El contable hindú + El problema de les particions

L'escriptor estatunidenc David Leavitt va escriure al 2007 aquesta novel·la on recrea, entre altres temes, la relació entre els matemàtics Godfred Harold Hardy i Srinivasa Ramanujan, el comptable hindú del títol. No ha estat fins el 2011 que hem disposat d'una traducció al castellà. A l'hora de la veritat el títol és lleugerament enganyós ja que no és Ramanujan l'autèntic protagonista del llibre, la personalitat del qual queda força desdibuixada, sinó que qui focalitzen la narració són Hardy, l'ambient del Trinity College de Cambridge i, en certa manera, la Gran Guerra. Però aquest "petit engany" no treu interès a la novel·la. Si el personatge de Ramanujan queda difús és perquè, fonamentalment, el veiem des de la perspectiva de Hardy, que, amb un caràcter força egocentrista, no està especialment dotat per relacionar-se o comprendre als altres.

És bastant coneguda la història d'aquests dos matemàtics però recordem-la breument. Hardy era un matemàtic amb un cert renom que treballava sovint en col·laboració amb John E. Littlewood. L'any 1913 va rebre una carta d'una dotzena de pàgines plena de fórmules inusuals signada per un desconegut matemàtic, comptable del Port Trust Office de Madràs i que es declarava autodidacta. Hardy i Littlewood van saber valorar el treball que se'ls hi presentava i van fer gestions perquè Ramanujan anés a Anglaterra, cosa que van aconseguir. Ramanujan va fer una estada d'uns cinc anys a la Gran Bretanya, just coincidint amb el període de la Primera Guerra Mundial. Va emmalaltir i moria poc després de retornar a l'Índia.

Hardy i Ramanujan

Tenint en compte que parlem de novel·la i no d'història o biografia, la recreació que es fa de l'època i dels seus personatges, dels seus dilemes, de les seves contradiccions és interessant.

I les matemàtiques tenen una presència, no només inevitable, sinó intencionadament clara. I un dels problemes que del que es parla de forma més reiterada és el de les particions, un problema encara no resolt de forma completa i que té un plantejament que es pot explorar perfectíssimament des de l'educació primària.

Vols conèixer el problema a de les particions?

Mesurant les il·lusions

Segur que coneixes un bon grapat d'il·lusions òptiques i hauràs vist que algunes enganyen més que altres. Només cal escriure “il·lusions òptiques” en un cercador. Hi ha de molts tipus i algunes, fins i tot, són molt conegudes.

Però... hi ha il·lusions millor que altres? Es por mesurar l'engany?

Hi ha molts exemples d'il·lusions que ens permeten realitzar algun tipus de mesura sobre si “enganyen” més o menys que altres. Ens serà especialment fàcil en les que provoquen trampes de longitud.

Observa aquesta il·lusió.

Per a la majoria de la gent, la figura inferior és major. Però, en tenim prou amb comptabilitzar quantes persones “piquen”? No podem millorar la nostra mesura de l’engany?

Vols practicar amb unes il·lusions?

Ara pots experimentar, amb alguns applets fets amb flash, el grau d'ajustament de les teves mesures a ull. Després de seguir les instruccions realitza la mesura, a cada cas, i comprova el teu grau d'encert.

Il·lusió 1

Estirant de la fletxa col·loca la recta B on creguis que és la continuació de l'A.

Enllaç a l'applet (flash)
Versió MatGi (GeoGebra)

Divisió 6: la divisió a Mesopotàmia

La divisió que es practicava a l'antiga Mesopotàmia és ben diferent a la dels algorismes que s'han utilitzat després i que hem anat presentant en aquest bloc. Dues característiques la separen dels altres mètodes. Una d'elles, de caràcter menor, està lligada a l'ús de la base 60 que utilitzaven en aquells temps i aquelles terres. L'altra és que el mètode consistia a multiplicar un nombre pel seu invers. Per poder fer les divisions els "calculistes" disposaven de taules d'inversos. Però unes taules particulars, amb gairebé tots els nombres inversos del 2 al 20, de 30, 40 i 50. Quins nombres faltaven del 2 al 20? Els nombres que qualificaven d'irregulars: 7, 11, 13, 14, 17 i 19. Per què no hi eren aquests nombres? Com feien les divisions?

Càlculi mesopotàmics per representar nombres

Si vols saber-ho... continua llegint!

Els itineraris Dufour

A la seva novel·la “El segle de la llum”, Pep Coll ens descriu l’època en què es van construir les primeres preses al Pallars amb l'objectiu de produir electricitat.  El jove protagonista, en  Manel, un noi que fa de cambrer pels enginyers anglesos encarregats de l'obra, ha de buscar el Cau de gel perquè aquests puguin afrontar les calors estiuenques amb un bon  "whisky on the rocks". L’únic que sap arribar-hi és el pastor Duardo i a ell s’adreça en Manel. La sorpresa és que en Duardo guarda tots els itineraris dibuixats en bastons d'avellaner.

"Aquí tens el meu escabot de guies! -va exclamar, mentre amb el llum d'oli il·luminava un feix de bastons d'avellaner, recolzats a la paret en un racó de la cambra-. Veiam si trobem el que tu necessites. Aguanta'm el llumener.
(../..)
Ja el tenim, veus? -va exclamar per fi, mostrant-me un altre bastó-. Aquí ho diu ben clar: Cau del Gel.
Era un gaiato d'uns deu pams de llargària, bigarrat de signes estranys..."

Una possibilitat per indicar el camí en un pal recte és dibuixar un camí Dufour, un tipus de plànol que serveis per indicar itineraris en forma de línia recta.

Vols conèixer com és un itinerari Dufour?

Divisió 5: control del resultat

En entrades anteriors hem vist diferents algorismes històrics de la divisió. En èpoques sense calculadores electròniques trobarem que la majoria de textos aritmètics antics ens proporcionen tècniques de control del resultat per garantir la seva validesa. En la majoria de casos intenten ser mètodes més breus que repetir la pròpia operació. Vegem un exemple en aquesta imatge de la Summa de l'art d'aritmètica de Francesc Santcliment (el primer tractat aritmètic que es va imprimir a la península ibèrica i segon del món, a l'any 1482). Si observem les parts encerclades observarem una creu on s'aplica un d'aquests mètodes: la prova del 9.

També al Tratatto di numeri et mesuri de Tartaglia, llibre de l'any 1556, observem la mateixa prova.

Vols conèixer quines propostes ens fan els llibres antics de càlcul?

Divisió 4: la divisió "per galera"

El matemàtic italià Nicolo Fontana, conegut com a Tartaglia, va publicar a mitjans del segle XVI el llibre Tratatto di numeri et misure en el que explicava, entre altres coses, mètodes de càlcul. A l'apartat dedicat a la divisió escrivia:

"El segon mètode de dividir s'anomena a Venècia per "vaixell" o per "galera" per certa similitud de les figures que de tal operació resulten, perquè de la divisió d'algunes classes de nombres neix figura similar a un vaixell (../..) amb la proa, la popa, el pal, la vela, els rems..."

Una divisió per "galera" té un aspecte com el de la imatge.

Divisió que apareix a la pàgina 84 del llibre (912345:1987) 

En alguns llibres antics s'evidenciava aquesta semblança afegint alguns "guarniments" a la figura.

El mateix Tartaglia no va poder evitar fer una demostració de la potència de l'algoritme fent una macrodivisió que, a més, encara mostrava de forma més clara el "vaixell".

Divisió que apareix a la pàgina 85 del llibre

(8888880000000888800000000888888 : 9999900000000999000000000999) 

Nota: al resultat li falta un altre 8

Aquesta divisió és "mare" evident de la que realitzem nosaltres ara.

Vols veure com es divideix "per galera"?

Quants estan dormint a l'hostal?

Si us va agradar el problema dels pingüins al voltant del forat i el dels passatgers que perdien el tren aquí en teniu un altre de l'estil. En aquest joc també es tracta de buscar la regla amagada, la llei. Per jugar calen cinc daus. Vegem una jugada.

• El "director" del joc tira els cinc daus i, per exemple, treu aquest resultat.

• Un dels membres del grup demana: "Quants estan ara dormint?"

• Llavors el "director" mira el resultat dels daus i, aplicant la regla secreta, contesta: "Ara dormen 10"

Vols intentar endevinar la regla?

Divisió 3: la divisió àrab

Així com podem entendre la multiplicació com una suma repetida, es pot considerar la divisió com una resta repetida. Al Traité d'Arithmetique de J.A. Serret (1887) podem llegir:

"La divisió es pot fer amb l'ajut de la sostracció. Es vol, per exemple, dividir 14 per 4, es restarà 4 de 14, el que donarà residu 10; s'ha de restar de la mateixa manera 4 de 10, el que donarà el residu 6; es restarà encara 4 de 6, el que donarà el residu 2, inferior a 4. Es veu que del dividend 14, es pot restar successivament tres vegades el divisor 4, i que s'obté llavors un darrer residu 2, inferior a 4, per tant, 3 és el quocient de la divisió de 14 per 4.

Aquest procediment, que condueix fàcilment al resultat en l'exemple que hem triat, seria sovint impracticable si es volgués aplicar directament d'aquesta forma. Caldrà, doncs, modificar-lo"

El que fa "impracticable" el mètode és la seva lentitud amb nombres més grans, per exemple dividir 8765 entre 6 restant els sisos d'un en un. La "modificació" consistirà, doncs, a accelerar el procés combinant multiplicacions i restes. És el que fa el nostre algorisme actual, hereu del que presentem en aquesta entrada al bloc: l'algorisme àrab.

T'animes a conèixer aquest algorisme?

Divisió 2: la divisió per "replecs"

Aquest algorisme no acostuma a aparèixer als llibres d'aritmètica antics. El trobem, però, al Tratatto di numeri et mesuri de Nicolo Fontana, més conegut com a Tartaglia, llibre que es va publicar l'any 1556. Tartaglia el descriu com un mètode "gentile e bello".

És un sistema que té avantatges clars però també limitacions evidents. La idea és la següent:

• les divisions per una xifra són més fàcils que les de dues, tres... fins i tot es poden fer "de cap"
• moltes divisions de més d'una xifra es poden descompondre en dues o més divisions d'una.

A l'aula podem fer l'experiència de preguntar: que t'estimes més? Una divisió per dues xifres o dues divisions per una xifra?

Mirem un exemple.

A cadascuna de les divisions li diem replec. El cas anterior és fàcil perquè la divisió és exacta. Però mirem un segon cas.

El quocient és 281. Però quin és el residu? Dos? Tres? O cap dels dos?

Vols mirar com esbrinar el residu dividint per replecs?

Divisió 1: la divisió egípcia

Iniciarem un petita sèrie d'entrades dedicada a conèixer diferents algorismes històrics de la divisió. I el millor és començar per un dels  més antics i clars que existeixen: l'egipci.

La numeració egípcia és purament additiva. Té un símbol per les unitats, un altre per les desenes, un altre per  les centenes... i així per a cada potència de 10. I s'escriuen tants símbols com calen per representar el grau d'unitat corresponent. El 348 tindrà tres símbols de centena, quatre de desena i vuit d'unitat. Podeu practicar aquesta numeració en aquest enllaç (i si voleu saber més sobre numeracions antigues navegueu pel web Càlculus).

Operar amb aquests nombres no es fa especialment difícil. En concret la multiplicació egípcia es basava en un interessant sistema de duplicacions successives i, aquest mateix sistema s'emprava per realitzar les divisions. No cal memoritzar les taules de multiplicar, potser l'única la del 2. El que hem de saber és duplicar i sumar.

Voleu conèixer la divisió egípcia?