Un babiloni penjat d'un trapezi (1)

Els documents matemàtics més antics els hem trobat a Mesopotàmia. La majoria ens parlen de problemes pràctics: qüestions relatives a estocs, contractes, repartiments... Estan escrits en tauletes de fang gravades amb un punxó. S'escrivia quan el fang era tou i després es deixaven assecar. Potser per això han estat tan resistents al pas del temps. Però no totes les tauletes eren "pràctiques". Altres servien, probablement, per ensenyar matemàtiques i plantegen problemes de diferents estils. Entre ells, molts de caràcter geomètric. Gràcies a aquestes tauletes "sabem el que sabien" a Mesopotàmia, l'alt nivell de coneixements de què disposaven.

Una d'aquestes tauletes (la IM 58045), és força coneguda perquè es diu que conté "el diagrama matemàtic més antic del món", i ens proposa un  interessant i sorprenent problema. L'he conegut gràcies al llibre de Manuel García Piqueras Una historia de la proporción.

Tauleta IM 58045

La imatge ens mostra un trapezi isòsceles amb un segment paral·lel a les bases. També es veuen uns números en escriptura cuneïforme.

Podem mirar un esquema que representi més clarament en la tauleta.

Les unitats de mesura emprades són la "canya" i el "colze". Una "canya" són sis " colzes. Si traduïm totes les unitats a "colzes" i col·loquem el trapezi al revés l'esquema final és aquest.

El problema demana quina és la longitud del segment paral·lel a les bases i que divideix el trapezi en dues parts amb la mateixa àrea. De fet, el problema és més interessant si prescindim de les mesures concretes i treballem a unes bases a i b, perquè descobrirem un parell de sorpreses en el resultat.

Us convidem a resoldre'l i després podeu continuar llegint. Us prometem que el problema és més interessant del que sembla.

Seguim?

Divisió 7: la divisió per diferència

Parlem avui d'un nou (vell) algoritme de la divisió. L'hem recuperat del web Animando la web 2.0 d'Ana de la Fuente (@Anuska72) i cal reconèixer ja d'entrada que, tot afegint alguna petita cosa, transcriurem directament el text del seu article. Sobre tot perquè la justificació que en fa de l'algoritme és clara i magnífica.

En aquest gràfic es veu com es realitza la divisió de 4019 entre 87 (Quocient 46; residu 17)

En el gràfic es reconeix l'àbac de Gerbert d'Orlhac (938-1003). Gerbert, que va ser Papa amb el nom de Silvestre II, va romandre tres anys al monestir de Ripoll. Es pensa que va viatjar per Andalusia i que allà va conèixer els nombres indoaràbics. Va inventar un àbac amb fitxes que utilitzaven aquestes xifres (menys la del zero). No va ser un àbac molt utilitzat, però no deixa de tenir el seu interès. Podeu saber-ne més sobre Gerbert i el seu àbac llegint l'article de Montserrat Bover va publicar al n. 22 de la revista Biaix.

Aquest algoritme, que es coneix amb el nom de divisió per diferència, és molt pràctic amb nombres no massa llunyans de les potències de 10 (propers a 10, a 100, a 1000...). Destaquem alguns dels seus avantatges:

• no cal buscar "per quin número hi cap". Treballem directament a partir de les primeres xifres del dividend i dels resultats parcials.
• en conseqüència, no cal fer proves (hi cap?, no hi cap?)
• no restem; només es fa multiplicacions i sumes
• les multiplicacions es fan amb nombres "més fàcils". A l'exemple de l'esquema es veu que en comptes de treballar amb el 87 del divisor els càlculs els fem amb el 13, clarament més petit.

A continuació us posem un vídeo elaborat per Ana de la Fuente, on veiem dos exemples de divisió. El primer correspon amb la divisió de la imatge inicial.

Vols saber per què funciona aquest algoritme?

El "joc militar" o els "Gossos i la llebre"

L'anàlisi de jocs d'estratègia ofereix un magnífic marc de treball d'investigació matemàtica. Malgrat la feina de difusió de diferents reconeguts autors de didàctica de les matemàtiques (com Jordi Deulofeu, Fernando Corbalán, Mari Luz Callejo, Miguel de Guzman...) o que al concurs del Fem Matemàtiques sovint se'n proposa un a la primera fase, continuen tenint una entrada dificultosa a les aules. Mestres i professorat ens resistim a obrir-los la porta. Potser perquè estem poc acostumats a realitzar aquest tipus d'investigacions. Però nosaltres, des d'aquí us en continuarem proposant perquè estem convençuts de la seva riquesa didàctica i, de pas, oferint exemples d'estudi de les estratègies.

El "joc militar" que us presentem l'estudia Édouard Lucas al tercer volum de les seves Recreacions matemàtiques (p. 108). A Anglaterra es coneix com el "joc de la llebre i els gossos"(Hare and hounds). Amb aquest nom no és difícil trobar versions per a jugar en línia. Per exemple, en aquest enllaç.

Pàgina del llibre de Lucas

Malgrat que les regles són senzilles és estratègicament prou ric. Les primeres pràctiques ens fan pensar que un dels jugadors té avantatge sobre l'altre, però un estudi atent ens farà descobrir que el jugador "aparentment feble" disposa d'una estratègia guanyadora (un camí perfectament definit. amb una resposta per a cada jugada, que condueix a guanyar la partida).

Les regles del joc

• El tauler i la situació de sortida és la que es veu a l'esquema.

• El primer moviment el realitza la fitxa verda.
• A cada moviment el desplaçament és d'una casella a una altra connectada per un segment (una cruïlla de línies). Les vermelles no poden retrocedir (els moviments són cap endavant o laterals). La verda es pot moure en totes direccions.

• Les fitxes vermelles guanyen si bloquegen la fitxa verda i aquesta no pot moure. La verda guanya si "traspassa" la línia de les vermelles i aquestes ja no la poden acorralar.
• Si es repeteixen els mateixos moviments més de tres vegades es poden considerar taules. Així i tot, és més interessant evitar les taules donant avantatge a la fitxa verda. Per exemple fent que la fitxa verda guanyi si es repeteixen els moviments o si no se l'ha bloquejat en un màxim de 25 jugades.

Juguem i analitzem el joc?

El rius, el nombre π i distàncies al planeta

Al llibre L'enigma de Fermat de Simon Singh es parla d'un estudi del geòleg Hans-Henrik Stølum que relaciona el número π amb la longitud dels rius. Concretament, es proposa que si dividim la longitud total d'un riu entre la distància en línia recta des del naixement fins a la desembocadura observarem que, en molts casos, és un nombre lleugerament superior a 3. I que si estudiem molts rius la mitjana s'anirà acostant a π. Al mateix text de Singh es comenta que les proporcions més properes a π les trobem a rius amb molts meandres com els que passen per les planures de Sibèria o Brasil.

Meandres del riu Nowitna a Alaska (Viquipèdia)

Què hi ha de cert en aquesta teoria? Què hi ha de fals? En principi és d'un d'aquells casos que ens fa pensar en la frase: se non è vero è ben trobato. Pensant en les corbes alternades dels meandres d'un riu no sembla inversemblant que el nombre π hi jugui algun paper. Per altra banda, els rius són llargs, i els meandres només acostumen a aparèixer a la part baixa del riu.

Imatge de Division by zero

Res millor que aplicar l'estadística per comprovar-ho. Durant un temps va existir un web que es deia Pi me a river (un joc de paraules amb la cançó Cry me a river) on es dedicaven a recollir aquesta estadística. Un mes més tard de la publicació d'aquest article la pàgina va fer alguns canvis que van alterar totes les estadístiques. I una mica més tard, potser en veure que res concordava amb la hipòtesi de sortida, es va tancar definitivament.

Vols saber-ne més?

Llumins topològics

Sovint a classe proposem exploracions que es basen en cerques exhaustives: buscar tots els quadrilàters que es poden fer en un geoplà de 4x4, totes les formes de connectar 5 quadrats que es toquin com a mínim per un costat (pentòminos), tots els tretracubs possibles, etc. En aquestes cerques és normal discutir si figures o formes girades o simètriques són iguals o diferents. En tot cas, aquestes comparacions de "formes" es fan sense "deformar". L'exploració a què us convidem demana aquest petit esforç suplementari: abstreure els trets fonamentals de la forma, imaginar-se-la amb possibles deformacions. És una exploració "topològica".

Quan s'intenta explicar què és la topologia són dues les "definicions" que més proliferen. Una d'elles diu que és una geometria en la qual la mesura no importa. Una altra és que es tracta de la geometria de "la goma elàstica" en la que observem les invariàncies amb un determinat tipus de deformacions: les que estires, comprimeixes, abonyegues, aplanes... però no trenques, no forades, no fas ruptures. Si a qualsevol persona li mostres un dònut, un croissant, un plat i una tassa i li demanes que emparelli farà el que veiem a l'esquema.

En canvi un matemàtic farà aquest altre emparellament:

L'argument serà que cada parella és topològicament equivalent. Dònut i tassa tenen un forat, i plat i croissant cap. Podem convertir sense trencaments un croissant d'argila o plastilina en un plat. I podrem convertir també sense ruptures un dònut (un tor) en una tassa.

Imatge de Lucas Vieira (Viquimèdia)

Quina és l'exploració que proposem? Començarem amb un exemple.

Si tenim un sol llumí no podem cercar gaires formes diferents: una línia (el llumí és el segment vermell i la línia topològicament equivalent la blava).

Amb dos llumins no anem molt més lluny. De fet, no "ens movem". Només podem obtenir una línia (recordem que la mida no importa, el que importa és la forma obtinguda).

Amb tres llumins ja tenim més possibilitats. Obtenim tres formes diferents: una línia, una "estrella" de tres braços i un triangle (una línia tancada sense "apèndixs").

L'exploració tracta de buscar totes les formes topològicament diferents amb 4, 5 i 6 llumins.

Però abans d'abordar el problema et convidem a continuar llegint per fer algunes precisions.

Continuem?

Matemàtica en ajuda de la genètica: l'algoritme de Needleman-Wunsch

L'activitat que presentem no té gaire sentit, per sí mateixa, per realitzar-la a una classe de matemàtiques, però l'adquireix de cop si la fem en paral·lel a les classes de naturals quan s'estiguin treballant qüestions de genètica. Fins i tot, encara serà més rica si es pot treballar també conjuntament amb les classes de tecnologia si acabem elaborant un full de càlcul més "sofisticat" dels que normalment proposem. És un exemple de com la matemàtica ajuda a resoldre un problema plantejat des del camp de la biologia i de com després els informàtics podem implementar un programa a partir de la resposta matemàtica. De fet, l'algoritme de Needleman-Wunsch que estudiarem, i del qual podeu trobar molta informació a internet, és un dels més coneguts en el "territori" del que es coneix com a bioinformàtica.

El problema en qüestió es refereix a cercar el millor alineament de dues seqüències biològiques (nucelòtids, aminoàcids, etc.,). Mirem-ho amb un exemple relacionat amb la genètica.

Imaginem que tenim dues seqüències d'ADN en la seva forma més tradicional, com una llista ordenada dels quatre tipus de bases que les formen: Adenina (A), Timina (T), Citosina (C) i Guanina (G). Per simplificar posarem com a exemple dues seqüències curtes:

T A C G T C A A

A T T C G C A

Podem tenir la necessitat de comparar aquestes seqüències per diferents raons: mirar si fan funcions similars, esbrinar el grau de proximitat genètica entre dues espècies, etc. L'alineament de seqüències ens pot ajudar a fer-ho. Però quines són les condicions per alinear? Per començar, posem una seqüència a sobre de l'altra.

Observem que tenim dues parelles de bases alineades, cinc parelles que són diferents (les de l'esquerra) i un forat a la dreta de la segona seqüència (representat amb un guió). La desaparició d'una base o la diferència entre dues d'alineades poden ser producte de mutacions genètiques.

Però hi ha altres alineacions possibles. Per exemple, aquesta emparella tres bases iguals, tres de diferents i deixa tres forats.

Encara tenim altres possibilitats. En aquesta emparellem cinc d'iguals, una de diferent i deixem tres forats.

Quin dels tres és el millor alineament? De quina forma podem trobar més ràpidament el millor alineament? Aquest és el problema que resol l'algoritme de Needleman-Wunch.

El vols conèixer?

Aplanem el cub amb un tall mínim

Per trobar el desenvolupament pla d'un poliedre el que hem de fer és "tallar-lo" convenientment i aplanar-lo.

Desenvolupament del cub

Si coneixeu els hexòminos (formes creades per la unió de 6 quadrats compartint com a mínim un costat comú) és possible que sabeu que dels 35 diferents existents només 11 poden tancar-se formant un cub. Aquesta ja és una investigació interessant per sí mateixa.

Els 11 hexòminos que són el desenvolupament d'un cub

Què tenen en comú aquests 11 desenvolupaments? Que tenen un perímetre de 14 unitats. Si tallem un cub per obtenir el desenvolupament pla la longitud del tall serà de 7 unitats. Una altra investigació interessant és mirar per on hem de tallar el cub per aconseguir cadascun dels desenvolupaments.

Línia de tall per un dels hexàminos

En tot cas podem obtenir altres desenvolupaments si no ens limitem a tallar per les arestes. Si ens donem la llicència de tallar pel mig de les cares podem obtenir nous desenvolupaments del cub. Per exemple aquest:

En tot cas podem observar que el perímetre d'aquest desenvolupament del cub té un perímetre superior a les 14 unitats anteriors. El "tall" seria de 7,828... en comptes de les 7 anteriors. El perímetre supera les 15 unitats.

Si deixem de banda la longitud del tall i ens concentrem en el perímetre del desenvolupament (al cap i a la fi, el tall és sempre la meitat)...

... podem obtenir un desenvolupament del cub òptim? Amb un perímetre mínim?

La màgia del 9N i la predicció de Si(s)sí

Un nombre de la forma 9n és un múltiple de 9. Els múltiples de 9 tenen una propietat matemàtica molt interessant per poder construir trucs de màgia a partir d'ella. Ja en vam parlar a l'article sobre la prova del 9 i recuperem aquí, en dates tan assenyalades, part d'aquells continguts.

Abans, però recordem, un magnífic truc "digital" per recordar la taula del nou. A la imatge tenim tots els casos. Podem veure com funciona amb un exemple. Si volem saber quant és 4x9 baixem el quart dit comptant des de l'esquerra. Davant del dit baixat tenim 3 dits i darrere tenim 6. "Llegim" digitalment que 4x9 són 36.

Bé... anem a la màgia del 9n. I què millor que començar amb un truc (que ja vam posar en un altre article anterior).

Enllaç al programa

Vols conèixer més trucs 9N i per què funcionen? I la predicció de Si(s)sí

Fraccions mirall

Podem jugar amb simetria i fraccions? Ningú ens ho prohibeix. Els nombres permeten una immensa quantitat de jocs i reptes. Provem d'investigar les fraccions mirall.

Agafem una fracció amb la següent condició: el numerador i el denominador han de tenir dues xifres.

Si l'emmirallen obtenim una nova fracció

És força evident que les dues fraccions no són equivalents. En un cas tenim el numerador més gran que el denominador i en l'altre el numerador és el més gran.

En canvi, si agafem juguem amb el 13 i el 39 sí que podem obtenir dues fraccions equivalents quan invertim les xifres respectives del numerador i el denominador.

Tenim una fracció mirall.

A partir d'aquí ja podem començar a fer-nos preguntes:

• Hi ha més fraccions mirall de dues xifres? Si és així, quantes?
• Acompleixen alguna propietat?
• I si provem amb tres xifres?
• I amb quatre?

El dolç pler de passejar a l'atzar

Per la incertesa

de molts camins faig via;

tu m'acompanyes

Miquel Martí Pol

Al seu llibre Circo matemático en Martin Gardner deia. "Els matemàtics tenen el pertinaç costum d'analitzar tot el que és analitzable, i les caminades sense rumb no anaven a ser una excepció". Un passeig aleatori consisteix bàsicament a deixar a la sort la direcció de cada pas que donem. Aquestes passejades se solen estudiar en una, dues i tres dimensions i tenen aspectes que van contra la intuïció. De les passejades unidimensionals (sobre una línia) ja vam parlar a l'entrada Casualitats, creences, impressions... i allà mostràvem que, contra el que podríem pensar en primera instància, si sortim d'un punt i optem a cara o creu si anem cap endavant o cap endarrere no estem creuant el punt d'origen una vegada i una altra sinó que passem molta estona a un dels costats.

Obrir l'applet (flash)

Ara ampliarem algunes idees, parlarem de les de dues i tres dimensions i farem alguna proposta per a l'aula.

Passejades unidimensionals

Imaginem que tenim un tauler lineal amb 9 caselles. Sortirem del centre i, tirant una moneda, decidirem si anem a la dreta o a l'esquerra. Si ens sortim del tauler acaba el joc "negativament". Si tornem a la casella central acaba "positivament".

Una primera pregunta que ens podem fer és; quina és la probabilitat de tornar a estar a la sortida al 3r moviment? Penseu abans de continuar llegint.

La resposta és zero, impossible. Si imaginem pintades les caselles alternativament en blanc i negre a cada moviment canviem de color. Necessitem doncs una quantitat parell de moviments per tornar a una casella del mateix color. Només podrem tornar a l'origen al 2n moviment, al 4t, al 6è, etc.

Podem analitzar les probabilitats d'estar a cada casella a cada moviment. En aquest applet es mostren els càlculs.

Obrir l'applet (flash)

Podem observar que les probabilitats de tornar al centre van minvant a mesura que augmentem la quantitat de moviments: és del 50% als 2 moviments, del 37,5% al quart, del 31,25% al 3r... i del 14,66% si ens allarguem fins al 20è.

Això ens pot fer pensar que és més fàcil sortir-se'n del tauler que tornar al centre. Però si experimentem descobrirem que és "escandalosament" més probable tornar al centre.

Obrir l'applet (flash)

Una aparent paradoxa entre probabilitat calculada i probabilitat experimental? Una prova que el problema és més complicat del que sembla?

Passem a estudiar les passejades aleatòries en dues dimensions?