El nim "del doble" (2)

 A l'article anterior a aquest (El Nim "del doble" - 1) presentàvem i iniciàvem l'anàlisi d'un joc d'estratègia per a dos jugadors de tipus Nim. En aquest cas, les regles són les següents: hi ha una pila de fitxes de la que cada jugador pot agafar tantes fitxes com vulgui entre una i el doble de les que hagi agafat el jugador anterior. Qui deixa la taula neta guanya. I, a la jugada inicial es poden agafar totes les fitxes que se'n vulguin menys una.

Exemple de partida amb 10 fitxes inicials.
La partida es llegeix d'esquerra a dreta i guanya verd

Vam fer tots de diagrames en arbre per estudiar diferents quantitats de fitxes inicials i de conjectures equivocades. Cap al final de l'article vam veure que hi apareixien misteriosament els nombres de Fibonacci. Si la quantitat de fitxes inicial és un nombre de Fibonacci sembla que hi ha estratègia per al 2n jugador. Si no ho és el primer pot guanyar si deixa al contrari amb una quantitat de fitxes que sigui un nombre de Fibonacci. Però també vam veure que això no ho podem fer sempre. Posàvem l'exemple de jugar amb 12 fitxes. Si A (el 1r jugador) agafa 4 deixa a B (el 2n jugador) amb 8, que és un nombre de Fibonacci, perdrà perquè B, que pot agafar fins al doble de la jugada anterior, pot agafar les 8 que queden i guanyar. Després vam fer l'arbre d'estudi del joc per a 12 fitxes i vam veure que la sortida guanyadora era 1 (11), que entenem com "agafar-ne una i deixar-ne 11".

Estratègia per a A per a 12 fitxes

Deixar 11 fitxes no és "deixar un nombre de Fibonacci". Per tant, vam concloure que havíem d'estudiar més el problema. I és el que farem ara.

T'animes a seguir llegint?

El Nim "del doble" (1)

Els jocs d'estratègia són un dels millors recursos per treballar la dimensió de resolució de problemes a l'aula. I de forma inevitable es treballen també les altres dimensions (raonament i prova, representació i comunicació i connexions). Són un dels tipus d'activitats més riques i completes. Però, així i tot, sembla que costa que entrin a l'aula com una activitat habitual. Probablement, entre les moltes raons que hi pot haver, està que sovint no semblen tenir una relació molt directa amb els continguts clàssics. També que mestres i professorat no tenim molt de costum en l'anàlisi de jocs, que tenim una certa inseguretat en l'abordatge de la seva resolució.

El "Tres en ratlla" és un exemple clàssic de joc d'estratègia

En els jocs d'estratègia, que no depenen de cap habilitat física o manipulativa especial ni de cap aspecte relacionat amb l'atzar, s'apliquen tècniques molt habituals de la resolució de problemes. Podeu veure algunes relacions en aquests quadres.

En aquest article estudiarem un joc que, en el passat C2EM, van plantejar Jordi Font i Laura Morera en la seva esplèndida conferència de cloenda. Aquest joc l'anomenarem el "Nim del doble" i és molt interessant i, fins i tot, sorprenent complex. Cal dir que també en conferència inaugural, a càrrec d'Eduardo Sáez de Cabezón, es va plantejar un altre joc de tipus Nim.

Per poder exemplificar millor el procés de l'anàlisi del joc no el mostrarem directament acabat. Anirem mostrant i comentant diferents moments d'aquest procés, fins i tot posant en evidència errades, conjectures falses, idees explorades i abandonades, descobertes de nous camins... Pensem que així, potser, es veurà millor la riquesa d'aquesta petita investigació matemàtica.

Presentem primer el joc. L'únic material necessari és un conjunt de fitxes.

Regles:

• Tenim una pila de n fitxes. Per exemple 20.
• El primer jugador, a l'inici, pot agafar totes les fitxes que vulgui menys una (en el nostre exemple pot agafar d'una a dinou).
• El segon jugador pot agafar entre una i el doble de les que ha agafat l'anterior. Per exemple, si el primer (A) agafa 4 fitxes, el segon (B) podrà agafar-ne entre 1 i 8.
• Es continua jugant amb aquesta regla.
• Guanya qui deixa la taula neta (qui agafa l'última o últimes fitxes)

A les dues taules següents teniu l'exemple del desenvolupament de dues partides. La primera la guanya B (el 2n jugador) i la segona A (el primer jugador).

No cal dir que, abans de continuar llegint, és millor que jugueu algunes partides i comenceu a fer les primeres hipòtesis.

Analitzem el joc?

El codi interestel·lar d'Ivan Bell

Aquesta activitat ja estava al web antic del Calaix +ie. Incloïa un interactiu no gaire assolit, tot s'ha de dir, i estava presentada de cara a alumnat, amb una petita introducció i l'activitat.  A l'actual versió del Calaix ja no hi és. El format d'aquest blog em permet comentar-la amb més calma i destacar per què em sembla una molt bona activitat per a l'aula. Donat que és molt probable que no la conegueu la presentaré com a nova. El problema el vaig descobrir, per variar, per un llibre de Martin Gardner (Comunicación extraterrestre y otros pasatiempos matemáticos, Cátedra, Madrid, 1987). És una activitat de descodificació, però que ens porta a reflexionar sobre aspectes del nostre sistema de numeració i en les relacions entre operacions. Entrem en situació.

El problema neix de la necessitat (qui la senti) d'elaborar un codi i un missatge que siguin interpretables per una possible civilització extraterrestre. Hi ha algunes idees clau a tenir en compte. Una és llenguatge. No es pot fer un codi amb cap llengua de la Terra. Champollion va poder descodificar els jeroglífics perquè va tenir prou referències: una "xuleta" basàltica en forma de pedra Rossetta i la idea que l'egipci antic podia ser proper al copte de la seva època. La segona clau es refereix al contingut del missatge. Aquest ha de tenir alguna referència comuna amb la civilització alienígena que el rebi. Sembla versemblant que una civilització capaç de captar el missatge sabrà comptar i fer càlculs aritmètics, que seran, si fa no fa, semblants a tot l'univers. Per tant, el contingut del nostre missatge pot ser numèricoaritmètic. Aquesta és la idea a la qual va arribar Ivan Bell, un professor d'anglès que vivia a Tòquio i que l'any 1960 va publicar com un joc a la revista The lapan Times.

El codi d'Ivan Bell consta de 14 missatges que, progressivament, van informant sobre el nostre sistema de numeració i les operacions bàsiques que fem amb els nombres. Cada missatge permet traduir alguns símbols. Aquests poden ser xifres (0, 1, 2, 3... fins a 9), nombres (10, 100, etc.), signes d'operació (suma, resta, potència...). Aquí representarem cada símbol amb una lletra, però els missatges podrien ser també sonors emesos repetidament. No ens hi capficarem amb la forma de transmissió

Ara et convidem a posar-te en el lloc dels extraterrestres que han rebut aquests missatges i que has de descodificar. A continuació et posarem els 14 missatges i, si continues llegint l'article, et comentarem la descodificació i els aspectes interessants de cada missatge. També pots descarregar-te en pdf tots els missatges.

Descarregar en pdf

Missatge 1

A B C D E F G H I J K L M N P Q R S T U V W Y Z

Es presenten els símbols que es faran servir

Missatge 2
AA B	AAAAAAA G
AAA C	AAAAAAAA H
AAAA D	AAAAAAAAA I
AAAAA E	AAAAAAAAAA J
AAAAAA F

Missatge 3
AKALB	CKALD
AKAKALC	BKELG
AKAKAKALD	FKDLJ
BKALC

Missatge 4
CMALB	IMGLB	DMALC

Missatge 5
CKNLC	DMDLN
HKNLH	EMELN

Missatge 6
JLAN	JKJLBN
JKALAA	JKJKJLCN
JKBLAB	FNKGLFG
AAKALAB

Missatge 7
BPCLF	EPBLJ	FPJLFN

Missatge 8
FQBLC	JQBLE	FNQFLJ

Missatge 9
CRBLI	BRELCB

Missatge 10
JPJLJRBLSLANN	JPSLT
JPJPJLJRCLTLANNN	JPTLJRD

Missatge 11
AQJLU	UQJLAQSLV

Missatge 12
ULNWA	VQJLNWNNA
UPBLNWB	VQSLNWNNNA
AWDMALNWDLDPU	JPEWFGHLEFWGH
VLNWNA	SPEWFGHLEFGWH
VPCLNWNC

Missatge 13
GIWIH Y HN	TKC Y T	Z Y CWADAF

Missatge 14

D P Z P NWNNIB R C Q C

Vols veure la descodificació

Tauler infectat

Amb el nom de Tauler infectat apareix al llibre Matemàtica, ¿estas ahí? Episodio 100 aquest interessant problema. No serveix molt com a model de propagació d'epidèmies, però conserva l'aspecte "d'infecció per contacte". El problema és fàcil de plantejar. Imaginem que tenim un tauler de 8x8 en el que algunes caselles estan "infectades".

Cada casella comparteix costats amb quatre caselles més. Si tenim una casella sense infectar que està en contacte amb dues o més caselles infectades també s'infectaran. Així a la imatge següent podem veure quines seran les caselles que s'infectaran a la següent fase. En aquest cas, cada casella nova comparteix exactament dos costats amb infectades.

Aquest procés es va repetint fins que cap casella nova es pot infectar i l'epidèmia s'acaba. Al cas de l'exemple no s'infecten totes les caselles.

Però en aquesta altra, amb una disposició i quantitat inicial de caselles infectades diferent, sí que finalitza amb tot el tauler vermell.

Ja tenim la situació plantejada. Ara venen les preguntes. Per exemple:

• quina és la quantitat mínima de caselles inicials infectades per poder infectar tot el tauler?
• és indiferent com estan distribuïdes?
• observant una disposició inicial, podem predir ràpidament si s'infectarà tot el tauler o no?

Com en molts altres problemes podem investigar-lo fent una reducció: començarem per un tauler de 2x2. Si descartem els casos extrems (una sola casella infectada i tot el tauler) i no tenim en compte simetries i girs tenim tres disposicions inicials.

Aquest cas ja ens dona algunes pistes. En un tauler de 2x2 hi ha un mínim de caselles inicials necessàries: dues. I la disposició sí que importa, perquè si ocupen un costat no hi ha cap infecció nova i sí que hi ha infeccions si ocupen una diagonal.

Ara, abans de continuar, et deixem investigar en taulers de 3x3 i 4x4 amb aquests dos applets fets amb scratch.

Enllaç al programa

Pinta les caselles inicials i prem la tecla "espai" per iniciar

Enllaç al programa

Pinta les caselles inicials i prem la tecla "espai" per iniciar

Continuem l'exploració del problema?

Un joc de cares i creus amb sorpreses (El joc de Penney)

Hi ha problemes que, de vegades, te'ls trobes, no et criden l'atenció i els oblides. I passat un temps, que poden ser anys, te'l tornes a trobar i els trobes superinteressants. I quan comences a investigar... descobreixes que t'havien passat per alt en un altre moment. Això és que m'ha passat llegint el llibre de Matt Parker "Pifias matemáticas". He trobat un problema que no recordava, però que després he descobert que ja havia vist, com a mínim, tres vegades: per descomptat, a un títol de Martin Gardner, Viajes por el tiempo y otras perplejidades, al Cuaderno de Cultura Científica en un article de Miguel Ángel Morales (@Gaussianos) o, fins i tot, a una Matiaventura de Clara Grima. Deixem les lamentacions i passem a mirar el joc que genera el problema. Es coneix com el Joc de Penney en honor a l'autor Walter Penney que el va publicar l'any 1969.

Volem jugar a cara i creu contra una altra persona. Jugar a una sola tirada pot ser molt avorrit. Per tant, jugarem apostant (punts, no cal que siguin diners) a una seqüència de tres tirades.  Tenim vuit ternes per triar que són igual de probables, cosa fa pensar que el joc és també equiprobable.

Un cop cada jugador ha triat la seva terna, que han de ser diferents, es comença a tirar la moneda fins que apareix la seqüència triada per un dels dos jugadors, que guanya el punt. A l'animació teniu un exemple de partida.

Potser hauràs observat a la partida d'exemple que, després de sortir dues creus seguides, l'opció CXC ja no podia guanyar. Si teníem dues creus i continuen sortint creus successivament (per exemple CCXXXXXX) guanyarà XXC en el moment que surti una cara, mentre que CXC ja no podrà sortir mai abans que XXC.

Si has entès el joc et recomanem que ara juguis contra l'ordinador. Per començar cada partida nova has de prémer la tecla espaiadora del teu teclat. A continuació tria la teva opció. Recomanem fer un mínim de deu partides.

Enllaç al programa

T'ha anat bé el joc? O sembla que l'ordinador té alguna mena d'avantatge?

Passar de 12

Aquest problema de probabilitat l'he trobat al llibre Matemagia d'Adrian Paenza. Pot ser molt interessant per treballar-lo a l'aula perquè té un plantejament fàcil i només necessitem uns daus. El podem presentar com un joc:

• Tirem un dau i mirem la cara que ha sortit. El tornem a tirar i sumem el nou resultat a l'anterior... i anem fent així fins que obtenim una suma superior a 12. Veiem un exemple a la imatge. La suma de les tres primeres tirades dona justament 12, però el joc consisteix a passar-se. Per tant ens cal fer una quarta tirada. Obtenim un 4 i arribem a 16.

• La pregunta és: si haguéssim d'apostar, a quin nombre final ho faríem?

Mirem com podem portar el problema a l'aula?

Paguem... però amb poques monedes

Aquest problema apareix al llibre Mathématiques pour le plaisir de Jean-Paul Delahaye. Concretament al capítol titulat Quelles pièces pour faire l'appoint? Es tracta d'un problema sobre el nostre sistema monetari del qual farem una reducció de monedes en el seu plantejament inicial. Així serà més apte per a les aules. També ens farem algunes preguntes que no apareixen a l'article (així com deixarem de banda moltes altres que sí que hi són).

El primer que volem mirar és com, amb el conjunt de monedes (1, 2, 5, 10), podem fer pagaments d'1 a 19 cèntims amb el mínim de monedes per a cada cas. Per exemple, pel de 7 cèntims només contemplem el cas 2-5 (dues monedes) i deixem de banda qualsevol altra possibilitat (1-2-2-2, 1-1-5, 1-1-1-2-2, etc.). Hem triat com a límit 19 cèntims per posar el topall en algun lloc. El criteri aplicat per triar-lo és: "un abans que la següent moneda que trobaríem", en aquest cas 20 cèntims.

Obtenim una taula com la següent.

Aquesta pot ser una bona pràctica productiva de sumes. Però només que ens fem una pregunta nova, encendrem el ble de tota una sèrie de qüestions noves. La pregunta és: quina és la mitjana de monedes per fer els pagaments? No és difícil de calcular. Només cal sumar les monedes emprades i dividir pels 19 casos:

Podem fer un gràfic on veiem com varia la quantitat de monedes per a cada pagament i com va evolucionant la mitjana.

Es pot millorar aquesta mitjana? Com? Què passa amb monedes més grans?

T'animes a seguir?

Frisos amb Pattern Blocks

Els Pattern Blocks és d'aquells materials que no haurien de faltar a l'aula de matemàtiques, ja que permeten interessants treballs numèrics i geomètrics. Bàsicament, consta d'un joc de peces entre les quals trobem sis models. Totes tenen una mateixa unitat de costat (menys el trapezi que té un dels costats de tres unitats).

Una de les activitats clàssiques amb Pattern Blocks és la de construir mosaics. La que proposarem aquí tracta de construir frisos. Una de les definicions de fris ens diu que és una "decoració tallada, pintada o gravada en bandes horitzontals". Entre els frisos podem destacar els periòdics (que tenen un mòdul que es va repetint per translació) i els no periòdics. Per treballar amb els Pattern Blocks ens centrarem en els primers, que són els que tenen més interès matemàtic:

Fris no periòdic

Fris periòdic

A més de construir frisos els podem estudiar i classificar. Bàsicament, ens hem de fixar en quatre moviments bàsics i observar si el fris queda invariant o no després d'aplicar-lo.

• Gir de 180°

• Simetria d'eix horitzontal

• Simetria d'eix vertical

• Simetria lliscant

Continuem?

Un problema operatiu sorprenent: "Treure monedes del banc"

El divulgador matemàtic Alex Bellos manté, entre altres publicacions i col·laboracions, la columna Monday Puzzle a la publicació digital The Guardian. Un autor a seguir. El dilluns 7 d'octubre va proposar un problema titulat Treure monedes del banc (Getting coins out of the bank) que mereix atenció per diferents raons i que té una possible explotació didàctica. D'aquí que passem a plantejar-lo i comentar-lo. L'autor del problema és el matemàtic argentí Carlos Sarraute, que també ha proporcionat problemes a altres divulgadors com Adrián Paenza. És un problema de plantejament fàcil i de resolució sorprenent que ens pot permetre a l'aula parlar de demostracions, de condicions necessàries, condicions suficients... i que ens pot obrir tot un ventall de preguntes noves. Passem a plantejar i comentar el problema.

Tenim un tauler quadriculat limitat per dalt i per l'esquerra però infinit cap a la dreta i cap avall. En aquest tauler marquem un quadrat de 2x2 a la cantonada superior esquerra i que anomenarem com a "banca".

Posem tres monedes a la banca tal com es mostra a l'esquema.

L'objectiu és treure les tres monedes de la banca amb aquestes dues regles:

1. Si traiem una moneda apareixen dues noves a la casella immediatament dreta i immediatament inferior.
2. No podem eliminar una moneda si la casella dreta o inferior estan ocupades per una altra moneda.

La demanda del problema és explicar com treure les tres monedes de la banca... o demostrar que és impossible.

El mateix Bellos ens enllaça un applet fet amb Scratch, dissenyat per Mtega, per practicar el problema. Cosa que us animem a fer abans de continuar llegint.

https://scratch.mit.edu/projects/334378520

Heu practicat ja?

Per poc que us hàgiu dedicat començareu a sospitar que si el problema costa de resoldre i a l'enunciat es demana la demostració d'impossibilitat, és que les coses van per aquí: que encara que a priori sembla que es puguin treure les monedes en realitat és impossible.

De fet, la demostració d'impossibilitat és sorprenent per indirecta, bella, entenedora... però poc intuïtiva en el que respecta al plantejament i el camí de resolució. És molt difícil que algun alumne arribi a aconseguir-la, però sí que l'entenguin i vegin la bellesa i potència de les matemàtiques. Presentar alguna demostració d'impossibilitat és interessant per a l'alumnat perquè entenguin com són les matemàtiques i com, amb una mica d'esforç, ens podem estalviar treballs inútils que no ens portaran enlloc.

T'animes a continuar i veure possibilitats didàctiques?

Problemes connectats?

En aquest article plantejarem i estudiarem alguns problemes, de formats diferents, en els que buscarem patrons de creixement. Posteriorment, mirarem si entre aquests patrons trobem alguna connexió i, si existeix, de quin tipus és.

Ens hi posem amb els problemes?

• Problema 1. Tenim una "escaleta" quadriculada de 3x3. De quantes maneres diferents hi podem posar exactament tres rectangles a dins? I si l'escaleta és de 4x4, de quantes maneres podrem posar-hi quatre rectangles? (Entenem que els quadrats també són rectangles).

• Problema 2. Tenim sis jugadors de bàsquet. Els hi volem fer una fotografia posant-los en dues files de tres, una davant de l'altra, de manera que el jugador de darrere sempre sigui més alt que el de davant i que, en la mateixa fila, el de la dreta també sigui més alt que el de l'esquerra. Quantes fotografies diferents podrem fer? I si tenim vuit jugadors?

• Problema 3. Quants camins (sense retrocés) hi ha per anar per la quadrícula des d'A fins a B sense travessar la diagonal a la quadrícula de 3x3? I si la quadrícula és de 4x4?

• Problema 4. Disposem de sis palets. Quantes "muntanyes" o "serres muntanyoses" diferents podem fer de forma que hi hagi tres palets de pujada i tres de baixada? I si disposem de vuit palets? (Quatre de pujada i quatre de baixada).

Estudiem cada problema?