar la primera i només passar la segona als grups que estiguin encallats.
• Treballar amb una numeració com la de la llengua Ngkolmpu ens crea un marc idoni per a fer reflexions a l'aula sobre com funciona el nostre sistema de numeració oral i, de retruc, l'escrit on les potències de la base no s'indiquen amb signes especials sinó amb la posició. Pot ajudar a entendre'l i, per què no?, valorar-ho millor.
• Es pot animar a l'alumnat a fer un programa semblant al que hem mostrat (enllaç). Està fet de manera senzilla (el que implica codi més llarg per les repeticions) per a que pugui servir de guia. No cal fer-lo per a nombres tan grans.
• I us convidem a explorar, si no el coneixeu, el web Càlculus amb activitats sobre la història de les numeracions. Els problemes d'interactivitat per tenir molts applets fets amb flash els podeu evitar seguint aquesta guia.