26 de gener de 2022

Prostafairesis, taules de quarts de quadrats... Multipliquem d'una altra manera!

Buscar formes de simplificar les activitats complexes ha estat un dels motors del desenvolupament tecnològic (i cultural) de la humanitat. El càlcul és una d'aquestes activitats i, actualment, en gran part el deleguem en les màquines, sobretot si son llargs, molt repetititus o amb nombres complicats. Però el camí per arribar fins aquí ha estat llarg. Tristament, encara hi ha docents que discuteixen l'ús de les calculadores a l'aula. Un cosa és discutir "sobre l'ús" (quan, quant, com, per a què), però una altra "discutir-ne l'ús". La calculadora ha d'estar a l'aula. Però els que tenim una edat podem recordar els temps en el què aquest debat no tenia sentit, perquè les calculadores de butxaca eren uns ens estranys al teu entorn, unes autèntiques rareses. Els que vam estudiar el batxillerat pre-EGB encara vam haver de comprar llibres amb taules de logaritmes i estudiar com les multiplicacions es podien convertir en sumes, les divisions en restes, les potències en productes i les arrels en divisions. L'aplicació dels logaritmes a la simplificació dels càlculs complexos va ser fonamental des del segle XVII fins a ben entrat el XX. Als anys 70 encara era habitual veure "calculistes" fent anar el regle de càlcul, de base logarítmica.

Però abans del segle XII ja existien altres mètodes per alleugerir les grans multiplicacions reduint-les a sumes i restes de nombres extrets de taules numèriques. Alguns, basats en taules de quadrats, sembla que venen de l'antiga Mesopotàmia i van durar fins als inicis del segle XX. D'altres, basats en taules trigonomètriques, van ser usats des del segle XVI fins al triomf generalitzat dels logaritmes, amb els que van conviure molts anys. Aquest segon mètode rebia el nom de prostafairesis.

Abans d'estudiar-los amb més calma veiem un exemple d'aplicació de cadascun (tot recordant que es basen en l'ús de taules numèriques "prefabricades")

  • Amb taula de quadrats.
Imaginem que volem multiplicar 785·296 = 232 360
  1. Sumem els dos nombres
         785+296 = 1 081
  2. Restem els dos nombres
         785-296 = 489
  3. Busquem a una taula de quadrats els de la suma i de la diferència anteriors
         1081= 1 168 561
         489=239 121.
  4. Restem aquests dos resultats
         1 168 561 - 239 121 = 929 440
  5. Fem la quarta part de la resta anterior i obtenim el resultat del producte buscat
         929 440/4 = 232 360
  • Amb trigonometria
Fem la mateixa multiplicació 785·296 = 232 360
  1. "Arreglem" els nombres perquè estiguin entre 0 i 1. En aquest cas dividint cadascun per 1000 (0,785 i 0,296). A aquesta operació li direm "escalar els nombres".
  2. Busquem a angle quin correspondrien els nombres anteriors si aquests fossin els seus cosinus. Ho podem fer amb una taula trigonomètrica i mirant l'arccosinus, que sovint a la calculadora ens apareix com cos-1.
         Arccos (0,785) = 38,27932174º
         Arccos (0,296) = 72,78248857º
  3. Sumem i restem els dos angles anteriors
         38,27932174º+72,78248857º=111,06181031º
         38,27932174º-72,78248857º = -34,50316683º
  4. Mirem a la taula trigonomètrica els cosinus dels dos angles anteriors
         cos (111,06181031º) = -0.35937488
         cos (-34,50316683º) = 0.82409488
  5. Sumem els cosinus anteriors
         -0,35937488 + 0,82409488 = 0,46472
  6. Fem la meitat del resultat anterior.
         0,46472/2 = 0,23236
  7. Només queda "reescalar" el resultat. Donat que havíem dividit inicialment cada nombre entre 103, ara haurem de multiplicar per 106.
         0,23236 · 1000000= 232 360
Potser semblaran algoritmes molt alambinats, però amb càlculs de navegació, astronòmics o d'enginyeria escurçaven molt el temps emprats en la seva realització. Només calia disposar d'unes bones taules de quadrats o trigonomètriques.

Els mirem amb més calma? Com es justifiquen?

Multiplicar amb quarts de quadrats

Aquest algoritme està ben documentat i explicat al llibre de Raúl Ibáñez "Los secretos de la multiplicación". També al seu article dels Cuadernos de Cultura Científica "¿Sueñan los babilonios con multiplicaciones eléctricas?". En ell s'insinua que es podia haver utilitzat a l'antiga Mesopotàmia, de la que sabem que disposaven de tauletes amb taules de quadrats. Les taules de quadrats es van continuar publicant fins al 1920. En moltes d'elles, a més, hi havia una columna per als "quarts de quadrat", que son d'una gran utilitat per a aquest algoritme, ja que ens estalvien la darrera divisió que hem fet a l'exemple de la introducció.

Es basa en els coneguts "productes notables" (a+b)2 i (a+b)2. Si restem els resultats de les expressions anteriors podem trobar-ne una que les lliga el producte de dos nombres.


 També podem visualitzar aquesta igualtat geomètricament.

Construcció dinàmica amb GeoGebra

Aquesta igualtat ens permet realitzar qualsevol producte de manera ràpida, si tenim a l'abast bones taules de quarts de quadrats. Només en caldran una suma i dues restes. Si treballem amb decimals només haurem de fer un petits ajustaments amb els nombres inicials, que després haurem de saber compensar.

A continuació teniu un applet fet amb Snap que aplica aquest algoritme.


Prostafairesis

El significat etimològic d'aquest mot és addició i sostracció, del grec prosthesis (πρόσθεσις) i aphairesis (ὰφαίρεσις). Com algoritme de simplificació de les multiplicacions i divisions complexes, es va començar a aplicar en el segle XVI. El seu funcionament es basa en les fórmules trigonomètriques descobertes pel matemàtic i astrònom egipci del segle X Ibn Yunus, i redescobertes després per Johannes Werner al segle XVI.

La fórmula utilitzada és la següent:


No és difícil de demostrar a partir de les fórmules trigonomètriques dels cosinus dels angle suma i diferència de dos angles..


Podeu trobar un demostració de la fórmula del cosinus d'un angle suma en aquesta construcció dinàmica de Jaume Salvó (enllaç).

En tot cas la fórmula de la prostafairesis ens permet resoldre un producte amb una suma, una resta i una divisió per dos. L'únic que hem de fer és considerar els nostres nombres com si fossin els cosinus d'uns angles determinats i, amb una taula trigonomètrica, esbrinar a quins angles corresponen. Després només caldrà sumar i restar els angles i fer els càlculs convenients convenients amb els seus cosinus. És similar al procés "d'anada i tornada" que es fa amb el càlcul amb logaritmes. Cal, però, una preparació: donat que el cosinus d'un angle està entre 0 i 1 hem de escalar els nombres que volem multiplicar entre aquesta valors. Ho farem dividint cada nombre per la potència de 10 corresponent (10i 10b). Finalment haurem de reescalar el resultat, que haurem obtingut amb un valor també entre 0 i 1, per aconseguir el resultat real correcte. Ho farem multiplicant-lo per 10a+b.

Podem veure el procés amb aquest applet fet amb Snap.


Aquesta fórmula de  prostafairesis es pot adaptar fàcilment a la divisió. Només cal canviar el 2n factor per la inversa del cosinus: la secant. També cal adaptar l'ecalat dels nombres: el divisor l'haurem de deixar amb una sola xifra entera diferent de zero. El reescalat final també l'haurem de modificar convenientment.

En aquest applet podeu veure el procediment.


I a l'aula?

  • És culturalment interessant conèixer els esforços de la humanitat per afrontar els problemes de cada època amb la "tecnologia" del seu temps. Abans de la calculadora electrònica es feien servir les eines del moment. Les taules numèriques hi van jugar un paper important. També ens pot ajudar a veure que algunes fórmules (com els productes notables o les relacions trigonomètriques) han tingut una utilitat pràctica, "han servit" per a alguna cosa.
  • Les demostracions algebraica i visual de l'equivalència de 4ab a la resta entre els quadrats de la suma i de la diferència d'a i b no és difícil de fer... o de seguir. Pot ser interessant treballar-les. Per altra banda en podem transportar mentalment a èpoques antigues i emular alguns càlculs amb una taula de quarts de quadrats com la que teniu aquí enllaçada
  • Si hem treballat les fórmules dels cosinus d'un angle suma i un angle diferència, la demostració algebraica de la fórmula de la prostafaerisis tampoc és complicada. En aquest cas serà difícil de disposar de taules en paper o digitals, però podem utilitzar les tecles cos i cos-1, recordant que, prèviament, hem d'escalar els nombres. Però si el vostre institut és antic, probablement trobareu algun llibre de taules amagat per algun racó del departament!
  • També es poden fer programes amb Scratch o Snap. El del quarts de quadrat no té cap problema. Però el de prostafairesis planteja tot un joc amb el tema d'escalar i reescalat els nombres que és interessant. 

Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada