Josephus, tenim un problema

En articles anteriors hem fet un petit recorregut històric per problemes clàssics de recreació matemàtica. El que comentem ara es proposava, probablement, més com un conte, com una petita narració curiosa que com un problema pròpiament. Per què ho diem així? Perquè només agafant fitxes o cartes i aplicant les regles de l'enunciat arribem a la resposta; no hi ha realment problema a resoldre. Preveure la solució, abans d'executar les normes, és la majoria de vegades un problema d'alta complexitat. De fet, els autors que comentarem no es van preocupar mai de les solucions generals. Només donaven la resposta i, de vegades, regles mnemotècniques per a recordar-les. I ja avisem que els contextos de les històries explicades en els problemes eren molt més que "políticament incorrectes". Actualment són autèntiques aberracions.

Presentem el problema amb la versió de Luca Pacioli al Codice Vaticano Latino 2139 de l'any 1478:

"Hi ha un vaixell en el qual viatjaven alguns mercaders: d'aquests 30 eren jueus i 2 eren cristians. Mentre navegaven, va sorgir una tempesta, així que per assegurar-se que no morís tothom, va ser necessari alleugerir el vaixell d'alguns passatgers. Encara que hi havia jueus, ells també temien Déu i no volien ser violents amb ningú llançant-los a la força al mar; els pobres comerciants cristians, per la seva banda, veient-se en minoria, temien ser desbordats, però, com s'ha dit, això no va passar. En canvi, un dels jueus va parlar i va dir a la companyia que seria millor que només morissin alguns en comptes de tots, i que haurien de sortejar per decidir qui llançar primer al mar. Així, mentre pensaven com sortejar, un dels comerciants cristians, bon raonador, s'apropà i digué, com apuntant al bé comú: «Posem-nos en cercle i, partint d'un de nosaltres, comptem repetidament fins a 9. Els que obtinguin el 9 seran llençats a l'aigua". Tothom va estar d'acord. De seguida els dos cristians, essent de la mateixa fe, es van posar junts: el que havia parlat va començar a comptar, i va comptar de tal manera que el número 9 queia sempre als jueus i mai a ells dos; així que els 30 jueus van se  tirats tots a l'aigua i només els dos cristians van quedar a la nau. On van començar a comptar i com van procedir perquè el 9 no fos mai el seu torn?"

Si ho proveu veureu que els cristians s'han de col·locar en el 6è i 7è lloc. Ho podem veure en aquesta animació feta amb GeoGebra.

GeoGebra de Carlos Fleitas: https://www.geogebra.org/m/A5MvDFuC

 Mirem les característiques generals del problema en els seus diferents plantejaments:

• Hi ha un grup de n elements (persones, animals, objectes...) dividits en dos subgrups dels quals s'ha d'eliminar un d'aquests subgrups. El subgrup supervivent acostuma a ser d'un element, dos o de la meitat del total.
• Es fa una rotllana i es van eliminant els elements comptant de k en k sempre en un mateix sentit.
• Es demana on s'han de col·locar prèviament els elements que vulguem que sobrevisquin al recompte.

A l'aplicació en GeoGebra que us hem enllaçat. Podeu experimentar amb diferents valors d'n i k.

Com ja hem comentat, en general saber amb antelació on s'han de posar els supervivents és molt i molt complicat. Cap al final de l'article us enllaçarem un estudi general del problema. Però el cas en què n és igual a dos sí que és  investigable a l'ESO.

A l'article analitzarem aquest cas, comentarem breument el cas general, farem una passejada històrica, tot descobrint l'origen del problema i del seu nom, i us proposarem una mica de màgia basada en el problema.

Continuem?

Passejant amb la barca... i en el temps

Hi ha problemes de recreació matemàtica que són molt més antics del que ens pensem. Un d'ells és el clàssic problema del pastor, la col, la cabra i el llop. Aquest problema apareix escrit, per primera vegada, al llibre del segle IX d'Alcuí de York Propositiones ad acuendos iuvenes (Problemes per afinar l’enginy dels joves). És el 18è problema del text i el seu enunciat original era aquest:

“Un home havia de portar a l'altra banda del riu un llop, una cabra i una col, però no va trobar cap altre vaixell que un que només podia portar-ne dos d'ells. I va ser dit, que totes aquestes coses arribaren a l'altra banda il·leses. Digui, qui pugui, com els van poder traslladar il·lesos a l'altre costat”

Es coneixen versions d'aquest problema a Europa, Àsia i Àfrica. Molt probablement, Alcuí el va recollir de la tradició oral. Si no l'heu resolt mai ho podeu fer interactivament en aquest enllaç.

Avui parlarem del problema anterior, el 17, i que té també un desenvolupament històric interessant. Diu així:

“Hi havia tres homes, cadascun amb una germana soltera, que havien de creuar un riu. Cada home desitjava la germana del seu amic. Arribant al riu, només van trobar una petita barca en què podien creuar dues persones cada vegada. Digui, qui pugui: Com van creuar el riu, de manera que cap de les germanes fos maculada pels homes?”

Dit més planer: les germanes podien estar soles amb les altres germanes, però si hi havia homes presents, un d'ells havia de ser el seu germà. En general, pel context narratiu de versions posteriors, se'l coneix com el problema dels "marits gelosos". El problema apareix a llibres ben clàssics: als Annales Stadenses d'Alberto di Stade (sobre el 1250), al De viribus quantitatis (Del poder dels nombres) de Luca Pacioli i al Libro dicto giuochi matematici de Pietro di Nicolao da Filicaia (tots dos manuscrits fets sobre el 1500),  i que ja comencen a parlar de la generalització del problema. També el trobem al General tratatto (1556) de Niccoló Tartaglia, que dona una solució errònia pel cas de quatre parelles, o als Problèmes plaisants et délectables qui se font par des nombres (1612) de Claude-Gaspar Bachet, que també aborda el cas general. La solució general completa la trobem al primer volum de les Récréations mathématiques (1891) d'Édouard Lucas.

En primer lloc, us animem a agafar unes cartes de la baralla i solucionar el problema.

Voleu saber més sobre la història, la generalització i altres variants d'aquest problema?

Ampolles, soldats, monges... Un mateix problema. Diferents versions

Al llibre "Problemas y Experimentos Recreativos" Iàkov Perelman (1882-1942) plantejava un problema sota el títol Els ardits de la guàrdia. A la presentació ja anunciava: "Aquest problema té moltes variants. En donem una". I, a continuació, explicava la següent història:

"La tenda de campanya del cap la custodiava una guàrdia allotjada a vuit tendes. Al principi a cadascuna d'aquestes tendes hi havia tres soldats. Després es va permetre que els soldats d'unes tendes poguessin anar a visitar als altres. I el cap de la guàrdia no imposava sancions quan en entrar a les tendes trobava en unes, més de tres soldats i en altres, menys. Es limitava a comprovar el nombre de soldats que hi havia a cada fila de tendes: si a les tres tendes de cada fila hi havia en total nou soldats, el cap de la guàrdia considerava que tots els soldats eren presents.

Els soldats se'n van adonar i van trobar la manera de burlar-se del cap. Una nit van marxar quatre soldats de la guàrdia i la seva absència no va ser notada. La nit següent se'n van anar sis, que tampoc van patir càstig. Més tard els soldats de la guàrdia fins i tot van començar a convidar els altres a visitar-los: en una ocasió en van convidar quatre, en una altra, vuit, i una tercera vegada, tota una dotzena. I totes aquestes astúcies van passar desapercebudes, ja que a les tres tendes de cada fila el cap de la guàrdia comptava en total nou soldats. Com se les componien els soldats per fer això?"

Resumint el problema: tenim un quadrat de 3x3 en què la casella central interior no compta.  Podem posar a cada casella tants soldats com vulguem mentre es puguin comptabilitzar nous soldats per banda. Inicialment hi ha 24 soldats: Com hem de distribuir els soldats perquè el cap de la guàrdia no s'adoni de res en dies què n'hi ha 20, 18, 28, 32 i 36 soldats?

La proposta per a investigar va una mica més enllà: quines són les quantitats mínima i màxima de soldats que podem tenir? Entre aquestes quantitats, es poden obtenir totes les altres? I si en comptes de 9 soldats per banda, són n? Quines seran les quantitats límit? Podem descriure algun patró o mètode per obtenir totes les solucions possibles?

A banda de la investigació us presentarem, a continuació, algunes variacions del problema: versions més antigues històricament o plantejades amb dos pisos.

Continuem?

Una caiguda problemàtica

Un bon dia en Pep, professor de matemàtiques de l'Institut Tres Quarts de Quinze, estava penjant uns cartells pujat a una escala. De cop l'escala va començar a relliscar de manera que la part superior sempre tocava la paret i la inferior, el terra. En Pep, que estava aproximadament a uns 3/4 de l'alçada de l'escala, va rebre un bon impacte al cul (amb la consegüent diversió de l'alumnat que tenia al voltant).

En venjança (i que totes les venjances siguin així) a la primera classe que van tenir, els va proposar el següent problema als seus alumnes:

"Tenint en compte que l'escala ha relliscat mantenint sempre contacte amb la paret i el terra, i que jo estava a una altura superior a la meitat de la longitud de l'escala i no m'he mogut, quina d'aquestes trajectòries ha seguit el meu cul?"

T'ho penses una estona abans de continuar amb el problema?

Fem "sobres" amb quadrilàters

Tot i que el correu postal ha anat molt a la baixa en els darrers anys, el sobre de paper, en diferents formats, continua sent un objecte ben quotidià. Un dels formats clàssics de sobre el podem veure en aquesta imatge.

Si traiem els encavalcaments de paper i alguns arrodoniments com el de la solapa obtenim una figura més simplificada.

El nostre nou "sobre geomètric" s'ha obtingut plegant un quadrilàter seguint aquestes condicions:

• els quatre vèrtexs han coincidit en un mateix punt.
• la forma obtinguda és un rectangle.
• les solapes coincideixen perfectament: no hi ha ni encavalcaments entre elles ni deixen espais sense tapar.

Ara ens podem demanar: quina és la forma del quadrilàter que ens forma aquest sobre en concret? Amb aquest aplicatiu fet amb GeoGebra ho podeu descobrir.

En aquest cas, el quadrilàter que hem plegat per a fer un sobre és un "estel". Amb el quadrat tampoc hi ha problema per plegar-ho per formar un sobre.

En canvi, per molt que ho intentem, no podrem plegar un rectangle per fer un sobre amb les condicions que hem dit. Ho podeu comprovar amb aquest aplicatiu.

De què depèn que puguem tancar un quadrilàter fent un sobre? Investiguem-ho. A continuació teniu uns quants quadrilàters. Us enllacem una versió en GeoGebra i una imprimible per poder practicar. Recomanem imprimir i jugar amb paper.

Versió imprimible
Versió GeoGebra

Seguim investigant?

Això és un joc? O només ho sembla?

Començarem aquest article amb un joc geomètric: "Punts a la circumferència". Les regles són les següents:

• Es comença dibuixant una circumferència i una quantitat n de punts sobre ella.
• Cada jugador, alternativament, dibuixa un segment que uneixi dos d'aquests punts que no siguin contigus. Per fer-ho més clar és millor que utilitzin dos colors diferents.
• Perd el jugador que dibuixa un segment que talli uns dels que ja estan fets, o que es veu obligat a fer-ho.

Comencem, per exemple, amb onze punts sobre la circumferència. Podem veure que, en aquesta partida, ha guanyat el segon jugador.

Aquí tenim un altre exemple de partida, amb 12 punts, en la que guanya el primer perquè el segon no pot dibuixar cap segment sense tallar-ne un altre.

Quan la quantitat de punts és parell, sovint es presenta una estratègia guanyadora per al primer jugador que funciona per simetria. Jo mateix ho he fet més d'una vegada. L'estratègia és la següent:

• qui comença fa un segment unint dos punts oposats i dividint el cercle en dues parts iguals.
• cada vega que li toqui jugar farà un segment simètric, respecte a aquest primer segment, al que ha dibuixat l'altre jugador.

Però, és necessària aquesta estratègia? I si ens ho mirem d'una altra manera? Per exemple, ens podem preguntar quina és la quantitat màxima de segments que podem dibuixar en aquestes condicions i sense que es tallin. Mirem el cas d'un pentàgon: només podem dibuixar dos segments.

I a un hexàgon? El màxim és tres.

Amb 11 punts hem vist que es podien fer 8 i amb 12, nou. Una taula serà més clara.

Punts	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	...
Segments	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...

Hi ha un patró ben clar: el màxim de segments és tres unitats inferior a la quantitat de punts inicials:

segments = punts - 3

No és difícil de justificar: la quantitat de punts als que puc unir un altre, sense comptar-se ell mateix i els dos contingus, és n-3.

14 punts - 3 = 9 segments

Si en hi fixem la quantitat de punts i la de segments tenen paritats diferents, Si la quantitat de punts inicials és senar, la de segments serà parell. En conseqüència, el segon jugador, només mirant de no tallar cap segment, guanyarà segur perquè dibuixarà l'últim possible. Recíprocament, si la quantitat de punts és parell, la de segments serà senar i guanyarà el primer. No cal aplicar estratègies de simetria en cap cas: només mirar de poder dibuixar un segment sense tallar-ne un altre.

És això un joc, doncs? La resposta és que no, perquè el resultat de la partida està determinat per la quantitat inicial de punts. És el que anomenem un pseudojoc. En aquest cas el podríem descriure com un pseudojoc parcial. Per què parcial? Perquè hem de vigilar de no equivocar-nos i fer sempre una jugada que no ens faci perdre; que no tallem un segment perquè ens despistem o perquè no em sabut veure una possibilitat de dibuix de segment. Si actuem correctament, guanyarem o perdrem indefectiblement depenent de la quantitat de punts. Però si ens despistem, podem perdre.

Modifiquem una regla

I si ara permetem que es puguin unir dos punts contigus? Deixarà de ser un pseudojoc? La resposta és que no. Però sí que afecta en una cosa: ara, si no s'equivoca, guanyarà sempre qui comença. Per què? L'única que cosa que fem és augmentar la quantitat màxima de segments en n: els costats del polígon que formarien totes els punts unint un d'ells amb els seu veïns. El total de segments ara serà 2n-3. Sigui quina sigui la paritat de la quantitat de punts, la de segments serà senar, ja que sempre en restarem 3 a una quantitat parell (2n).

17 costats, 31 segments (2·17-3)

Vols conèixer altres pseudojocs?

Grups de Leonardo: girs i simetries

L'antic web del Calaix +ie té un problema amb la interactivitat: els navegadors actuals no suporten flash. O sí, si seguiu el truc explicat en aquest enllaç. Per tant, després de l'input rebut en una recent visita a Burgos, m'agradaria recuperar la idea d'una activitat geomètrica que es plantejava al web. Podeu veure la versió antiga aquí:

• En web: Lletres, logos, rosasses, rajoles...
• En paper

És una activitat molt apta per a primària o els primers cursos d'ESO. Podem fer servir imatges de rosasses, cúpules, tapaboques de cotxes, logotips, etc. Aquí ho explicarem, inicialment, amb imatges de la Silleria del Cor dels Pares de la Cartoixa de Miraflores a Burgos.

La silleria de Miraflores té 40 cadires en fusta de noguera. La decoració geomètrica de cadascuna d'elles és diferent.

Costat dret de 30 cadires (Font de la fotografia)

Cada cadira té un respatller amb tres zones: una mena de rosassa i mitja rosassa diferent a sota, una altra zona amb arcs i una tercera amb un fris.

Ens centrarem només en les rosasses completes superiors. Aquí en teniu quatre exemples:

Podrem observar que n'hi ha algunes que tenen eixos de simetria i d'altres que no. Les que tenen eixos les classifiquem com a dièdrals (D) i afegim un subíndex amb la quantitat d'eixos que té. La de l'exemple en té 8. Per tant, direm que és una rosassa D₈.

Aquesta altra no té cap eix de simetria. És relativament fàcil de veure perquè té alguns elements del disseny amb una certa orientació lateral.

La figura de la dreta és diferent de l'original

Però totes les figures, encara que no tinguin simetries, tenen girs invariants. Què és un gir invariant? Imaginem que mirem una figura, a continuació tanquem els ulls, i, mentre els tenim tancats, algú li aplica un gir amb un angle determinat. Si no notem cap canvi quan els tornem a obrir se li ha aplicat un gir invariant. Hi ha un gir bàsic que sempre es pot fer: el de 360º. Però la rosassa anterior en té quatre, un cada 90º. A aquestes rosasses les classifiquem com a cícliques (C). I també afegim un subíndex indicant la quantitat de girs invariants que podem fer en una volta sencera de la figura. L'anterior seria una D₄. A continuació teniu el dibuix d'una de les cadires amb vuit girs (C₈).

No cal dir que una figura diedral que tingui n eixos de simetria, també tindrà n girs.

Si us animeu podeu intentar classificar, amb l'ajuda de GeoGebra, alguns d'aquests ornaments de les cadires de la Cartoixa.

Enllaç a la construcció

Enllaç a la construcció

Enllaç a la construcció

Enllaç a la construcció

Vols veure altres exemples?

Puc contestar aquestes preguntes?

Haig de confessar que m'agraden els llibres d'Adrián Paenza. Sempre, a més d'incloure alguns aspectes divulgatius atípics, hi trobem problemes sorprenents. També m'agrada la seva política de deixar que les versions electròniques de les seves obres siguin gratuïtes per a ús personal. Les podeu trobar totes en aquest enllaç. A més, hi ha infinitat de vídeos seus a la xarxa. Per exemple la sèrie de 13 capítols Grandes temas de la matemática (2015)

Adriàn Paenza (Buenos Aires, 1949)

En aquest article compartirem tres problemes del seu llibre del 2018 ¡Un matemático ahí, por favor!. Tots tres tenen en comú que semblen impossibles de resoldre per manca d'informació, per tenir una aparent insuficiència de dades. Al llarg de la seva obra en trobem uns quants d'aquest estil. Li deuen agradar tant com a mi. Però sempre es poden resoldre. Tenim tota la informació necessària, encara que no ho sembli. En alguns d'ells, el que els seus protagonistes desconeixen, també és una dada.

Mirem els tres enunciats (traduïts directament i una mica retallats, ja que Paenza sovint és un pèl retòric, sense que afectin la informació bàsica ncessària):

• Problema 1: Tenim a Messi i a Ronaldo [així està al llibre original] al voltant d'una taula. A cadascú li van donar un joc de cinc cartes numerades de l'1 al 5. Els van embenar els ulls i els van demanar que seleccionessin una qualsevol de les cinc que tenien a la mà i les posessin a dalt d'una taula. La persona que estava amb ells va fer la suma dels dos números i se la va comunicar únicament a Messi. Després, va multiplicar els números i li va dir el resultat només a Ronaldo. Després va guardar les dues cartes evitant que els jugadors poguessin veure-les i els va demanar també que li lliuressin les quatre que li quedaven a cadascun per amagar-les en un calaix. A continuació es va produir el següent diàleg:
• Ronaldo: Amb el número que vaig sentir jo, no puc saber quines són les dues cartes.
• Messi: ¡Ah, que curiós! Si vós no podeu deduir-los, llavors jo sí que sé quins van ser els dos números de les cartes que vam triar.
• Ronaldo: Tu ho sabràs, però jo segueixo sense saber quins són.
• Messi: Deixa'm que t'ajudi: el número que em van dir a mi és més gran que el que et van dir a vós.
• Ronaldo: Gràcies. Ara jo també sé quins van ser els números.
Pregunta: quins números van triar? Fixeu-vos-hi que no es demana quina carta va triar cadascú, sinó que només importa saber quins números van aparèixer a dalt de la taula.

• Problema 2: Tres amics —A, B i C— decideixen jugar a ping-pong. Donat que al ping-pong es juga de dos, hi ha un dels tres que sempre es queda fora i mira la partida dels seus amics. El perdedor surt, el guanyador es queda, i qui estava mirant juga la partida següent. En acabar la tarda, decideixen comptar quantes partides va jugar cadascun i obtenen aquest resultat: A va jugar 10 partides; B va jugar 15 i C en va jugar 17. Pregunta (que sembla boja): Qui va perdre la segona partida?

• Problema 3:  A una competència d'atletisme només hi van participar tres dones: l'Alícia (a la qual anomenaré A), la Beatriu (B) i la Carme (C). Elles (i només elles) van intervenir en totes les disciplines, no va participar cap altre atleta. Els punts que s'obtenien a cadascun dels tres llocs era la mateixa quantitat: x per quedar primera, y per quedar segona i z per quedar tercera. Els tres números (x, y, z) són naturals (més grans o iguals que 1), i òbviament, s'acompleix també: x > y > z. Un cop finalitzades totes les competències, aquests són els resultats que es van obtenir: A va obtenir 22 punts en total. B va guanyar els 100 metres llisos i en total va obtenir 9 punts. C també va acabar amb 9 punts. Ara sí, la pregunta: Qui va quedar segona en salt d'alçada?

La invitació és que els intenteu resoldre. El problema 1 és més accessible que el 2 i el 3. Però tots es poden fer encara que no ho sembli. Aquí teniu alguna pista per començar cadascun.

• Pista pel problema 1: I si feu una llista dels resultats que li podien haver dit a cadascun i de quins nombres vindrien?
• Pistes pel problema 2: Dues claus que ens poden ajudar: esbrinar la quantitat de partides jugades i quin és el mínim que pot haver jugat un d'ells.
• Pistes pel problema 3. En total s'han repartit 40 punts (22+9+9). Podrien haver fet 2 esports i que a cadascun es repartissin 20 punts? Podrien haver fet 4 esports i que es repartissin 10 punts a cadascun? Podrien...?

I si no us en sortiu, podeu mirar les solucions si continueu llegint l'article.

Solucions

Tibant la corda

El problema inicial que comentarem no el coneixia i, casualment, l'he trobat, amb plantejaments una mica diferents, en dos llibres llegits fa poc: Very Math Trip, de Manu Houdart i Le cercle des problemes incongrus d'Alex Bellos (Can you solve my problems?, en la seva versió anglesa). És un típic problema amb poc interès aparent, però que amaga les seves sorpreses. Comencem amb el plantejament de Houdart:

Imaginem que lliguem una corda a dos dels banderins de córner d'un camp de fulbol. Els que estan oposats, a camps diferents, dins d'una mateixa banda. És a dir, al costat llarg del camp. El camp té 100 m de llarg i la corda (sense tenir en compte la que cal per a fer els nusos) és un metre més llarga: 101 m.

Volem estirar la corda, verticalment cap a dalt, per obtenir l'altura màxima possible. I, abans de fer-ho, ens demanem quin animal podrà passar per sota sense tocar la corda: un ratolí, un gat, un gos, un humà, un cavall, un elefant, una girafa...?

Enllaç a la construcció

Després d'estudiar el problema el relacionarem amb la variació d'un altre de molt conegut sobre d'una corda un metre més llarga que l'Equador de la Terra.

Seguim?

Intuïció i probabilitat: el joc de "la canyeta més curta"

Que la intuïció i la probabilitat estan renyides és un tema que, recurrentment, s'ha tractat en aquest blog. També podeu veure, sobre aquest tema, el vídeo de la comunicació Què passarà? Intuïció i probabilitat, de la Jornada d'Educació 2021 de l'APMCM. De vegades, la manca d'intuïció està relacionada amb la poca familiaritat o experiència amb les situacions plantejades. Avui aquesta proposta ens convida a pensar sobre una situació ben coneguda, el mètode de tria de "la canyeta més curta". El joc funciona així:

• Tenim un grapat de canyetes (o de cordills, o d'herbes, o pals de gelat...). Tantes com persones intervenen el joc. Les canyetes poden tenir diferents longituds o ser iguals totes, menys una que serà més curta.
• Qui organitza el joc les agafa barrejades amb la mà de forma que, per la part superior, es mostri per a totes una longitud igual. La part inferior acostuma a quedar amagada, però si són, per exemple, cordes desiguals no és estrictament necessari.
• Els jugadors agafen ordenadament una canyeta cadascun.
• Perd (o s'elimina) qui ha triat la més curta.

La qüestió a discutir és: importa l'ordre en triar o és indiferent? Afecta quin torn tens per agafar la canyeta a la probabilitat que agafis la més curta?

Podem imaginar una discussió a l'aula, sigui de primària o secundària, en la que sortiran arguments com aquests:

• És millor ser l'últim perquè així és més probable que una altra persona l'hagi agafat abans.
• És millor ser dels primers perquè tens més canyetes per a triar. Si et vas esperant cada vegada en queden menys i la probabilitat de triar la curta augmenta.
• És millor ser dels del mig per si algú l'agafa abans, però sense esperar que quedin poquetes.

Podeu provar també de treure el tema en ambients no matemàtics per veure què en pensa la gent.

Com sempre, el millor és començar experimentant una mica. A continuació teniu un applet fet amb Snap que us permetrà jugar-hi. Aquí l'hem preparat amb un joc de fitxes que tenen una cara visible de color marró i una amagada: totes són verdes menys una que és vermella i que és la que fa perdre.

Enllaç al programa

Estudiem el joc?