Euler jugant al golf

Piergiorgio Odifreddi, un dels millors divulgadors matemàtics italians, al seu llibre Pillole matematiche inclou una "píndola" titulada Palline, palloni e cupole (una cosa com "Boles, pilotes i cúpules") que pot ser molt interessant de compartir. Un cop presentat l'origen d'aquest article, entrem en tema.

Heu mirat atentament alguna vegada una pilota de golf? Si ho heu fet haureu observat que la seva superfície és rugosa a causa de la presència d'una gran quantitat d'alvèols (com uns petits foradets).

Aquests alvèols ajuden a allargar el vol de la pilota i la distància recorreguda després del cop. Segons la Viquipèdia, la majoria tenen entre 250 i 450 alvèols, però n'hi ha amb més. El rècord està en 1070. Hi ha diferents models de pilotes amb distribucions diferents. Si mirem els de la pilota de la imatge, un dels models més freqüents, veurem una trama hexagonal molt clara. Però si mirem amb més atenció observarem que també hi ha algun pentàgon.

Si comptem la quantitat de pentàgons, independentment de la quantitat total d'alvèols hexagonals, veurem que sempre hi ha exactament 12. No ens hauria de sorprendre tant si observem que la pilota de futbol més clàssica (si més no, des del Mundial del 1974) està feta també d'hexàgons i pentàgons. Molts menys. Exactament 20 hexàgons i, no cal dir-ho, 12 pentàgons.

En aquest cas no és tan estrany perquè sabem que es tracta d'un icosaedre truncat, i l'icosaedre d'origen té, justament, 12 vèrtexs.

Animació feta a partir de la construcció feta
amb GeoGebra per Guillermo Bautista

La molècula del Buckminsterful·lerè (C₆₀) és una forma sintètica del carboni que té una molècula amb la mateixa forma que la pilota de futbol. D'aquí que també se'l conegui com a "futbolè". És un cas particular d'un grup de formes moleculars del carboni anomentas ful·lerens. No tots tenen 60 àtoms de carboni. La forma C₁₂ no té hexàgons, és un dodecaedre. La forma C₇₀ té una forma semblant a una pilota de rugbi amb 58 hexàgons i. una altra vegada, 12 pentàgons. La C₅₄₀ també en té 12.

Font Viquipèdia

Als ful·lerens se'ls hi va posar aquest nom en honor de Buckminster Fuller, un arquitecte conegut per ser uns dels primers creadors de cúpules geodèsiques. Les molècules i les pilotes que hem vist fins ara les podem considerar esferes geodèsiques (en el cas del C₇₀ un el·lipsoide geodèsic). Una cúpula seria una semiesfera o un casquet d'aquestes esferes. I què és una esfera geodèsica? Bàsicament, un poliedre que s'inscriu en una esfera. És a dir, que tots els seus vèrtexs formen part d'aquesta. Les cares d'aquests poliedres són, en la majoria de casos, triangulars. Però no tenen per què ser-ho. En tot cas, a moltes de les cúpules geodèsiques podem veure molt clarament grups de sis triangles formant hexàgons i altres grups, no tan abundants, de cinc triangles formant pentàgons. Ens ajuden a atrobar els polígons els vèrtexs on s'hi troben sis arestes i els que n'uneixen cinc. També ara, si tenim tota l'esfera, trobarem 12 vèrtexs de cinc arestes.

Una mena d'esferes geodèsiques naturals les trobem en molts virus. Les seves càpsides tenen, sovint, formes derivades de l'icosaedre i, com ells, 12 vèrtexs de cinc capsòmers. 

Càpside de la familia Tombusviridae (Font Viquipèdia)

I per què sempre 12 pentàgons o vèrtexs de cinc arestes? La culpa és d'Euler. La resta de l'article la dedicarem a demostrar perquè han de ser forçosament 12, independentment de la quantitat d'hexàgons que hi trobem, i a ampliar una mica la informació sobre la construcció d'esferes, i col·lateralment de cúpules, geodèsiques.

Vols saber-ne més?

Un tauler just pels "Nans saltironants"

A l'article "Quadrats greco-llatins: un joc útil a l'experimentació" (Novembre de 2013) es parlava d'un joc infantil, "Els nans saltironants". En aquest joc, per a 2, 3 o 4 jugadors, hi ha 16 nans de 4 colors diferents, quatre balancins i un tauler amb 16 forats, 4 de cada color. Cada jugador tria un color. Segons la versió del joc, els costats poden estar adjudicats per colors o no. En tot cas, cada jugador posa el seu balancí a un costat i ha de "disparar" els seus nans amb el balancí, fins que aconsegueix posar-los als quatre forats del tauler amb el seu color.

Dues versions del joc

No és difícil imaginar que, perquè el joc sigui just, els forats han de tenir una distribució igualitària. Per exemple. si posem els quatre forats d'un mateix color en una sola fila o columna, segurament seran més fàcils d'encertar a les que estiguin per la zona central del tauler. Les vores del joc hi juguen un paper. La vora més pròxima al costat de llançament demana un vol més ajustat perquè si no el nan pot topar amb ells. Els racons pròxims també són una mica més complicats. Com ha de ser una distribució justa?

A priori podem pensar que fent un quadrat llatí, en què no es repeteixi un mateix color a cap fila i a cap columna n'hi haurà prou. Però hi ha casos que, si més no, són discutibles. Per exemple, en aquest tauler blau té dues caselles en cantonades i groc no en té cap.

Blau té dues caselles en cantonades

Ja podem anotar, a més de ser un quadrat llatí, una segona condició: tenir una cantonada de cada color. Mirem ara amb detall un dels taulers oficials del joc.

Comparem on té cada color el seu "forat de cantonada". Blau i vermell el tenen més allunyat. Groc i verd el tenen al costat més pròxim. És prou igualat? És evident que les condicions no són les mateixes i que segur que el tauler es pot millorar.

Si no hi ha color a cada costat podem col·locar el tauler de forma aleatòria. Però això no fa encara el joc del tot just. Hem mostrat fotografies de dos fabricants diferents, però tots dos tenen la mateixa distribució de colors.

Els podem ajudar a fer un tauler millor, totalment equilibrat? Si el trobem, quants n'hi ha de diferents?

Sis granotes instruïdes

És molt conegut el problema de Les granotes i els gripaus inventat l'any 1982 per Richard Guy. És una activitat que combina joc i investigació i que es pot portar a l'aula des de finals de primària fins a qualsevol curs de l'ESO. Ja fa molts anys que la vam incorporar al web del Calaix +ie. El joc inicial es juga sobre un tauler de set caselles amb tres fitxes d'un color (les granotes) i altres tres d'un altre color (els gripaus) . L'objectiu és intercanviar les fitxes de posició tenint en compte que només poden avançar, cada color en un sentit, desplaçant-se a una casella immediata buida o saltant per sobre d'una fitxa d'un altre color si la casella següent està lliure, com al joc de dames. La investigació posterior es fa per a estudiar els moviments mínims necessaris per a itercanviar m granotes i n gripaus.

Ara proposem una investigació que la recorda, però que té algunes diferències importants. El problema el va presentar Henry Dudeney al seu llibre Amusements in Mathematics el 1917. El text original deia:

"Les sis granotes instruïdes de la il·lustració estan entrenades per invertir el seu ordre, de manera que els seus números es llegeixin 6, 5, 4, 3, 2, 1, amb el quadrat en blanc en la seva posició actual. Poden saltar a la següent casella (si està buida) o saltar per sobre d'una granota fins a la següent casella més enllà (si està buida), de la mateixa manera que ens movem en el joc de dames, i poden anar cap enrere o endavant a gust. Pots mostrar com fan la seva gesta en el menor nombre de moviments possibles? És bastant fàcil, així que quan ho hàgiu fet, afegiu una setena granota a la dreta i torneu-ho a provar. A continuació, afegiu més granotes fins que pugueu donar la solució més curta per a qualsevol nombre. Perquè sempre es pot fer, amb aquella única plaça buida, per moltes granotes que hi hagi."

Per tant, comencem amb les granotes estan en ordre creixent d'esquerra a dreta i amb la casella de l'esquerra buida i hem d'invertir l'ordre inicial deixant de nou la casella esquerra buida. I poden anar cap endavant i cap endarrere.

Aquest joc el podem representar molt bé amb targetes numèriques, nombres retallats o cartes de la baralla.

Podeu intentar resoldre'l també amb aquest aplicatiu. Però atenció, Dudeney diu que és fàcil trobar el mínim de moviments. No és del tot cert. Resoldre el problema no és difícil, però trobar la quantitat mínima de moviments costa una mica més. Especialment si no sabem quina és aquesta quantitat.

Enllaç al programa

A continuació analitzarem el problema i veurem que té aspectes interessants per trobar la forma de calcular la quantitat mínima de moviments i per descriure la resolució també mínima.

Continuem?

Busquem premis a les caixes

Tenia una companya de matemàtiques a l'institut on treballava que, cada vegada que atacàvem problemes de probabilitats deia: "Entrem en terrenys pantanosos". Quanta raó tenia. El problema que comentarem avui me l'ha fet conèixer la Laura Morera i, durant uns dies, l'hem discutit amb la Cecilia Calvo i el Jordi Deulofeu. Ella el va conèixer pel divulgador Alex Bellos. que el va titular "El problema de les caixes que va desconcertar als científics". La versió original del problema és amb 15 caixes, però nosaltres començarem només amb sis i no amb les mateixes regles inicials. Progressivament anirem entrant "en matèria"

Imaginem que tenim sis caixes disposades formant un rectangle de 2x3. A una de les caixes amaguem una fitxa.

Després fem entrar a dos nens: l'Arnau i la Berta que faran un joc per trobar la fitxa. Tots dos aniran obrint les caixes de forma simultània i ordenadament, però l'ordre serà diferent per a cadascun. L'Arnau comptarà horitzontalment, d'esquerra a dreta i la Berta ho farà verticalment, de dalt a baix.

El joc funcionarà així:

• Abans de començar cada partida amagarem una fitxa a l'atzar en alguna de les caixes.
• Nosaltres comptarem en veu alta 1, 2, 3... fins que aparegui la fitxa amagada.
• Quan es digui un nombre tots dos obriran a la vegada la caixa que per a ells està numerada amb l'ordre que segueix cadascú. Es pot donar el cas (al principi i al final) que tots dos coincideixin a la mateixa caixa: aquella caixa serà "dels dos".
• Quan es troba la fitxa el joc s'acaba. Guanya el que l'ha trobat i es guardarà la fitxa.
• Si la troben a la vegada (a la mateixa caixa) no se la queda cap dels dos. La fitxa es retira i és un empat.
• Guanya qui, després de diverses partides, hagi recollit més fitxes, és a dir, hagi guanyat més partides.

Podeu veure un exemple del joc amb aquest aplicatiu.

Enllaç al programa

Si fem jugar un programa automàticament veurem que el joc és equilibrat. Del total de partides, aproximadament un terç seran empats, un altre terç seran victòries de l'Arnau i el terç final de victòries de la Berta.

Enllaç al programa

Aquesta experimentació es correspon amb el càlcul teòric. Només cal mirar qui guanya segons on hagi anat a parar la fitxa amagada: en dues caselles la trobaran a la vegada i hi haurà un empat, en dues la trobarà abans l'Arnau i en dues ho farà la Berta.

Fins ara tot força raonable i previsible. Fem ara, però, un petit canvi aparentment innocent en el joc: en comptes de guardar una sola fitxa, en posarem, també a l'atzar, dues fitxes. Com abans el joc s'aturarà quan es trobi la primera fitxa. Això ho hem de remarcar. No esperem a trobar-ne les dues. Qui troba la primera guanya. Els empats es produeixen quan les troben a la vegada, ja sigui perquè el dos obren la mateixa caixa o perquè n'obren diferents, però totes dues tenen fitxa. Experimentem ara i observem els resultats, comparant-los a una hipotètica equiprobabilitat com la del cas anterior.

Enllaç al programa

Podreu observar que els empats són més probables que les victòries de qualsevol dels jugadors. i que l'Arnau té un lleuger avantatge sobre la Berta. Ja hi som amb les sorpreses de la probabilitat. Intuïtivament, el joc hauria de continuar sent equiprobable, però no ho és. A continuació teniu una imatge amb els resultats després d'un milió de partides.

Estudiem aquest nou joc amb més detall?

Disseccions al quadrat (Quadriquadriculem)

 L'any 2025 és un quadrat perfecte: (20+25)². Què millor, doncs, que el primer article de l'any estigui dedicat als quadrats. En concret, presentarem dos problemes que tenen un fort element en comú, però diferències en els objectius d'investigació. Tots dos tracten sobre la dissecció d'un quadrat en quadrats més petits. El primer és més accessible a l'aula en la seva investigació completa. El segon es pot explorar en els primers casos i augmentar la informació documentant-se sobre la seva història i l'estat actual de la seva resolució.

• 1a investigació: graus de "quadriquadriculació".

Anomenarem grau de quadriquadriculació a la quantitat de quadrats, iguals o diferents, en què podem descompondre un quadrat donat qualsevol. A la imatge teniu dos exemples de graus 9 i 11.

No tots els graus es poden obtenir, però, a partir d'un grau determinat es poden assolir tots. Podeu investigar quins graus no es poden aconseguir? Quin és el "grau límit" a partir dels quals es poden obtenir tots? I algun procediment per trobar tots a partir del "grau límit"?

• 2a investigació: "quadriquadriculacions" mínimes.

Ara es tracta de disseccionar un quadrat d'un costat enter donat en el mínim de quadrats més petits, iguals o diferents, de costats també enters. No s'admeten forats ni superposicions. Exemplificarem el repte amb el plantejament d'un cas particular fet per Sam Loyd al problema "El cobrellit de retalls". La història amb la qual Loyd embolcalla el problema és el d'un grup de dones que aporten diferents peces de tela quadrades i aconsegueixen cosir-les totes, sense retallar-ne cap, formant un quadrat més gran de 13x13.

Ens demana esbrinar la quantitat de dones sabent que és la quantitat mínima de peces quadrades en què es pot descompondre el quadrat gran. Dit d'una altra manera, el problema consistiria a demanar una dissecció mínima d'un quadrat de 13x13 en quadrats més petits de costats enters.

Nosaltres us proposem que procediu ordenadament: quina és la solució mínima per a un quadrat de 2x2? I per a un de 3x3? I per a un de 4x4? I de 5x5?...

Dissecció mínima de 2x2

Mirem amb més atenció els dos problemes?

Contra la paret

Rellegint, una mica per casualitat, el magnífic llibre Problema con pautas y números del Shell Centre for Mathematical Education, m'he retrobat amb una gran sèrie d'activitats que molts vam utilitzar durant anys a l'aula. El llibre és del 1984 i es va publicar en castellà el 1993. Des del web del Shell Centre es pot descarregar gratuïtament la versió anglesa en format pdf. Algunes de les propostes estan basades en jocs d'estratègia. Avui en presentem un que titulen com "Contra la paret", però que sovint s'ha presentat com "Acorralat". Recuperar "contra la paret" és un homenatge a un llibre que ha fet un gran servei.

L'ús dels jocs d'estratègia a l'aula de matemàtiques està plenament justificat per la seva íntima relació amb les estratègies de resolució de problemes. I, entre els jocs, va molt bé disposar d'una col·lecció dels que no són especialment llargs d'analitzar, que es puguin resoldre en, pràcticament, una sola sessió. Aquest n'és un, amb el valor afegit que les estratègies de "particularitzar" i "simplificar el problema" ens seran de gran ajuda.

És un joc per a dos jugadors que, com a material, només necessita un senzill tauler i unes quantes fitxes de dos colors.

Cada jugador, alternativament, pot fer avançar a o retrocedir una de les seves fitxes al llarg de la columna en què està situada. Perd el jugador que no pot moure cap fitxa. Aquesta situació es produeix quan totes les fitxes d'un d'ells queden "acorralades contra la paret".

Final de partida. Guanyen blaves

La quantitat de files pot variar en diferents presentacions del joc. Donat que la "simplificació del rpoblema" és una de les estratègies per analitzar-lo, recomanem que a l'aula ja es presenti directament reduït amb només dues columnes. Encara farem simplificacions sobre aquesta simplificació. Però és un inici abastable.

Tauler per a l'aula

Podeu provar de fer algunes partides. Aquest applet no és automàtic: equival a un tauler i unes fitxes de debò que heu de moure vosaltres.

A la segona part de l'article analitzarem, de forma més ràpida, altres variants del joc.

T'animes a analitzar-los i trobar les estratègies guanyadores?

Josephus, tenim un problema

En articles anteriors hem fet un petit recorregut històric per problemes clàssics de recreació matemàtica. El que comentem ara es proposava, probablement, més com un conte, com una petita narració curiosa que com un problema pròpiament. Per què ho diem així? Perquè només agafant fitxes o cartes i aplicant les regles de l'enunciat arribem a la resposta; no hi ha realment problema a resoldre. Preveure la solució, abans d'executar les normes, és la majoria de vegades un problema d'alta complexitat. De fet, els autors que comentarem no es van preocupar mai de les solucions generals. Només donaven la resposta i, de vegades, regles mnemotècniques per a recordar-les. I ja avisem que els contextos de les històries explicades en els problemes eren molt més que "políticament incorrectes". Actualment són autèntiques aberracions.

Presentem el problema amb la versió de Luca Pacioli al Codice Vaticano Latino 2139 de l'any 1478:

"Hi ha un vaixell en el qual viatjaven alguns mercaders: d'aquests 30 eren jueus i 2 eren cristians. Mentre navegaven, va sorgir una tempesta, així que per assegurar-se que no morís tothom, va ser necessari alleugerir el vaixell d'alguns passatgers. Encara que hi havia jueus, ells també temien Déu i no volien ser violents amb ningú llançant-los a la força al mar; els pobres comerciants cristians, per la seva banda, veient-se en minoria, temien ser desbordats, però, com s'ha dit, això no va passar. En canvi, un dels jueus va parlar i va dir a la companyia que seria millor que només morissin alguns en comptes de tots, i que haurien de sortejar per decidir qui llançar primer al mar. Així, mentre pensaven com sortejar, un dels comerciants cristians, bon raonador, s'apropà i digué, com apuntant al bé comú: «Posem-nos en cercle i, partint d'un de nosaltres, comptem repetidament fins a 9. Els que obtinguin el 9 seran llençats a l'aigua". Tothom va estar d'acord. De seguida els dos cristians, essent de la mateixa fe, es van posar junts: el que havia parlat va començar a comptar, i va comptar de tal manera que el número 9 queia sempre als jueus i mai a ells dos; així que els 30 jueus van se  tirats tots a l'aigua i només els dos cristians van quedar a la nau. On van començar a comptar i com van procedir perquè el 9 no fos mai el seu torn?"

Si ho proveu veureu que els cristians s'han de col·locar en el 6è i 7è lloc. Ho podem veure en aquesta animació feta amb GeoGebra.

GeoGebra de Carlos Fleitas: https://www.geogebra.org/m/A5MvDFuC

 Mirem les característiques generals del problema en els seus diferents plantejaments:

• Hi ha un grup de n elements (persones, animals, objectes...) dividits en dos subgrups dels quals s'ha d'eliminar un d'aquests subgrups. El subgrup supervivent acostuma a ser d'un element, dos o de la meitat del total.
• Es fa una rotllana i es van eliminant els elements comptant de k en k sempre en un mateix sentit.
• Es demana on s'han de col·locar prèviament els elements que vulguem que sobrevisquin al recompte.

A l'aplicació en GeoGebra que us hem enllaçat. Podeu experimentar amb diferents valors d'n i k.

Com ja hem comentat, en general saber amb antelació on s'han de posar els supervivents és molt i molt complicat. Cap al final de l'article us enllaçarem un estudi general del problema. Però el cas en què n és igual a dos sí que és  investigable a l'ESO.

A l'article analitzarem aquest cas, comentarem breument el cas general, farem una passejada històrica, tot descobrint l'origen del problema i del seu nom, i us proposarem una mica de màgia basada en el problema.

Continuem?

Passejant amb la barca... i en el temps

Hi ha problemes de recreació matemàtica que són molt més antics del que ens pensem. Un d'ells és el clàssic problema del pastor, la col, la cabra i el llop. Aquest problema apareix escrit, per primera vegada, al llibre del segle IX d'Alcuí de York Propositiones ad acuendos iuvenes (Problemes per afinar l’enginy dels joves). És el 18è problema del text i el seu enunciat original era aquest:

“Un home havia de portar a l'altra banda del riu un llop, una cabra i una col, però no va trobar cap altre vaixell que un que només podia portar-ne dos d'ells. I va ser dit, que totes aquestes coses arribaren a l'altra banda il·leses. Digui, qui pugui, com els van poder traslladar il·lesos a l'altre costat”

Es coneixen versions d'aquest problema a Europa, Àsia i Àfrica. Molt probablement, Alcuí el va recollir de la tradició oral. Si no l'heu resolt mai ho podeu fer interactivament en aquest enllaç.

Avui parlarem del problema anterior, el 17, i que té també un desenvolupament històric interessant. Diu així:

“Hi havia tres homes, cadascun amb una germana soltera, que havien de creuar un riu. Cada home desitjava la germana del seu amic. Arribant al riu, només van trobar una petita barca en què podien creuar dues persones cada vegada. Digui, qui pugui: Com van creuar el riu, de manera que cap de les germanes fos maculada pels homes?”

Dit més planer: les germanes podien estar soles amb les altres germanes, però si hi havia homes presents, un d'ells havia de ser el seu germà. En general, pel context narratiu de versions posteriors, se'l coneix com el problema dels "marits gelosos". El problema apareix a llibres ben clàssics: als Annales Stadenses d'Alberto di Stade (sobre el 1250), al De viribus quantitatis (Del poder dels nombres) de Luca Pacioli i al Libro dicto giuochi matematici de Pietro di Nicolao da Filicaia (tots dos manuscrits fets sobre el 1500),  i que ja comencen a parlar de la generalització del problema. També el trobem al General tratatto (1556) de Niccoló Tartaglia, que dona una solució errònia pel cas de quatre parelles, o als Problèmes plaisants et délectables qui se font par des nombres (1612) de Claude-Gaspar Bachet, que també aborda el cas general. La solució general completa la trobem al primer volum de les Récréations mathématiques (1891) d'Édouard Lucas.

En primer lloc, us animem a agafar unes cartes de la baralla i solucionar el problema.

Voleu saber més sobre la història, la generalització i altres variants d'aquest problema?

Ampolles, soldats, monges... Un mateix problema. Diferents versions

Al llibre "Problemas y Experimentos Recreativos" Iàkov Perelman (1882-1942) plantejava un problema sota el títol Els ardits de la guàrdia. A la presentació ja anunciava: "Aquest problema té moltes variants. En donem una". I, a continuació, explicava la següent història:

"La tenda de campanya del cap la custodiava una guàrdia allotjada a vuit tendes. Al principi a cadascuna d'aquestes tendes hi havia tres soldats. Després es va permetre que els soldats d'unes tendes poguessin anar a visitar als altres. I el cap de la guàrdia no imposava sancions quan en entrar a les tendes trobava en unes, més de tres soldats i en altres, menys. Es limitava a comprovar el nombre de soldats que hi havia a cada fila de tendes: si a les tres tendes de cada fila hi havia en total nou soldats, el cap de la guàrdia considerava que tots els soldats eren presents.

Els soldats se'n van adonar i van trobar la manera de burlar-se del cap. Una nit van marxar quatre soldats de la guàrdia i la seva absència no va ser notada. La nit següent se'n van anar sis, que tampoc van patir càstig. Més tard els soldats de la guàrdia fins i tot van començar a convidar els altres a visitar-los: en una ocasió en van convidar quatre, en una altra, vuit, i una tercera vegada, tota una dotzena. I totes aquestes astúcies van passar desapercebudes, ja que a les tres tendes de cada fila el cap de la guàrdia comptava en total nou soldats. Com se les componien els soldats per fer això?"

Resumint el problema: tenim un quadrat de 3x3 en què la casella central interior no compta.  Podem posar a cada casella tants soldats com vulguem mentre es puguin comptabilitzar nous soldats per banda. Inicialment hi ha 24 soldats: Com hem de distribuir els soldats perquè el cap de la guàrdia no s'adoni de res en dies què n'hi ha 20, 18, 28, 32 i 36 soldats?

La proposta per a investigar va una mica més enllà: quines són les quantitats mínima i màxima de soldats que podem tenir? Entre aquestes quantitats, es poden obtenir totes les altres? I si en comptes de 9 soldats per banda, són n? Quines seran les quantitats límit? Podem descriure algun patró o mètode per obtenir totes les solucions possibles?

A banda de la investigació us presentarem, a continuació, algunes variacions del problema: versions més antigues històricament o plantejades amb dos pisos.

Continuem?

Una caiguda problemàtica

Un bon dia en Pep, professor de matemàtiques de l'Institut Tres Quarts de Quinze, estava penjant uns cartells pujat a una escala. De cop l'escala va començar a relliscar de manera que la part superior sempre tocava la paret i la inferior, el terra. En Pep, que estava aproximadament a uns 3/4 de l'alçada de l'escala, va rebre un bon impacte al cul (amb la consegüent diversió de l'alumnat que tenia al voltant).

En venjança (i que totes les venjances siguin així) a la primera classe que van tenir, els va proposar el següent problema als seus alumnes:

"Tenint en compte que l'escala ha relliscat mantenint sempre contacte amb la paret i el terra, i que jo estava a una altura superior a la meitat de la longitud de l'escala i no m'he mogut, quina d'aquestes trajectòries ha seguit el meu cul?"

T'ho penses una estona abans de continuar amb el problema?