Divisió 3: la divisió àrab

Així com podem entendre la multiplicació com una suma repetida, es pot considerar la divisió com una resta repetida. Al Traité d'Arithmetique de J.A. Serret (1887) podem llegir:

"La divisió es pot fer amb l'ajut de la sostracció. Es vol, per exemple, dividir 14 per 4, es restarà 4 de 14, el que donarà residu 10; s'ha de restar de la mateixa manera 4 de 10, el que donarà el residu 6; es restarà encara 4 de 6, el que donarà el residu 2, inferior a 4. Es veu que del dividend 14, es pot restar successivament tres vegades el divisor 4, i que s'obté llavors un darrer residu 2, inferior a 4, per tant, 3 és el quocient de la divisió de 14 per 4.

Aquest procediment, que condueix fàcilment al resultat en l'exemple que hem triat, seria sovint impracticable si es volgués aplicar directament d'aquesta forma. Caldrà, doncs, modificar-lo"

El que fa "impracticable" el mètode és la seva lentitud amb nombres més grans, per exemple dividir 8765 entre 6 restant els sisos d'un en un. La "modificació" consistirà, doncs, en accelerar el procés combinant multiplicacions i restes. És el que fa el nostre algorisme actual, hereu del que presentem en aquesta entrada al bloc: l'algorisme àrab.

T'animes a conèixer aquest algorisme?

Una de les primeres diferències que s'observen clarament és la diferents col·locació dels nombres que intervenen a la divisió: el divisor, el dividend, el quocient...

El millor és observar un primer exemple: 6429 entre 9.

La divisió per dues xifres sempre és un mica més complexa. Podeu observar aquest exemple: 5797 entre 43.

Haureu pogut observar algunes diferències noves amb el nostre algorisme: cada xifra del quocient es multiplica per les del divisor separadament, i les restes parcials es fan també indicades i per separat. A més es multiplica d'esquerra a dreta i no de dreta a esquerra com fem ara (al principi de la divisió fem 1x4 i després 1x3, quan nosaltres faríem 1x3 i després 1x4).

Observem un tercer exemple dividint per tres xifres: 97205 entre 654.

Com es veu és una ampliació simple de la divisió per dues xifres.

Algunes consideracions sobre l'algoritme

Les diferències amb el nostre algoritme estàndard actual no són tantes, però hi ha algunes que cal remarcar:

• no demana tant càlcul "de cap".
• contínuament sabem què ens queda, després de cada resta, i de forma explícita, el que permet veure aquest algoritme més proper a la idea de restes successives, que no pas el nostre. Així a l'exemple anterior veiem que després de la primera sostracció ens queden 37205 (al 97205 l'hem tret 60000 que provenen de 6x10000), després de la segona 32205 (als 32705 que quedaven li traiem 5000 que venen de 5x1000), i després de la tercera queden 31805 (de restar-ne 400 més, que venen de 4x100). Podem veure en la nostra divisió, després d'aquests passos on tenim aquest 31805.

• encara que escrivim més, els nombres van quedant col·locats sempre de forma més significativa, més relacionada amb els càlculs parcials.

I a l'aula?

• Proposta 1

Presentar sense explicacions. Una divisió completa i que es descobreixi, a partir d'ella, com funciona.

• Proposta 2

Un cop entès l'algoritme, ja sigui descobert a partir d'una imatge o d'una animació, fer alguna pràctica senzilla.

• Proposta 3

Construir una justificació de l'algoritme. Veuré què es fa a cada pas, explicar quin objectiu es persegueix. Podem ajudar-nos fent un esquema que representi la divisió feta però on s'explicitin més algunes passes o s'escriguin tots els zeros que no es representen.

Altres entrades al bloc sobre la divisió

• La divisió egípcia
• La divisió per "replecs"
• La divisió per "galera"
• Control de resultat
• La divisió a Mesopotàmia