Frisos amb Pattern Blocks

Els Pattern Blocks és d'aquells materials que no haurien de faltar a l'aula de matemàtiques ja que permeten interessants treballs numèrics i geomètrics. Bàsicament consta d'un joc de peces entre les que trobem sis models. Totes tenen una mateixa unitat de costat (menys el trapezi que té un dels costats de tres unitats).

Una de les activitats clàssiques amb Pattern Blocks és la de construir mosaics. La que proposarem aquí tracta de construir frisos. Una de les definicions de fris ens diu és una "decoració tallada, pintada o gravada en bandes horitzontals". Entre els frisos podem destacar els periòdics (que tenen un mòdul que es va repetint per translació) i els no periòdics. Per treballar amb els Pattern Blocks ens centrarem en els primers, que són els que tenen més interès matemàtic:

Fris no periòdic

Fris periòdic

A més de construir frisos els podem estudiar i classificar. Bàsicament ens hem de fixar en quatre moviments bàsics i observar si el fris queda invariant o no després d'aplicar-lo.

• Gir de 180º

• Simetria d'eix horitzontal

• Simetria d'eix vertical

• Simetria lliscant

Continuem?

Un problema operatiu sorprenent: "Treure monedes del banc"

El divulgador matemàtic Alex Bellos manté, entre altres publicacions i col·laboracions, la columna Monday Puzzle a la publicació digital The Guardian. Un autor a seguir. El dilluns 7 d'octubre va proposar un problema titulat Treure monedes del banc (Getting coins out of the bank) que mereix atenció per diferents raons i que té una possible explotació didàctica. D'aquí que passem a plantejar-lo i comentar-lo. L'autor del problema és el matemàtic argentí Carlos Sarraute, que també ha proporcionat problemes a altres divulgadors com Adrián Paenza. És un problema de plantejament fàcil i de resolució sorprenent que ens pot permetre a l'aula parlar de demostracions, de condicions necessàries, condicions suficients... i que ens pot obrir tot un ventall de preguntes noves. Passem a plantejar i comentar el problema.

Tenim un tauler quadriculat limitat per dalt i per l'esquerra però infinit cap la dreta i cap avall. En aquest tauler marquem un quadrat de 2x2 a la cantonada superior esquerra i que anomenarem com a "banca".

Posem tres monedes a la banca tal com es mostra a l'esquema.

L'objectiu és treure les tres monedes de la banca amb aquestes dues regles:

1. Si traiem una moneda apareixen dues noves a la casella immediatament dreta i immediatament inferior.
2. No podem eliminar una moneda si la casella dreta o inferior estan ocupades per una altra moneda.

La demanda del problema és explicar com treure les tres monedes de la banca... o demostrar que és impossible.

El mateix Bellos ens enllaça un applet fet amb Scratch, dissenyat per Mtega, per practicar el problema. Cosa que us animem a fer abans de continuar llegint.

Heu practicat ja?

Per poc que us hàgiu dedicat començareu a sospitar que si el problema costa de resoldre i a l'enunciat es demana la demostració d'impossibilitat, és que les coses van per aquí: que encara que a priori sembla que es puguin treure les monedes en realitat és impossible.

De fet la demostració d'impossibilitat és sorprenent per indirecta, bella, entenedora... però poc intuïtiva en el que respecta al plantejament i el camí de resolució. És molt difícil que algun alumne arribi a aconseguir-la, però sí que l'entenguin i vegin la bellesa i potència de les matemàtiques. Presentar alguna demostració d'impossibilitat és interessant per a l'alumnat perquè entenguin com són les matemàtiques i com, amb una mica d'esforç, ens podem estalviar treballs inútils que no ens portaran enlloc.

T'animes a continuar i veure possibilitats didàctiques?

Problemes connectats?

En aquest article plantejarem i estudiarem alguns problemes, de formats diferents, en els que buscarem patrons de creixement. Posteriorment, mirarem si entre aquests patrons trobem alguna connexió i, si existeix, de quin tipus és.

Ens hi posem amb els problemes?

• Problema 1. Tenim una "escaleta" quadriculada de 3x3. De quantes maneres diferents hi podem posar exactament tres rectangles a dins? I si l'escaleta és de 4x4, de quantes maneres podrem posar-hi quatre rectangles? (Entenem que els quadrats també són rectangles).

• Problema 2. Tenim sis jugadors de bàsquet. Els hi volem fer una fotografia posant-los en dues files de tres, una davant de l'altra, de manera que el jugador de darrere sempre sigui més alt que el de davant i que, en la mateixa fila, el de la dreta també sigui més alt que el de l'esquerra. Quantes fotografies diferents podrem fer? I si tenim vuit jugadors?

• Problema 3. Quants camins (sense retrocés) hi ha per anar per la quadrícula des d'A fins a B sense creuar la diagonal a la quadrícula de 3x3? I si la quadrícula és de 4x4?

• Problema 4. Disposem de sis palets. Quantes "muntanyes" o "serres muntanyoses" diferents podem fer de forma que hi hagi tres palets de pujada i tres de baixada? I si disposem de vuit palets? (Quatre de pujada i quatre de baixada).

Estudiem cada problema?

Una variant de persistència multiplicativa i trens de potències

Abans de començar  aquest article recomano haver llegit l'article anterior sobre persistència multiplicativa, ja que, tot i que farem "recordatoris", hi hauran referències constants . Un cop fet l'avís... entrem en tema.

Fem memòria del que significa persistència multiplicativa. Agafem un nombre. Multipliquem les seves xifres. Si el resultat té més d'una xifra repetim el procés fins arribar a una xifra única. A l'article anterior vam comentar els efectes "devastadors" del zero: en el moment que apareix un zero (i és fàcil que passi) el procés iteratiu acaba en un pas i l'arrel multiplicativa serà zero. El matemàtic Paul Erdős (qui si no?) es va preguntar què passaria si en el procés iteratiu prescindim dels zeros.

A continuació teniu un petit aplicatiu, fet amb Scratch, per poder experimentar.

Enllaç al projecte

Una idea per a l'aula que pot venir ràpidament al cap és com varien les respostes a les preguntes que ens vam fer sobre la persistència "normal". Algunes les podem contestar de forma ràpida. Per exemple, la demostració de que s'acabava en una sola xifra continua sent perfectament vàlida. També continuant sent vàlides les reflexions que vam fer sobre l'efecte de les xifres (tret del zero) en la persistència. Altres preguntes les hem d'anar pensant:

• Persistència i quantitat de xifres. Havíem vist que la persistència, encara que no era el més freqüent podia ser superior a la quantitat de xifres, però que mai la persistència superava en 2 la quantitat de xifres. Passarem ara aquesta frontera? Hi haurà persistències superior a xifres+2?
• Arrel multiplicativa. En la majoria de casos (una mica més del 90% dels casos del 10 a 1 milió) acabàvem en zero. Ara això no passarà. Com es distribuirà aquest 90% entre les altres xifres? Continuaran sent els parells grup més abundant?
• Durada de la persistència. Vam veure que la persistència 1 i 2 eren les més freqüents (de 10 a 1 milió un 40 i un 37% respectivament). L'aparició de zeros o d'una xifra parell i un cinc escurçava molt la persistència. En aquesta casos aquests zeros podríem dir que es convertiran en uns. Després de les durades d'1 i 2 passos, les de 3, 4... anaven baixant de mica en mica (12%, 6%...). Afectarà en molt la persistència d'Erdős a la durada?
• Arbres genealògics. És evident, per les raons que vam apuntar a l'article anterior, que continuaran havent-hi "nombres orfes". Variaran molt els arbres genealògics dels nombres?

En primer lloc respondrem aquestes preguntes. Després aplicarem la idea de persistència als trens de potències de Conway.

Vols saber les respostes? I què és un tren de potències?

Fem-nos preguntes sobre la "persistència multiplicativa"

La persistència multiplicativa és un “invent” de Neil Sloane, creador per altra banda de la OEIS (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences), l’enciclopèdia de les sèries numèriques enteres. El concepte no és difícil. Agafem un nombre qualsevol. Per exemple 2793. Multipliquem les seves xifres (2·7·9·3) i obtenim 378. Ara tornem a fer el mateix amb les xifres del resultats (3·7·8) i obtenim 168. Hem de repetir el procés fins arribar a una sola xifra.

 En aquest cas necessitem cinc passes per arribar-hi i acabem amb el 6. Direm que la persistència multiplicativa de 2793 és 5 i la seva arrel multiplicativa 6.

Pels alumnes més grans pot ser una bona proposta preparar algun petit programa, com el següent o més senzill, que calculi la persistència.

  Enllaç al programa

Vaig conèixer la persistència multiplicativa (com tantes altres coses) pel Blog del PuntMat. Ells la proposen com un exemple de pràctica productiva (una tasca que permet la exercitació i alguna cosa més) per contraposar-la amb la pràctica reproductiva (que només busca l'exercitació “pura i dura”). De fet explorar-la una mica pot obrir un gran ventall de preguntes. I, no cal recordar, que saber plantejar-se preguntes és una de les competències matemàtiques, i extramatemàtiques, relacionada amb la resolució de problemes.

Al Blog del PuntMat se'ns mostra una imatge on una alumna va anotant alguns dels seus descobriments mentre va investigant la persistència multiplicativa dels nombres del 10 al 100. Per exemple:

• Que l'ordre de les xifres no importa.
• Que la persistència no depèn de la grandària del nombre.
• Que la taula presenta simetries
• Etc.

Imatge extreta del Blog del PuntMat.

Però podem fer-nos altres preguntes i anar una mica més enllà. L'ideal és que se les facin els alumnes, però si no se les fan, podem ajudar-los a plantejar-se-les. Al llarg d'aquest article mostrarem algunes.

El joc dels forts

Aquest joc té un principi semblant al conegut joc dels vaixells però és infinitament més interessant perquè, encara que persisteix un punt d'atzar, domina, i molt, la lògica. Reconec que no l'he provat mai a l'aula i no sabria dir per què, ja que fa trenta anys havia jugat molt i fèiem unes partides triples immenses amb els amics Carles Vallès i Jordi Deulofeu. El vam conèixer per un llibre de Pierre Berloquin absolutament recomanable: 100 jeux de table. El llibre organitzava els jocs en "jocs sobre paper blanc", "sobre paper quadriculat", "sobre tauler d'awelé", "sobre tauler de backgammon", "de pions"...

Expliquem les regles:

• Cada jugador dibuixa, d'amagat, tres forts en un tauler de 10x10 de manera que els forts no es toquin ni pels vèrtexs. Un fort és un quadrat de 3x3 amb la casella central pintada d'un altre color i que anomenarem quarter general.

• Un cop cada jugador ha dibuixat els seus forts comença el joc. S'ha de tenir un caseller semblant en blanc per anotar les tirades pròpies.
• Una tirada consisteix en fer un "vol de reconeixement" seguint una línia que indicarem amb una casella de sortida i una direcció. El vol de reconeixement fa una fotografia a cada casella per la que passa. Quan s'ha acabat el vol, el contrari ens diu quantes "fotografies" s'han fet sobre el seus forts. Ens diu el total sense indicar si són d'un, dos o tres forts. A la imatge tenim un exemple. A la tirada  A2-Est, la informació que ens han de tornar és "3"

• Els dos jugadors van tirant alternativament i recavant informació. A la imatge tenim dues tirades més: A1-Sudest (4) i D1-Sud (6)

• Quan un dels dos jugadors creu que sap les coordenades dels tres quarters generals atura el joc i les diu. Atenció! Si s'equivoca, ni que sigui en una, perd la partida. Si encerta i és el que ha tirat primer l'altre jugador té dret a dir les coordenades del primer i si també les encerta seran taules.

A priori sembla que s'han de fer moltes tirades per encertar les coordenades dels forts contraris, però poques vegades, si les tirades són "bones", caldran més de 8 tirades. Per exemple, en aquest caseller ja tenim sis tirades. No tenim prou informació per encertar on són els quarters generals però sí per a fer les primeres conjectures.

Mirem com?

Fem quadrats en sèrie

Aquesta proposta ve de l'imprescindible web de l'NRICH i té el nom original d'Sticky Numbers. Cal dir que sovint mires les activitats i no prens la mesura de la seva potència fins que t'hi poses a treballar o una altra persona, que ho ha fet, te la destaca. A mi em va arribar per la Sílvia Margelí que, a la vegada, la va veure en una formació de l'AraMat. També en podem trobar una referència, com no, al Blog del PuntMat. Vaja... el que vull dir és que compartir problemes és una bona manera de conèixer possibles activitats d'aula interessants i, sobre tot, de buscar maneres d'estirar-les.

Començarem fent una petita variant de la proposta d'NRICH (variant que tampoc és d'invenció pròpia i està inspirada en una altra activitat del web Transum). Plantejarem un joc per a dos jugadors. A l'exemple tenim 17 cartes amb els nombres de l'1 al 17. Es barregen i es treu una a l'atzar que es col·loca sobre la taula. Imaginem que surt el 12.

La jugada correcta consisteix en posar un carta al costat d'aquesta de manera que entre les dues sumin un quadrat perfecte. En aquest cas el primer jugador pot triar entre el 4 (12+4=16) o el 13 (13+12=25). Imaginem que juga el 4. El 2n jugador podrà triar ara entre el 13, per posar-lo al costat del 12 o el 5, per posar-lo al costat del 4 (4+5=9).

El 2n jugador podrà triar ara entre el 13, per posar-lo al costat del 12 o el 5, per posar-lo al costat del 4 (4+5=9). El joc continua fins que un dels jugadors no pot col·locar cap targeta i perd la partida. Si es col·loquen totes seran taules. En aquesta partida d'exemple ja no es poden posar més cartes i ha guanyat el 1r jugador.

Podem continuar jugant de forma competitiva o, millor, de forma cooperativa: intentant fer sèries el més llargues possibles o, fins i tot, una sèrie completa amb tots els nombres. No cal dir que la quantitat de cartes potser diferent a 17. El que té d'interès de fer-ho amb cartes és que les proves es fan d'una forma més àgil que amb llapis i paper, sobre tot per controlar que utilitzem tots els nombres o que no en repetim cap. La pàgina d'NRICH té un petit applet (que no funciona en tots els navegadors; per exemple sí ho fa amb Firefox) que permet moure i encadenar els nombres.

A l'activitat original se'ns convida a investigar amb altres nombres, especialment del 31 en avall. I aquí haurem de fer com l'Adrián Paenza en els seus llibres: convidar-vos a resoldre el problema i, sobre tot, a cercar estratègies per poder buscar les cadenes completes si existeixen. Si no ho fas i continues llegint veurem que hi ha estratègies que relacionen aquest problema amb aspectes de topologia com els camins Hamiltonians.

Voleu veure una manera de fer-ho?

Els "sona": contes, geometria i nombres (2)

A l'entrada Els "sona": contes, geometria i nombres proposàvem un petita investigació sobre aquests dibuixos geomètrics que fan els narradors Chokwe (Angola, Zàmbia i Congo). Recordarem que un sol dibuix, en singular, es diu lusona i en plural sona.

Imatge treta d'un article de D. Chavey

Vam estudiar un tipus particular de sona, els que es coneixen com de "taula de billar", i la investigació principal tractava sobre com saber el número de trajectòries d'un lusona sabent la mesura dels costats del rectangle base.

Sona d'una (4x3), dues (6x4) i cinc trajectòries (5x5)

Si no vols que fem espòiler millor que deixis de llegir ara mateix i te'n vagis al primer l'article sobre els lusona. Allà trobàvem la pauta sobre la quantitat de trajectòries.

Però, en aquell article, vam deixar pendent el perquè. I d'això és del que volem parlar ara: per què la quantitat de trajectòries ve determinada pel m.c.d. dels costats?

Adoctrinament? Asèpsia? (2)

El passat 8 d'octubre vaig escriure un article al blog titulat Adoctrinament? Asèpsia? Em va moure a fer-ho un escrit de la fiscalia on es minimitzaven els ferits de l'u d'octubre fent un ús mesquí dels percentatges. En aquells dies no es parlava tant d'adoctrinament a les nostres escoles, com a mínim al nivell que se'n va parlar després. Part de la tesi de l'article era que no parlar de la realitat, no analitzar-la socialment, també des de les matemàtiques, no és asèptic. Amagar l'entorn social també té un missatge. En aquell cas parlava, entre d'altres coses, de la necessitat d'aprendre a ser crítics amb l'ús dels nombres.

Ara no és que tan sols  es parli més d'adoctrinament, és que hi ha denúncies judicials. I no només denúncies, sinó assenyalaments públics com el que han patit alguns dels docents de l'INS El Palau de Sant Andreu de la Barca des d'algun tipus de premsa i des d'algun compte molt concret de twitter (i que no vull enllaçar per la seva indignitat). I tot plegat en un context que no hauríem imaginat fa sis mesos: polítics a la presó o a l'exili, retalls de llibertats, denúncies a tort i a dret, tergiversació de la realitat, construcció d'un discurs mentider que es vol fer real, seguint les tesis de Goebbels, a base repetir-lo... Per tant, cal tornar a parlar-ne.

Si volgués fer una simplificació del que entenc per educació matemàtica diria que tenim dos camps de treball amb el nostre alumnat: augmentar la seva cultura matemàtica i fomentar el seu pensament matemàtic. No m'estendré sobre el tema de la cultura matemàtica. En tot cas, sí cal destacar que aquesta cultura té un cert caràcter transmissiu. Això no implica que els alumnes no la puguin descobrir, però d'una manera o una altra hauran de recórrer a certes "fonts". En aquesta cultura hi poden entrar des de determinats conceptes i procediments a una certa quantitat de "sabers" relacionats amb la història de les matemàtiques o les matemàtiques que hi ha a l'entorn. El pensament matemàtic, en canvi, no es pot transmetre, s'ha de construir, fomentar. Aquest tipus de pensament el podem caracteritzar en la cerca de pautes, semblances, diferències.., en les estratègies de resolució de problemes o en la construcció de models (què és significatiu?, què no?, com influeix?). Però també en la necessitat de l'argumentació sòlida, en el rigor, en l'evitació de contradiccions.

Misteris numèrics a la pintura de Tomasa Martín

Passejant pel carrer Montcada de Barcelona hi ha una petita galeria que porta el mateix nom del carrer on es situa. Més d'una vegada, passa passant, m'han cridat l'atenció uns quadres que tenen exposats a la porta. Em costa descriure què em va fer mirar-los per primera vegada. Potser la proporció del quadre, ben poc habitual (12x73). Potser les textures. Potser els colors, el contrast dels nens pintats amb els fons de grisos matisats o ocres. Potser la composició amb la figura humana lleugerament descentrada. Potser... No sempre sabem descriure per què una cosa ens agrada. Potser no sempre cal.

La seva autora és Tomasa Martín, pintora nascuda a Zamora però afincada de fa anys a Barcelona. Ha exposat a Catalunya, a Espanya i, fins i tot, al Japó. Té altres sèries de quadres. Molt destacables les de llibre o de retrats. En aquest quadre la podem veure autorretratada apilant llibres.

En aquesta sèrie de quadres amb nens i nenes escrivint (a una pissarra?, a una paret?) part del misteri està en el que escriuen: nombres, operacions més o menys curioses, equacions, petits enigmes, figures geomètriques...

Per exemple mirem alguns detalls del quadre "El humor es necesario".

Nombres de l'1 al 7 enmirallats

Algoritme històric per multiplicar d'origen oriental

Petit enigma: quant val cada figura?

Mirem els detalls d'un altre quadre:

Âbac xinès amb el nombre 16040 escrit sense "arreglar"

Quan val el quadrat?

Si voleu continuar llegint us mostrarem alguns exemples més però, sobre tot, ens centrarem en l'estudi de les misterioses sèries numèriques que hi trobem als quadres de Tomasa Martín i a les funcions que es poden associar. També descobrirem unes sumes que no són mai sumes.

Voleu descobrir més?