Vigilants a l'Eixample (o els policies miops)

Aquest problema apareix al quart llibre de la sèrie Investigando las matemáticas (R. Fisher i A. Vince) que l'editorial Akal va publicar l'any 1990. També es va plantejar a la fase final del Fem Matemàtiques 2011. És una bona investigació sobre recerca de regularitats i generalització.

La situació és la següent: tenim un conjunt d'illes iguals de cases, posem-ne com les de l'Eixample de Barcelona. En la situació d'exemple tenim un rectangle de 4x7 illes. Si col·loquem un vigilant a una cruïlla només pot observar els carrers que s'hi troben a la cruïlla i el seu abast visual és de la longitud d'una illa, és a dir, fins a la cruïlla següent (a l'Eixample serien 100 m). Quin és el nombre mínim de vigilants que calen per controlar tots els carrers?

Pots practicar amb aquest applet enllaçat clicant sobre els botons que hi ha a les cruïlles.

Enllaç a l'applet (flash)

Si observes la solució mínima (que imaginem que hauràs obtingut sense dificultats especials o, si més no, després de no massa proves) veuràs que la distribució dels vigilants segueix un patró força regular. La investigació que proposem és justament aquesta: es pot saber la quantitat mínima de vigilants, sense distribuir-los, coneixent quantes illes té cada costat del rectangle.

T'animes a investigar?

Amebes patronals

Sovint a les aules, tant a educació infantil, com a primària i secundària, treballem amb patrons, ja sigui demanant que se segueixi  a partir d'unes instruccions clares o bé fent cercar la llei que genera la sèrie. Encara que hi ha molts patrons numèrics la majoria de vegades els acostumem a proposar de forma visual. Fora bo que també ho féssim més sovint amb materials manipulatius. Els patrons que presentem poden ser de repetició o de creixement.

Exemples de patrons freqüents d'educació infantil

Un tipus de patró, no tan habitual, són els que presentem avui: patrons de moviment. Al seu llibre Aún más actividades matemáticas Brian Bolt els anomena "formes ameboides". La idea és presentar una sèrie d'imatges successives i es demanen diverses coses:

• quines seran les imatges següents
• descriure la llei
• esbrinar si la sèrie farà un cicle tornant en algun moment a la primera posició i, en aquest cas, quant es trigarà.

Veiem un exemple:

Per endevinar el patró haurem de fixar-nos en el que es manté entre cada dibuix, en el que varia i en com varia.

En aquest cas la solució seria aquesta:

Potser o veiem més clar si ho mostrem en moviment i pintant de gris les caselles fixes.

Continuem?

Les tires dels tiris: tancant àrees màximes

"Esglaiada per tot, Dido preparava la seva fugida i la dels seus companys. Se li uniren tots aquells que sentien pel tirà un cruel avorriment o un temor agut. S'emparen d'uns vaixells que casualment estaven quiets i els estiben d'or. Són confiades al mar les riqueses que Pigmalió cobejava: una dona capitaneja l'empresa. Arribaren en aquest país, on ara veuràs sorgir unes enormes muralles i la nova ciutadella de Cartago, un cop adquirit un solar, que d'aquest fet es digué Birsa, tot el que hom podia envoltar amb la pell d'un toro." 

L'Eneida (I-359)

 Amb aquestes paraules el poeta Virgili ens explica, de forma breu, la fugida de la princesa fenícia Dido de la ciutat de Tir acompanyada d'alguns fidels. Arribats a la costa nord d'Àfrica, prop de l'actual Tunísia, va aconseguir que el jerarca local Jarbas li cedís tot el terreny que pogués abastar amb la pell d'un brau. La idea de Dido, segons la llegenda, va ser fer tallar la pell en tires molt primes (que els tiris facin la tira de tires ha de ser d'allò més natural) i lligar-les formant una gran corda. El problema ve ara: quina forma ha de tenir la figura tancada amb la corda per obtenir la màxima àrea?

De vegades tendim a pensar que figures amb un mateix perímetre tindran la mateixa àrea. Però una figura com la que es veu a continuació ens mostra que no és així.

Cercar la figura que amb un mateix perímetre tanca una àrea màxima és una bona investigació per realitzar a l'aula. És una activitat que podem treballar a diferents nivells segons el curs en què la realitzem. El podem "atacar" des del cicle superior de primària fins a batxillerat, segons l'enfocament que li donem.

La seqüència que us proposem comença per estudiar el cas dels triangles, per passar a quadrilàters, pentàgons, polígons regulars... i acaba amb una petita recreació matemàtica.

Mirem la seqüència?

Girar per guardar els secrets

A l'activitat Missatges secrets del Calaix +ie es mostrava una tècnica criptogràfica de transposició basada en una graella giratòria, però no es proposava cap activitat per a l'aula en el vessant més interessant d'aquest mètode: el disseny de la graella. Intentarem ara pal·liar aquella omissió.

Els algoritmes de transposició es basen a provocar un desordre aparent en les lletres del missatge de forma que, barrejades, formin un text inintel·ligible per a un possible interceptor del missatge. Es tracta de "desordenar ordenadament". El receptor del missatge només ha d'aplicar l'algoritme "desordenador" a la inversa per tornar a deixar el missatge "clar". En general, es considera que són mètodes d'encriptació febles i, normalment, només s'utilitzen combinats amb altres mètodes, és a dir, com a formes de complicar la vida als criptoanalistes ("desxifradors" de missatges).

L'escítala espartana és un dels mètodes de transposició més antics

El mètode que comentem avui es basa en una graella, per exemple de cartolina, que té uns forats i que, girant-la convenientment, ens permet intercanviar missatges encriptats. Veiem un exemple.

En primer lloc hem de disposar una graella clau. Aquesta graella l'han de tenir tant l'emissor com el receptor. Les característiques fonamentals de la graella són les següents:

• ha de ser un quadrat de n·n caselles i n ha de ser parell
• ha de tenir tants forats com la quarta part de la quantitat de caselles de la graella
• en girar-la successivament 90° una mateixa casella no pot quedar dues vegades destapada.
• totes les caselles han de quedar alguna vegada destapades.

Vols veure com s'utilitza i com crear-ne una graella clau?

Ta-Te-Ti boig i Tripos: dues variants del tres en ratlla

El tres en ratlla és, probablement, el joc d'alineació més antic que es coneix. En la versió clàssica "a llapis i paper" sabem que el segon jugador (el que no comença) té sempre la possibilitat de fer taules. En la versió amb fitxes, si no es permet saltar, jugant perfectament guanya el primer i, si es permet el salt, també el segon pot provocar taules. Ara us proposem estudiar dues variants del joc que tenen en comú dues característiques: són sorprenents i relativament fàcils d'analitzar, sobretot la primera. Això les fa molt aptes per treballar-se a classe.

• El Ta-Te-Ti boig

Aquest joc es pot jugar amb paper i llapis o amb fitxes sobre un tauler de 3x3. L'objectiu, com sempre, és fer "tres en ratlla", alinear tres fitxes d'un mateix color en horitzontal, vertical o diagonal. No hi ha moviment de les fitxes: només té la fase de col·locació. Quan s'han posat les nou fitxes, si ningú n'ha fet tres en ratlla, la partida està acabada. La variant és que cap dels dos jugadors té un color propi, quan li toca pot posar la fitxa del color que vulgui.

---

Pots practicar amb aquest applet fet amb flash. Clicant sobre la casella successives vegades mostrarà

rodona, creu o torna a quedar en blanc.

Enllaç a l'applet (flash)

---

• El tripos

El tauler del joc del Tripos és lleugerament diferent. Les caselles són de tres colors distribuïdes com a un quadrat llatí. L'objectiu torna a ser connectar tres fitxes, però aquesta vegada ha de ser en fila, columna o color; no val el tres en ratlla en diagonal. Un altre canvi important respecte al tres en ratlla normal és que cada jugador disposa de quatre fitxes (al "normal" el primer en té 5) i si, posades les fitxes, no hi ha tres connectades guanya el segon jugador: no hi ha empat.

---

Pots practicar amb aquest applet (flash)  arrossegant les fitxes.

Enllaç a l'applet (flash)

---

Vols que analitzem els dos jocs?

Triangles d'or

Amb aquest títol apareixia un petit còmic-problema al primer número de la revista Cacumen (febrer 1983, pàgines 20 i 21). És una bona excusa per treballar els nombres triangulars.

El problema és aquest:

"A un castell hi viuen un comte, un majordom i un jardiner.

Una nit el comte torna tot content al castell perquè ha guanyat una petita fortuna en monedes d'or. A la seva habitació munta un "triangle d'or" amb totes les seves monedes.

Quan el comte dorm el majordom entra a robar-li algunes monedes. Per tal que el comte no s'adoni li deixa una quantitat amb la qual encara queda un triangle sencer més petit. Quan arriba a la seva habitació ell mateix veu que pot muntar també un triangle amb les monedes que ha robat.

Tot content es posa a dormir i llavors el jardiner aprofita per entrar a l'habitació del majordom i robar-li algunes monedes, però deixant-li un triangle muntat perquè el furt no sigui descobert. El jardiner descobreix que amb el que ha agafat també pot muntar el seu propi "triangle d'or".

Sabem que aquella nit el comte havia guanyat menys de 300 monedes. Podem esbrinar quina va ser la quantitat exacta?"

Seguim una resolució tot veient possibles idees per treballar a l'aula?

Bitllets, números de sèrie i arrel digital

Els bitllets de qualsevol país tenen uns sistemes de seguretat per lluitar contra les falsificacions. Aquests sistemes s’han anat sofisticant progressivament: marques d’aigua, papers i tintes especials, impressions en relleu, codis de barres amagats, microimpressions, bandes hologràfiques i iridescents... i un llarg etc. Un dels més inútils, però més curiosos és el del número de sèrie dels bitllets. Com a sistema antifalsificacions és inútil perquè és públic, fins i tot per als falsificadors. Però ens dona informació que pot ser interessant i que pot portar a jocs aritmètics a l’aula.

Hologrames dels bitllets

Per estudiar els números de sèrie hem de diferenciar els bitllets antics dels nous. De moment els nous (el dia d'avui) només els trobem en valors de 5 i 10 euros. Els bitllets “antics” tenen una lletra al número de sèrie. Els “nous” en tenen dues. En tots dos casos la primera lletra ens indica el país d'emissió. Si veieu una V s’ha emès des d'Espanya; una S indicarà Itàlia, etc. El número de sèrie té la característica de que ha de donar un residu concret dividint-lo per 9.

Si voleu saber com funciona i mirar idees per a l’aula només cal seguir llegint.

Un joc estrella

A la revista NouBiaix apareix des de fa temps (de quan era "Biaix" a seques) una secció a càrrec de Jordi Deulofeu amb el títol Per pensar d'un minut a una hora, títol que continua la sèrie que ja fa molts anys va escriure pel diari La Vanguardia. Al número 33 (octubre 2013) ens proposa un joc d'estratègia per a dos jugadors que permet tenir un tractament interessant a l'aula. És un joc ràpid i de regles senzilles, però en el que l'estratègia no és del tot evident i la seva recerca potser una bona excusa per fer un treball col·laboratiu entre tot el grup classe. Com sempre en aquests tipus de jocs, si el que volem fer són matemàtiques, convé més treballar cooperant que competint.

El tauler de joc és una estrella de cinc puntes sobre la que es col·loquen 10 fitxes.

Cada jugador, alternativament treu una o dues fitxes del tauler tenint en compte que, si en treu dues, aquestes han d'estar "juntes" (unides per un segment sense fitxes interposades o sense cap espai buit). Guanya "qui deixa l'estrella neta", qui agafa l'última fitxa.

Abans de passar a estudiar l'estratègia i veure com es pot treballar a l'aula us convidem que el practiqueu una mica.

Vols estudiar el joc?

Un problema de pals que no és un pal de problema

Hi ha problemes que, a primer cop d'ull, no tenen cap gràcia especial, però quan t'hi poses comences a descobrir sorpreses: perquè el repte és més interessant del que inicialment semblava, perquè la solució té aspectes que van contra la teva intuïció o perquè aquesta té algun tret de bellesa, perquè et planteja relacions amb altres problemes coneguts o et deriva a problemes nous, perquè et convida a establir relacions entre diferents àmbits matemàtics com l'àlgebra i la geometria... El problema que presentem ara té totes aquestes virtuts. Apareix al llibre hindú del segle IX Ganita Sara Sangraha del matemàtic jainista Mahavira. També està recollit al Līlāvatī (problemes 157 i 158) de Bhaskara II (segle XII). Jo l'he trobat al llibre Gimnasia mental 2 de Jordi Deulofeu (amic, mestre de mestres i un dels nostres Gardners particulars).

Llegim l'enunciat:

---

Tenim dos pals rectes de 6 i 4 metres d'alçada, respectivament, i que estan clavats perpendicularment al terra. Col·loquem dos cables perfectament tensats que van des de la base de cadascun dels pals fins a la part superior de l'altre. A quina alçada es creuen els dos cables?

---

En primera instància sembla que desconèixer la distància entre els pals ens impossibilita el problema, però la realitat és que amb les dades que se'ns donen en tenim prou.

Us animem a resoldre el problema i després continuar llegint, perquè darrere de la solució hi ha tot un camí a seguir.

Quadrats greco-llatins: un joc útil a l'experimentació

Els quadrats grecollatins són una recreació clàssica que tenen darrere una història curiosa i interessant i que han transcendit l'àmbit dels jocs matemàtics per ser incorporats en altres territoris com, per exemple, el de l'experimentació científica. I és una història en què apareix un dels grans personatges de la matemàtica: Leonhard Euler que, per una vegada, no la va encertar del tot amb una conjectura. L'explicació que farem seguirà en molt els passos del capítol Enmendando a Euler: el descubrimiento de un cuadrado greco-latino de orden 10, del llibre Nuevos pasatiempos matemáticos de Martin Gardner (del qual, per cert, se celebrarà el centenari l'any vinent).

Comencem per un quadrat més simple: un quadrat llatí.

Cal col·locar les rectangles de color a la quadrícula de forma que a cap fila o columna es repeteixi un color. (A l'applet enllaçat pots arrossegar les peces)

Enllaç a l'applet (flash)

Un quadrat grecollatí afegeix una dificultat. Ara cada peça té dues característiques: el color i la lletra.

Has de col·locar els rectangles de color a la quadrícula de forma que a cap fila o columna es repeteixin un color o una lletra. (A l'applet enllaçat pots arrossegar les peces)

Enllaç a l'applet (flash)

Vols saber més dels quadrats grecollatins i de com són útils a l'experimentació?