Mel, mosques i aranyes

Imaginem la següent situació. Tenim una aranya que vol agafar una mosca que està enganxada en una petita taca de mel. L'aranya està en un punt A i la mosca està en un punt B. Quin és el camí més curt per arribar-hi?

Dependrà d'on estiguin el punt A i el punt B. En el pla serà la línia recta. Però... i si estan als vèrtexs oposats d'un cub?

La que explicarem ara és una proposta que es pot aplicar a classe. La idea original la vam utilitzar, fa uns anys, el grup Ull viu! en el disseny de la primera part d'una activitat sobre plànols per un taller (C. Vallès, D. Barba, L. Figueiras , N. López, I.Ubía i J. Jareño).

Quan resolem problemes acostuma a passar que ens posem autolimitacions. Una de molt típica, en aquest, és forçar-se a passar per les arestes, com es pot veure en aquesta animació.

Un cop superada aquesta autolimitació pot passar que ens imposen que només es poden creuar les cares en diagonal. Atenció! Inicialment no tothom creu que els dos camins de l'animació tenen la mateixa llargada. 

Si abandonem aquestes autolimitacions i travessem lliurament les cares ens anirem acostant  a la solució òptima.

De fet el camí més curt, en un cub, passa pel centre de l'aresta que separa les cares davantera i superior. Es pot comprovar que ho és perquè si aixequem la cara superior obtenim un rectangle del qual els punts A i B són els extrems d'una diagonal, i la recta, recordem, és el camí més curt entre dos punts del mateix pla.

I en un ortoedre?

Evidentment el problema es pot complicar canviant la localització dels punts on són l'aranya i la mosca o la forma del cos.

Al l Bloc de l'IES Elaios de Zaragoza trobem el problema treballat amb alumnat de 2n d'ESO amb els punts claus als vèrtexs. L'ortoedre és de 3x4x5. És interessant "saltar" al bloc i observar algunes de les solucions i comentaris que s'inclouen i comenten al bloc.

Una de les solucions proposades al bloc

El problema també es pot plantejar sobre un cilindre.

L'aranya i la mosca fa temps que donen guerra

Un plantejament clàssic d'aquest problema, proposat per Henry Dudeney al 1903, situa la mosca i l'aranya en un habitació ortoèdrica de 30x12x12 peus. L'aranya i la mosca estan a les cares oposades de 12x12 i a 6 peus de les parets laterals. La mosca està a una unitat del sostre i l'aranya a una unitat del terra. 

Sorprenentment el camí més curt passa per quatre cares fent un camí "en diagonal". Aquest camí té només 40 peus en comptes dels 42 que es farien "enfilant" perpendicularment.

En aquesta animació, que té diferents passos, podeu veure com per trobar el camí més curt hem d'encertar el desenvolupament pla que ens dóna la solució correcta.

Podeu veure l'entrada que li tenen dedicada (amb una petita animació que permet noure en 3D l'habitació per observar millor el camí) a la web Wolfram MathWorld. També amb Geogebra trobem propostes. A la web Geometria Dinàmica han fet un applet amb una simulació 3D que, a més, desplega l'ortoedre.

I, per acabar la navegació per aquest problema, la construcció feta amb Geogebra per Ignacio Larrosa permet canviar la localització de la mosca i l'aranya i compara els 22 camins possibles a partir del desenvolupament pla del prisma rectangular.