Construïm l'escala musical (I): Posem un marc general

(A punt de publicar aquesta sèrie d'articles ens ha deixat en Claudi Alsina, entre moltes altres coses, gran divulgador de les matemàtiques. M'agradaria que fossin un petit homenatge al seu afany popularitzador d'aquesta ciència)

Els continguts d'aquest article són fruit
del treball conjunt amb Francina Turon

En un instrument de corda fregada, com un violoncel, només d'una sola corda podem extreure infinits sons. Si més no, de forma teòrica. El so d'aquesta es produeix pel fregament de l'arc que la farà vibrar. Però el to en què sonarà, el marcarà la seva longitud i aquesta la podem escurçar pressionant-la contra el batedor de l'instrument en qualsevol punt. Si hi ha infinits punts teòrics per fer-ho, també n'hi haurà infinits sons. Malgrat haver-hi infinits sons hi ha uns límits, el so més greu de la corda lliure i el més agut que aconseguim pressionant al punt final del batedor. Però, per augmentar els tons possibles i obtenir de més greus i de més aguts, disposem de quatre cordes diferents. En canvi, un piano, instrument de corda percudida, o una arpa, de corda pinçada, té uns sons marcats, fixes i que anomenem "notes musicals". Un piano té, exactament, 88 sons. Sense trucs no podem extreure'n uns altres fora d'aquests 88. Per què aquests precisament i no uns diferents? La resposta és clara: perquè s'ha pactat quins han de ser. L'escala musical és un acord cultural. I els violoncels, la majoria de vegades, s'hauran d'ajustar també a aquesta quantitat limitada de sons acordats. I així tots dos instruments podran sonar conjuntament de forma més harmònica.

Entre aquesta petita sèrie d'articles que iniciem ara, intentarem explicar com s'ha arribat a aquest acord i el paper que les matemàtiques han jugat per aconseguir-ho. 

La música, el temps i la memòria

Si contemplem un quadre ens podem fer ràpidament una composició general de l'obra. Després podem atendre els seus detalls. Però en un sol l'instant haurem rebut un primer impacte visual.

Antoni Tàpies - Sense títol (1952)

Amb la música no ens passa el mateix. La música es mou en el temps. No tenim percepció instantània sinó estesa en una successió d'instants. Per tant, necessitem una certa ajuda per a la memòria. Tothom ha tingut l'experiència de sentir una peça musical que li ha agradat més a partir d'una segona audició. Una de les raons és que hi ha un cert reconeixement dels motius musicals. La repetició de fragments, idèntics o lleugerament modificats, és una de les constants de la majoria d'obres i una ajuda de pes a la seva escolta. Una altra ajuda és l'experiència que ens porta la identificació de ritmes i línies melòdiques de diferents estils. Fem un "aprenentatge melòdic" que, fins i tot, de vegades ens porta a una certa predictibilitat de la continuació de les melodies: ens anticipem lleugerament al que sonarà. Hi ha una educació de l'oïda. Per a aconseguir això encara tenim una tercera ajuda: l'ús d'una sèrie, no massa llarga, de notes concretes en la composició musical. Per tant, és clau la tria d'aquestes notes. Han de servir per construir melodies (seqüències de notes) i harmonies (notes que sonen conjuntament), per a encadenar-se i per a ser consonants. El problema de la construcció de l'escala és aquest: triar les notes que compliran aquestes condicions.

Però, abans de posar-nos-hi, començarem  amb una breu introducció sobre la física del so i altres conceptes que ens posaran un marc de sortida i ens proporcionaran les eines per a la construcció de l'escala.

El so: una ona amb una freqüència

Segons la Viquipèdia "el so és una successió de canvis de pressió (compressions i dilatacions) en un medi (sòlid, líquid o gas), provocats per una vibració que s'hi transmet en forma d'ones sonores."

Font Viquipèdia

Una de les característiques d'una ona és la seva freqüència. Aquesta, també segons la mateixa font, és "el nombre d'oscil·lacions/períodes que es produeixen per unitat de temps. Es mesura en cicles/segon, unitat anomenada hertz". Quan la freqüència és baixa el so ens sembla més greu, i quan és alta, més agut. Però hi ha freqüències que no sentim. En general, els humans percevem sons entre 20 Hz i 20000 Hz. Per sota del 20 parlaríem dels infrasons i, per sobre dels 20000, dels ultrasons. Però el cert és que no tots sentim igual i que clarament, amb l'edat, anem perdent la percepció de les freqüències més altes. Podeu experimentar qui rang de freqüències sentiu amb aquest vídeo.

Si continues llegint coneixeràs les següents peces d'aquest marc harmònic que estem construint.

Construïm l'escala musical (II): Una escala aritmètica

Els continguts d'aquest article són fruit

del treball conjunt amb Francina Turon

Recordem breument algunes idees de l'article anterior "Construïm l'escala musical (I): Posem un marc general":

• Volem aconseguir una col·lecció de sons que, com a característica, permetin compondre bones melodies (sons en seqüència) i que conjuntament sonin harmònics (sons consonants).
• La longitud d'una corda determina la freqüència del so que produeix en fregar-la (com al violoncel), en pinçar-la (com a la guitarra) o en percudir-la (com al piano). És una relació de proporcionalitat inversa. Si, per exemple, la corda mesura una quarta part de l'original, el so obtingut tindrà una freqüència quàdruple.
• La consonància està relacionada amb proporcions senzilles. La proporció 2/1 (doblar la freqüència o reduir la corda a la meitat) produeix la mateixa nota, però més aguda. La proporció 3/2 es coneix com el "primer harmònic". Altres harmònics es troben en dividir la corda en tres, quatre, cinc... parts iguals.

Amb aquestes premisses podem intentar construir aritmèticament la nostra escala musical, una col·lecció prou harmònica de sons.

Partirem d'una corda unitat i en farem quatre de noves amb les longituds resultants de dividir-la en 2, 3, 4 i 5 parts. Tindrem les cinc primeres notes de la nostra escala. Totes cinc consonants amb la primera.

Però podem considerar que cinc sons són pocs. Recordant que 2/3 de la llargada de la corda sona força consonat amb la corda unitat podem agafar una altra amb aquesta mesura i, a continuació, fer-ne quatre més en dividir-la també en 2, 3, 4 i 5 parts. Encara tindrem més sons si agafem una corda més llarga de la unitat, en proporció 3/2, i obtenim quatre més amb el mateix mètode. Així tindrem una mena de lira de quinze cordes.

Passem ara a calcular les freqüències dels sons que obtenim amb aquesta lira.

Vols veure els càlculs?

Construïm l'escala musical (III): Analitzem l'escala diatònica i coneguem la Pitagòrica

Els continguts d'aquest article són fruit
del treball conjunt amb Francina Turon

Hem dedicat els dos articles anteriors a la construcció d'una escala musical. El resultat obtingut, basat en l'harmonia i el càlcul aritmètic, va ser la que es coneix com a escala natural o escala de Zarlino, el músic que la va crear. Les notes queden indicades per les fraccions d'una freqüència unitat i estan limitades per la freqüència 1, la nota inicial, i la 2 la final i que és una mateixa nota però amb la freqüència doblada. El que musicalment es coneix com "una octava més alta".

Podem estudiar ara "l'esforç" que costa passar d'una nota a la següent. En matemàtiques a aquest "esforç" l'anomenem pendent i, en aquest cas, l'obtenim dividint la freqüència d'una nota per la de l'anterior. En música parlem d'un interval, entenent-lo com la relació entre dues freqüències.

Tenim vuit notes de partida, per tant, set intervals a calcular:

Conèixer aquesta seqüència d'intervals ens pot ser útil per a reconstruir l'escala a partir de la primera nota. Només hem de multiplicar una freqüència per l'interval corresponent per a conèixer la freqüència de la nota consecutiva posterior.

També podem visualitzar aquests pendents en un gràfic. Hi podem veure que tenim tres intervals, tres "esforços" diferents. Dos d'ells s'assemblen molt, però el tercer, 15/16, mostra un pendent menor, com si les notes aconseguides, el Fa i el Do final, estiguessin tonalment més a prop de les anteriors: Mi i Si respectivament.

9/8 ≈ 10/9 > 16/15

Quan les "passes" són més grans (9/8 i 10/9) diem que l'interval és d'un to. Quan la "passa" és més petita (16/15) diem que l'interval és d'un semitò. Com estan distribuits els tons i els semitons dins de l'escala és molt important per a la seva sonoritat.

Vols mirar diferents ordenacions?

Construïm l'escala musical (IV): Amb 7 notes no n'hi ha prou

Els continguts d'aquest article són fruit
del treball conjunt amb Francina Turon

Imaginem que hem de cantar una cançó com "El gegant de(l) π", que disposem de la seva partitura i aquesta comença en la nota Mi.

Però imaginem, també, que, perquè ens queda massa greu, no va prou no va bé a la nostra tessitura de veu, i volem transportar tota la partitura tres tons més amunt.

Si numerem les notes de la primera partitura (Do-1, Re-2, Mi-3...) seria com sumar 3 a cadascuna de les notes. Podem comparar sonorament aquest transport.

No és difícil notar que la nota 7 no funciona bé i trenca la melodia. És com si ens faltés una nota intermèdia entre la 6 i la 7, entre el La i el Si. Mirem com sona si afegim aquesta "nota fantasma".

La culpa està en el repartiment de tons i semitons que, en el transport, queden desajustats. Entre les notes 3 i 4 (Mi i Fa) hi ha un semitò. Entre la 6 i la 7 abans teníem un interval d'un sol to. Ara necessitem una nota a un semitò de la 6. A aquestes notes intermèdies se les anomena sostinguts, simbolitzades amb el signe ♯ o bemolls, simbolitzades amb el signe ♭. En el nostre cas, a la partitura cal assenyalar que tots els Si de la partitura seran en realitat Si bemoll. Per anotar-ho posem el signe de "bemoll" a l'inici de la partitura i a l'altura del pentagrama corresponent al Si. Pel fet d'estar al principi de la partitura sabem que aquesta alteració afecta a tots els Si que ens trobem a l'interpretar-la.

Investiguem ara quantes notes alterades necessitem. Per fer-ho fem un cercle amb una roda interior on estan representades les nostres notes, amb separacions diferents segons l'interval sigui d'un to o un semitò. També les representem a l'exterior d'aquest. Si a continuació fem girar la roda interior, fent coincidir el Do amb el Re de l'exterior veurem que hi ha notes que es transporten directament a unes altres, però també que tindrem dos espais buits per a poder transportar el Si i el Mi i que haurem d'omplir amb notes noves. A aquests nous sons els anomenem, en la majoria de casos, igual que la nota anterior, afegint el signe ♯ i parlarem de "Do sostingut" i "Fa sostingut".

Continuem fent girar la roda?

Construïm l'escala musical (V): Altres escales

Els continguts d'aquest article són fruit
del treball conjunt amb Francina Turon

Ja, al primer article d'aquesta sèrie, vam comentar que la tria de les notes, en quantitat i sonoritat, és una decisió cultural. Recordem que hi ha instruments que no tenen les notes perfectament definides, com violins, violes o violoncels, i altres que sí que les tenen, com el piano, la guitarra o l'arpa. La definició d'aquestes notes és fruit d'un acord. Però això no priva que, en altres cultures o estils musicals, s'hagin pres acords diferents. 

Començarem amb un petit experiment. Construirem una melodia aleatòria tocant només les tecles negres del piano. Per fer-ho generarem una llista aleatòria de 25 nombres, entre l'1 i el 5. Després d'adjudicar un número entre 1 i 5 a cada tecla negra del piano, farem sonar, ordenadament, la nota corresponent a cada número de la sèrie. La pregunta és: si haguessis de triar una zona del món on creus que tenen una música semblant, quina escolliries?

Molt probablement hauràs pensat que la música sona com de l'Orient Llunyà. Efectivament, allà s'utilitza sovint una escala pentatònica, de només cinc notes. 

L'escala pentatònica

Que la nostra escala tingui 7 o 12 notes és, com ja hem dit, una decisió cultural. Sovint s'utilitzen escales de només cinc notes que reben el nom de pentatòniques. No totes aquestes escales són iguals. Tenim fetes només amb diferències d'un to o amb tons i semitons, i. entre aquestes, de majors i de menors... 

Podem mirar dos modes d'escala pentatònica, major i menor, que inclouen dos tipus d'interval: to (T-dos semitons) i to i mig (T+, 3 semitons). Si afegim com a nota final la repetició de la primera una octava més altra tindríem aquestes sèries d'intervals:

• Escala major T T T T+ T T+
• Escala menor T+ T T T+ T

Tenim un curiós exemple per visualitzar com influeix l'ordre de les notes. Agafem un conjunt de set notes: La-Do-Re-Mi-Sol-La-Do₁. Si comencem pel Do i acabem al Do₁ tindrem una pentatònica major. Si comencem per un La i acabem a l'altre, tindrem una pentatònica menor.

Vols saber més sobre aquestes escales diferents?