Hasta el infinito y más allá

Clara Grima, amb la col·laboració en les il·lustracions de Raquel Garcia Ulldemolins, és una activa i experimentada "bloggera" de la divulgació matemàtica. Els seus matecontes els podem trobar a Mati y sus mateaventuras i Mati, una profesora muy particular. En ells trobarem a la Mati, els nens Sal i Ven i al gos Gauss. I matemàtiques, moltes matemàtiques. Ara algunes d'aquestes mateaventures s'han recollit en forma de llibre. Benvingut sia.

Vols saber més sobre el llibre?

Prenem-li la temperatura al termòmetre

El termòmetre és l’aparell que utilitzem per a mesurar la temperatura. Els termòmetres clàssics es basen en la propietat que tenen les substàncies de dilatar-se amb la calor. Si triem una substància que, entre altres factors, es dilati d'una forma prou regular podrem mesurar temperatures a partir de les seves variacions de longitud producte de la dilatació.

A principis del segle XVIII, el físic alemany Daniel Gabriel Fahrenheit (1686 – 1736) va fabricar el primer termòmetre de mercuri. El mercuri té l’avantatge que es manté líquid entre -38,9 °C i  356,7 °C.

El problema més curiós que tenim amb els termòmetres és que es graduen amb escales diferents segons el país o l’àmbit en què s’utilitzen.

Vols saber com graduar un termòmetre?

Obrint i tancant portes

Aquest problema va aparèixer al n. 5 de la revista Cacumen (juny de 1983) en un recull sobre Martin Gardner. També Adrián Paenza l'explica al seu llibre Matemática, ¿estás ahí? Episodio 100.

El problema es pot plantejar perfectament al cicle superior de primària arribant a deduir el patró que el soluciona. A secundària podem plantejar-nos, a més, esbrinar el perquè d'aquest patró.

Imaginem un hotel amb un grum juganer. Una nit organitza el següent joc. Demana pels altaveus a totes les habitacions que  obrin les portes (Posem que hi ha 100 habitacions, encara que a l'applet que acompanya el problema només n'hem posat 25). Després ordena: "Que les portes parells es tanquin!". Així les portes 2, 4, 6... queden tancades i les 1, 3, 5... queden obertes. Després torna a donar una altra ordre. "Que les habitacions múltiples de 3, canviïn la seva situació!". Canviar la situació significa que si la porta està oberta s'ha de tancar, i si està tancada, s'ha d'obrir. Així la porta 3, que estava oberta, s'haurà de tancar, però la 6, que estava tancada, s'haurà d'obrir. Després el grum va seguint: "Els múltiples de 4 que canviïn la seva situació!". "I ara els múltiples de 5!". I continua.

Al final del joc... quines portes quedaran obertes?

Podeu practicar amb aquest applet on obrireu i tancareu les portes clicant a sobre.

Enllaç al projecte en Scratch

Comentem com portar el joc a l'aula?

El contable hindú + El problema de les particions

L'escriptor estatunidenc David Leavitt va escriure al 2007 aquesta novel·la on recrea, entre altres temes, la relació entre els matemàtics Godfred Harold Hardy i Srinivasa Ramanujan, el comptable hindú del títol. No ha estat fins el 2011 que hem disposat d'una traducció al castellà. A l'hora de la veritat el títol és lleugerament enganyós ja que no és Ramanujan l'autèntic protagonista del llibre, la personalitat del qual queda força desdibuixada, sinó que qui focalitzen la narració són Hardy, l'ambient del Trinity College de Cambridge i, en certa manera, la Gran Guerra. Però aquest "petit engany" no treu interès a la novel·la. Si el personatge de Ramanujan queda difús és perquè, fonamentalment, el veiem des de la perspectiva de Hardy, que, amb un caràcter força egocentrista, no està especialment dotat per relacionar-se o comprendre als altres.

És bastant coneguda la història d'aquests dos matemàtics però recordem-la breument. Hardy era un matemàtic amb un cert renom que treballava sovint en col·laboració amb John E. Littlewood. L'any 1913 va rebre una carta d'una dotzena de pàgines plena de fórmules inusuals signada per un desconegut matemàtic, comptable del Port Trust Office de Madràs i que es declarava autodidacta. Hardy i Littlewood van saber valorar el treball que se'ls hi presentava i van fer gestions perquè Ramanujan anés a Anglaterra, cosa que van aconseguir. Ramanujan va fer una estada d'uns cinc anys a la Gran Bretanya, just coincidint amb el període de la Primera Guerra Mundial. Va emmalaltir i moria poc després de retornar a l'Índia.

Hardy i Ramanujan

Tenint en compte que parlem de novel·la i no d'història o biografia, la recreació que es fa de l'època i dels seus personatges, dels seus dilemes, de les seves contradiccions és interessant.

I les matemàtiques tenen una presència, no només inevitable, sinó intencionadament clara. I un dels problemes que del que es parla de forma més reiterada és el de les particions, un problema encara no resolt de forma completa i que té un plantejament que es pot explorar perfectíssimament des de l'educació primària.

Vols conèixer el problema a de les particions?

Mesurant les il·lusions

Segur que coneixes un bon grapat d'il·lusions òptiques i hauràs vist que algunes enganyen més que altres. Només cal escriure “il·lusions òptiques” en un cercador. Hi ha de molts tipus i algunes, fins i tot, són molt conegudes.

Però... hi ha il·lusions millor que altres? Es por mesurar l'engany?

Hi ha molts exemples d'il·lusions que ens permeten realitzar algun tipus de mesura sobre si “enganyen” més o menys que altres. Ens serà especialment fàcil en les que provoquen trampes de longitud.

Observa aquesta il·lusió.

Per a la majoria de la gent, la figura inferior és major. Però, en tenim prou amb comptabilitzar quantes persones “piquen”? No podem millorar la nostra mesura de l’engany?

Vols practicar amb unes il·lusions?

Ara pots experimentar, amb alguns applets fets amb flash, el grau d'ajustament de les teves mesures a ull. Després de seguir les instruccions realitza la mesura, a cada cas, i comprova el teu grau d'encert.

Il·lusió 1

Estirant de la fletxa col·loca la recta B on creguis que és la continuació de l'A.

Enllaç a l'applet (flash)
Versió MatGi (GeoGebra)

Divisió 6: la divisió a Mesopotàmia

La divisió que es practicava a l'antiga Mesopotàmia és ben diferent a la dels algorismes que s'han utilitzat després i que hem anat presentant en aquest bloc. Dues característiques la separen dels altres mètodes. Una d'elles, de caràcter menor, està lligada a l'ús de la base 60 que utilitzaven en aquells temps i aquelles terres. L'altra és que el mètode consistia a multiplicar un nombre pel seu invers. Per poder fer les divisions els "calculistes" disposaven de taules d'inversos. Però unes taules particulars, amb gairebé tots els nombres inversos del 2 al 20, de 30, 40 i 50. Quins nombres faltaven del 2 al 20? Els nombres que qualificaven d'irregulars: 7, 11, 13, 14, 17 i 19. Per què no hi eren aquests nombres? Com feien les divisions?

Càlculi mesopotàmics per representar nombres

Si vols saber-ho... continua llegint!

Els itineraris Dufour

A la seva novel·la “El segle de la llum”, Pep Coll ens descriu l’època en què es van construir les primeres preses al Pallars amb l'objectiu de produir electricitat.  El jove protagonista, en  Manel, un noi que fa de cambrer pels enginyers anglesos encarregats de l'obra, ha de buscar el Cau de gel perquè aquests puguin afrontar les calors estiuenques amb un bon  "whisky on the rocks". L’únic que sap arribar-hi és el pastor Duardo i a ell s’adreça en Manel. La sorpresa és que en Duardo guarda tots els itineraris dibuixats en bastons d'avellaner.

"Aquí tens el meu escabot de guies! -va exclamar, mentre amb el llum d'oli il·luminava un feix de bastons d'avellaner, recolzats a la paret en un racó de la cambra-. Veiam si trobem el que tu necessites. Aguanta'm el llumener.
(../..)
Ja el tenim, veus? -va exclamar per fi, mostrant-me un altre bastó-. Aquí ho diu ben clar: Cau del Gel.
Era un gaiato d'uns deu pams de llargària, bigarrat de signes estranys..."

Una possibilitat per indicar el camí en un pal recte és dibuixar un camí Dufour, un tipus de plànol que serveis per indicar itineraris en forma de línia recta.

Vols conèixer com és un itinerari Dufour?

Divisió 5: control del resultat

En entrades anteriors hem vist diferents algorismes històrics de la divisió. En èpoques sense calculadores electròniques trobarem que la majoria de textos aritmètics antics ens proporcionen tècniques de control del resultat per garantir la seva validesa. En la majoria de casos intenten ser mètodes més breus que repetir la pròpia operació. Vegem un exemple en aquesta imatge de la Summa de l'art d'aritmètica de Francesc Santcliment (el primer tractat aritmètic que es va imprimir a la península ibèrica i segon del món, a l'any 1482). Si observem les parts encerclades observarem una creu on s'aplica un d'aquests mètodes: la prova del 9.

També al Tratatto di numeri et mesuri de Tartaglia, llibre de l'any 1556, observem la mateixa prova.

Vols conèixer quines propostes ens fan els llibres antics de càlcul?

Divisió 4: la divisió "per galera"

El matemàtic italià Nicolo Fontana, conegut com a Tartaglia, va publicar a mitjans del segle XVI el llibre Tratatto di numeri et misure en el que explicava, entre altres coses, mètodes de càlcul. A l'apartat dedicat a la divisió escrivia:

"El segon mètode de dividir s'anomena a Venècia per "vaixell" o per "galera" per certa similitud de les figures que de tal operació resulten, perquè de la divisió d'algunes classes de nombres neix figura similar a un vaixell (../..) amb la proa, la popa, el pal, la vela, els rems..."

Una divisió per "galera" té un aspecte com el de la imatge.

Divisió que apareix a la pàgina 84 del llibre (912345:1987) 

En alguns llibres antics s'evidenciava aquesta semblança afegint alguns "guarniments" a la figura.

El mateix Tartaglia no va poder evitar fer una demostració de la potència de l'algoritme fent una macrodivisió que, a més, encara mostrava de forma més clara el "vaixell".

Divisió que apareix a la pàgina 85 del llibre

(8888880000000888800000000888888 : 9999900000000999000000000999) 

Nota: al resultat li falta un altre 8

Aquesta divisió és "mare" evident de la que realitzem nosaltres ara.

Vols veure com es divideix "per galera"?

Quants estan dormint a l'hostal?

Si us va agradar el problema dels pingüins al voltant del forat i el dels passatgers que perdien el tren aquí en teniu un altre de l'estil. En aquest joc també es tracta de buscar la regla amagada, la llei. Per jugar calen cinc daus. Vegem una jugada.

• El "director" del joc tira els cinc daus i, per exemple, treu aquest resultat.

• Un dels membres del grup demana: "Quants estan ara dormint?"

• Llavors el "director" mira el resultat dels daus i, aplicant la regla secreta, contesta: "Ara dormen 10"

Vols intentar endevinar la regla?