Divisió 2: la divisió per "replecs"

Aquest algorisme no acostuma a aparèixer als llibres d'aritmètica antics. El trobem, però, al Tratatto di numeri et mesuri de Nicolo Fontana, més conegut com Tartaglia, llibre que es va publicar a l'any 1556. Tartaglia el qualifica com un mètode "gentile e bello".

És un sistema que té avantatges clars però també limitacions evidents. La idea és la següent:

• les divisions per una xifra són més fàcils que les de dues, tres... fins i tot es poden fer "de cap"
• moltes divisions de més d'una xifra es poden descompondre en dues o més divisions d'una.

A l'aula podem fer l'experiència de preguntar: que t'estimes més? Una divisió per dues xifres o dues divisions per una xifra?

Mirem un exemple.

A cadascuna de les divisions li diem replec. El cas anterior és fàcil perquè la divisió és exacta. Però mirem un segon cas.

El quocient és 281. Però quin és el residu? Dos? Tres? O cap dels dos?

Vols mirar com esbrinar el residu dividint per replecs?

El residu s'esbrina de la següent manera:

• S'agafa el residu del primer replec: 3
• Es multiplica el segon residu pel primer divisor: 2x7 = 14
• Es sumen les dues quantitats: 3+14 = 17

Podem observar el mateix procediment en aquesta segona divisió.

I amb tres divisions?

Si la descomposició del divisor la fem en tres nombres hem de comptar amb els tres residus obtinguts. Mirem un exemple: 5911 : 126 = 5898 : (7 x 6 x 3)

Divisió	Quocient	Residu
5911 : 7	844	3
844 : 6	140	4
140 : 3	46	2

• El quocient de la divisió és 46
• El residu  es calcula així: 3 + (4 x 7) + (2 x 6 x 7) = 3 +28 + 84 = 115

Hem d'anar multiplicar cada residu pel divisors anteriors i sumar tots el resultats.

I a l'aula?

El que ens aporta aquest algorisme, de forma més clara, és la descomposició de divisions complexes en altres més senzilles que poden facilitar no només el càlcul escrit, sinó el mental o l'aproximat. Per altra banda toca d'una forma molt interessant el tema dels residus, sovint massa menystingut. A més de practicar la divisió amb casos degudament graduats podem fer altres propostes per l'aula

• Proposta 1

Per veure si el mètode s'ha entès fer explicar com es farien algunes divisions amb descomposicions més complexes. El fet d'explicar sempre ajuda a reconstruir el que es coneix.

• Proposta 2

Investigar formes per fer, el més ràpidament possible, les descomposicions del divisor. És una forma indirecta de treballar la divisibilitat.

• Proposta 3

Justificar perquè és el mateix dividir per un nombre, que dividir successivament pels seus factors, treballant-ho amb casos senzills i en els primers amb divisions exactes. Per exemple 48 : 12, tot observant i argumentant per què podem dividir 48 entre 3 i el resultat entre quatre i, que dóna el mateix resultat que dividir 48 entre 4 i el resultat entre 3. Per l'alumnat no és massa evident que sigui el mateix dividir per un nombre que fer-ho pels seus factors i ser-ne conscients els ajudarà a la construcció d'estratègies personals de càlcul.

• Proposta 4

Argumentar per què funciona el mètode per trobar el residu. A primària i a secundària es pot fer gràficament a partir d'un cas particular i a cursos superiors de secundària es pot demanar també algebraicament. Aquest "també" es deu a que la comprovació gràfica només resol un cas particular. Encara que més clara, no resol el cas general. Aquesta comprovació gràfica pot servir per fer les justificacions demanades a la proposta anterior. A continuació podeu provar amb aquest exemple.

• Proposta 5

Estudiar per quins nombres és útil aquesta divisió i per quins no. A més de no servir pels nombres primers de dues xifres tampoc servirà per alguns dels seus múltiples. Fins i tot podem fer un "mapa d'utilitat". Per exemple aquí tenim una taula de l'1 al 50 en la que veiem que podem resoldre el 62 % dels casos (tenint en compte que la divisió per 10, per les seves característiques especials, també la podem incloure en les descomposicions).

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50

Altres entrades al bloc sobre la divisió

• La divisió egípcia
• La divisió àrab
• La divisió per "galera"
• Control de resultat
• La divisió a Mesopotàmia