Quadrats greco-llatins: un joc útil a l'experimentació

Els quadrats grecollatins són una recreació clàssica que tenen darrere una història curiosa i interessant i que han transcendit l'àmbit dels jocs matemàtics per ser incorporats en altres territoris com, per exemple, el de l'experimentació científica. I és una història en què apareix un dels grans personatges de la matemàtica: Leonhard Euler que, per una vegada, no la va encertar del tot amb una conjectura. L'explicació que farem seguirà en molt els passos del capítol Enmendando a Euler: el descubrimiento de un cuadrado greco-latino de orden 10, del llibre Nuevos pasatiempos matemáticos de Martin Gardner (del qual, per cert, se celebrarà el centenari l'any vinent).

Comencem per un quadrat més simple: un quadrat llatí.

Cal col·locar les rectangles de color a la quadrícula de forma que a cap fila o columna es repeteixi un color. (A l'applet enllaçat pots arrossegar les peces)

Enllaç a l'applet (flash)

Un quadrat grecollatí afegeix una dificultat. Ara cada peça té dues característiques: el color i la lletra.

Has de col·locar els rectangles de color a la quadrícula de forma que a cap fila o columna es repeteixin un color o una lletra. (A l'applet enllaçat pots arrossegar les peces)

Enllaç a l'applet (flash)

Vols saber més dels quadrats grecollatins i de com són útils a l'experimentació?

Vigilant polígons

El llibre de Clara Grima Hasta el infinito y más allá conté un capítol titulat  ¿Por qué no hay un poli en cada sala?, on es presenta el problema del qual parlarem ara. També va ser motiu d'una entrada a un dels seus blogs: Cuántos nos están vigilando. No millorarem el que ella ha escrit, però sí que intentarem plantejar-ho com una possible seqüència didàctica per treballar el problema a l'aula. Som-hi doncs!

Imaginem que tenim una sala, per exemple d'un museu, on hem de situar una persona vigilant, tenint en compte que pot girar sobre si mateix però no desplaçar-se. Si volem podem imaginar-nos un vigilant-mussol capaç de girar el seu cap 360° (imaginar-se la nena de l'exorcista girant el cap és més desagradable) o una càmera que gira sobre un eix.

Si tenim una sala en forma de quadrilàter, com el de l'exemple sota, és indiferent on col·loquem el vigilant. Sempre tindrà tota la sala en el seu camp d'observació, fins i tot posant-se a una cantonada.

Una sala una mica més complexa pot ser més exigent a l'hora de triar el lloc del vigilant, ja que no des de qualsevol lloc la visió és completa.

Algunes sales necessitaran, de totes totes, més d'un vigilant, encara que hi hagi zones sobrevigilades.

El problema tracta justament d'això: donada una sala poligonal qualsevol mirar quina és la quantitat de vigilants mínima que calen, on s'han de posar... i fins i tot treballarem un algoritme que ens ajuda a resoldre totes dues qüestions.

Vols estudiar el problema?

Tot sumant

En aquesta entrada us proposarem un parell d'exploracions basades en la suma i que són força interessants i entretingudes. La primera, "itineraris en la quadrícula" la recordo d'algun escrit de Fernando Corbalán i la segona, "segells", és de Brian Bolt.

1r problema: itineraris en quadrícula

Comencem pels itineraris. Es tracta de fer un recorregut per una quadrícula de la següent manera:

• comencem a qualsevol casella posant un 1
• passem a una casella contigua, en vertical, horitzontal o diagonal, i escrivim el nombre que correspongui a la suma de totes les caselles del voltant, ja toquin per un costat o per un vèrtex.
• continuem fent un recorregut continu que, sense salts, completi tot el caseller.

L'objectiu és aconseguir el nombre més alt un cop completat el recorregut. Aquí teniu un exemple animat amb un possible itinerari.

2n problema: segells

Imaginem que tenim quatre segells enganxats fent un quadrat de 2x2 amb els següents valors: 1, 1, 2, 5. Agafant els segells d'un en un, de dos en dos (mentre es toquin per un costat), de tres en tres o tots quatre poden fer franquejos des d'1 fins a 9. Ho podem veure a la següent animació.

Amb els valors 1, 2, 4 i 7 potser arribaríem a un nombre més gran, però com es pot veure a l'animació, el valor 5 no el podem obtenir.

El problema consisteix a trobar una distribució numèrica que permeti obtenir els totals successius 1, 2, 3... sense saltar-se'n cap tot arribant al nombre més gran possible.

Explorem els dos problemes? 

Triangles misteriosos

Amb aquest títol es publicava, el passat 13 d'octubre de 2013, una entrada al molt recomanable blog esquemat.es . En ell es planteja una interessant exploració que, a diferents nivells, es pot treballar tant a primària com a secundària. Des del mateix bloc espot resseguir el fil de l'origen i autoria del problema. Aquesta exploració, que convida a cercar caos des de l'ordre i ordre des del caos, ens recorda alguns autòmates cel·lulars, com el joc de Vida que ja va se objecte d'una activitat del Calaix +ie, o la simulació de la propagació d'una epidèmia en aquest mateix bloc.

La proposta és senzilla de plantejar. Es parteix d'una xarxa hexagonal en forma de triangle equilàter i disposem de tres colors. Es pinta a l'atzar cada cel·la de la primera filera. A l'exemple treballarem en una xarxa de 6 fileres:

Per pintar cada cel·la de les següents fileres seguirem dues normes que tenen en compte les dues cel·les immediatament superiors:

• Si tenen el mateix color pintarem també amb el mateix color.
• Si tenen colors diferents pintarem amb el tercer color.

En aquesta animació podem veure com es pintaria la xarxa anterior.

Investiguem el tema?

Arrel quadrada 4: resoldre arrels restant senars

Hi ha una curiosa i força coneguda propietat que relaciona la suma de senars consecutius amb els nombres quadrats:

Si sumem n senars consecutius (començant per u) el resultat és igual a n²

Podem visualitzar aquesta propietat amb aquesta animació.

Si ens interessa podem utilitzar aquesta propietat per a resoldre arrels quadrades manipulativament. En aquest vídeo podem veure com fer l'arrel de 18 sumant senars.

De fet, treballant amb nombres, acostuma a ser més pràctic anar restant que anar sumant, ja que sempre podem saber si encara podem treure més o no. Així, partint del que hem obsevat fins ara, podrem obtenir un sistema per resoldre arrels quadrades només aplicant restes successives. A continuació explicarem el mètode general i a la part final,  a més de les propostes per a l'aula, us presentarem un algoritme relacionat absolutament sorprenent.

Seguim?

Arrel quadrada 3: el tempteig i el bon ull

No aprendre l'algoritme tradicional de l'arrel quadrada no significa que ens limitem a fer-les amb la calculadora pitjant la tecla d'arrel. Precisament, quan s'introdueix aquesta operació s'hauria de prohibir tocar-la i mirar de fer-la per altres procediments.

A les dues entrades anteriors d'aquest blog sobre l'arrel quadrada hem insistit molt amb la seva traducció geomètrica, però també hauríem de considerar els seus aspectes purament numèrics, tant per fer bones aproximacions com per utilitzar-la amb sentit en contexts no geomètrics. Per exemple l'arrel quadrada ens va molt bé per assenyalar-nos un límit de proves en cercar tots els divisors d'un nombre o comprovar si és primer o compost.

En aquesta entrada parlarem del tempteig numèric i geomètric per trobar arrels.

Arrel quadrada 2: L'arrel dels algoritmes més tradicionals

La majoria d'algoritmes tradicionals de l'arrel quadrada, del que s'ensenya(va) a les escoles, del xinès antic, del grec, de l'Índia... es basen en una interpretació algèbrica del problema geomètric de trobar el costat d'un quadrat d'àrea coneguda. Disposant d'una eina com GeoGebra no és difícil trobar una solució aproximada de forma relativament fàcil.

https://www.geogebra.org/m/bv7KM8Tj

Si no disposem d'aquesta eina el que hem de fer és anar obtenint, de mica en mica, aproximacions successives a l'arrel del nombre. Els tres algoritmes que descriurem tenen trets comuns:

• Comencen fent una primera aproximació encaixant un quadrat de costat conegut i que sigui el més gran possible (encara que sovint respectant graus d'unitat: centenes, desenes...)
• Millorar l'aproximació a partir de càlculs amb l'àrea que no queda recoberta pel quadrat de la primera aproximació.
• Per trobar aquesta aproximació es compta amb un nombre especial: el doble del costat del primer quadrat trobat.

Per exemple, si volem calcular l'arrel quadrada de 142 trobarem una bona aproximació inicial amb el quadrat d'11, que és 121. Ens quedarà per esbrinar el valor de x perquè s'acompleixi que l'àrea de la zona que queda en forma de lletra L valgui el que falta de 121 a 142, és a dir, 21.

Continuem?

Arrel quadrada 1: el mètode d'Heró

El meu primer contacte personal amb l'arrel quadrada va ser aproximadament a deu anys. Se'm va ensenyar un exigent algoritme que recordava vagament al de la divisió, però amb estranyes alteracions (es baixaven les xifres de dos en dos, es feien dobles tot deixant un foradet al darrere que omplies després de complicats temptejos...). Un cop dominat l'algoritme es passava a una altra cosa. El segon contacte no es va produir fins dos o tres anys més tard que un company (no el mestre) em va proposar un problema de l'estil: "un pagès vol plantar 169 cols de forma que hi hagi tantes files com columnes; quantes cols hi haurà a cada fila?". Vaig resoldre el problema tot fent proves i quan li vaig ensenyar la solució em va dir: "Bé... però només calia fer l'arrel quadrada de 169". Recordaré aquell instant tota la vida. L'arrel quadrada "servia" per a alguna cosa a banda de per torturar les nostres tendres neurones "en formació", resolia alguns problemes. Les cometes del "servia" són degudes a la inexistència de pagesos amb aquestes dèries. Recordo que els meus oncles pagesos de La Mancha tenien altres preocupacions més relacionades amb el temps atmosfèric o els preus fixats pels intermediaris. Tornant al tema: van caldre molts anys perquè em reconciliés amb l'arrel quadrada i va ser gràcies a les seves utilitats numèrico-geomètriques.

Les "arrels quadrades" de l'Ànec Donald al País de les Matemàtiques

Estarem ràpidament d'acord, confio, que aprendre l'algoritme tradicional amb llapis i paper de l'arrel quadrada és absolutament innecessari. Però també estarem d'acord que treballar mètodes resoldre'n alguna, per algun altre mètode i sense utilitzar la tecla corresponent de la calculadora, ens ajudarà en la comprensió del(s) seu(s) significat(s). També, com no, analitzar algoritmes històrics és un treball matemàtic de primer ordre.

Per aquesta raó iniciem una petita sèrie sobre algoritmes de l'arrel quadrada semblant a la que vam fer sobre la divisió. I res millor que començar per un algoritme que dona sentit geomètric a aquesta operació: l'algoritme d'Heró d'Alexandria.

LOA (Lines of Action): un sorprenent joc de tauler

El LOA és un joc d'estratègia que, pel seu objectiu, podríem classificar en la categoria de jocs de connexió o d'alineació. Però la seva originalitat rau en les regles de moviment, rotundament inusuals i sorprenents. També el fet de l'existència de captures que poden proporcionar, a la vegada, avantatges i inconvenients. El joc va ser inventat a l'any 1960 pel canadenc Claude Souci i publicat pel seu amic, el també inventor de jocs Sid Sackson, a l'any 1969.

El material bàsic és fàcil d'aconseguir: un tauler de dames (8x8) i 12 fitxes de cada color que es disposen inicialment tal com es veu a la imatge:

Vols conèixer les regles i jugar?

"¿Pero esto también es matemática?" + Un problema de caramels

Adrián Paenza és matemàtic i periodista esportiu però, sobretot, un magnífic divulgador matemàtic de gran èxit a l'Amèrica llatina. Té un programa setmanal a la televisió argentina del qual podem trobar moltes píndoles a Youtube. A Espanya s'havien publicat dos dels seus cinc primers llibres i ara també el darrer ¿Pero esto también es matemática? Totes les seves obres, inclosa aquesta darrera, també les podem trobar en format pdf a internet alliberades pel mateix autor.

Els textos de Paenza són sempre clars i la tria de problemes i situacions a descriure molt variada i ben feta. És un autèntic plaer acostar-se a la seva obra i, si mireu els vídeos, a la seva persona. Voldria destacar uns fragments del capítol No sé d'aquest llibre perquè conté una autèntica declaració de principis. I, a continuació, plantejarem un dels problemes del llibre.

   "Es curiosa la dificultad que tenemos los humanos para decir “no sé, no entiendo”. Y es curioso también cómo se va modificando a lo largo de los años, porque los niños no tienen difi cultades en preguntar “¿por qué el cielo es azul?” o “¿por qué mi hermanito tiene ‘pitito’ y yo no?” o “¿por qué gritaban ustedes dos ayer por la noche?” o ¿por qué el agua moja y el fuego quema y la electricidad ‘da patadas’?”. Y siguen los porqué. (../..) Pero a medida que el tiempo pasa empiezan los rubores, los temores y uno ya no se siente tan cómodo cuando se exhibe falible o ignorante. La cultura se va filtrando por todas partes y las reglas empiezan a encorsetar. Uno se empieza a sentir incómodo cuando no entiende algo. Y la sociedad se ocupa de remarcarlo todo el tiempo".

(../..)

   "Yo creo que uno debería tratar de estimular la prueba y el error. O, mejor dicho, de estimular que el joven pruebe y pruebe, que pregunte y pregunte, y que busque él/ella la vuelta para ver si le sale o si entiende lo que en apariencia le resulta inaccesible.
   Sobre todo invito a los adultos a que nos asociemos a la búsqueda  con ellos, a mostrarnos tan falibles como ellos, sobre todo porque  SOMOS tan falibles como ellos, y no estaría mal mostrarnos tan  apasionados por entender como ellos, tan curiosos como ellos.
   En definitiva, el saber es algo inasible, difícil de definir. Y  perecedero, salvo que uno lo riegue todos los días. ¿Qué quiere decir saber algo? Una persona puede saber cuáles son todos los pasos para conducir un auto, pero eso no significa que sepa manejar. Un cirujano, no bien egresa de la facultad de medicina, puede creer que sabe lo que tiene que hacer. De allí a poder operar, hay un trecho largo.
   Por eso, el único camino es la pregunta, la duda y el reconocimiento constante del “no sé, no sé cómo se hace; no entiendo; explicámelo de nuevo”.
  Y eso es lo que creo que nos falta como sociedad: seguir como cuando éramos niños, sin pruritos ni pudores. Era el momento en el que no saber era visto como una virtud, aceptado por los adultos por la ingenuidad que contenía y porque la película estaba virgen y estaba todo por entender. Quizás uno llegue a la conclusión de que en esencia conoce poco y de muy poquitas cosas, pero la maravilla de la vida pasa por el desafío de descubrir. Y de poder decir “no sé, no entiendo”.

Voleu conèixer el problema "caramels per a tots"?