Comptem sobre un filera de daus

 Us convidem a fer el següent experiment:

• Agafeu molts daus. Per exemple, vint. El tireu tots a la taula i feu una filera, també de forma aleatòria, amb tots ells.

• Mireu els punts del primer dau i compteu fins a tants daus com indica el nombre.

• Des d'aquest nou dau repetiu la forma de comptar... i aneu fent fins que arribeu a una quantitat des de la qual ja no podeu seguir perquè no teniu tants daus com indica la darrera quantitat. Elimineu de la filera aquests daus sobrers. Si heu arribat justos no cal eliminar res.

• Ara elimineu el primer dau de tots, el que heu fet servir per iniciar el comptatge.

• Repetim la manera de comptar des del segon dau. Quina és la sorpresa? Que segurament acabareu al mateix dau que abans!

Però encara podem tenir més sorpreses. Sense anar més lluny, amb la seqüència que hem utilitzat com a exemple, podem repetir el procés de treure un dau i fer el comptatge 12 vegades més sense que canviï el dau final en què acabem. És a dir, en total haurem pogut treure 13 daus.

Si no teniu daus a mà podeu experimentar amb aquest applet.

Enllaç al programa

No sempre tindrem tanta sort. Aquí teniu una sèrie de 15 daus que al primer dau que traiem ja ens trobem amb un final diferent.

I a continuació dos exemples amb 10 daus. En un no es pot treure cap dau i a l'altre es poden treure tots.

No es pot treure cap dau

Es poden treure tots els daus

Ja tenim servida la situació. Ara toca fer-se preguntes:

• Per què moltes vegades es coincideix en un mateix final?
• Hi ha condicions que faciliten la coincidència?
• De què depèn la quantitat de daus que podré treure?

Investiguem?

Dissenyem rosasses

El passat 6 de febrer de 2020, a la XIII Jornada de l'Associació Catalana de GeoGebra, al taller Matemàtiques amb GeoGebra. Nivell 0 portat per Guillem Bonet (@willhek1), es va proposar un problema de tangències que em va recordar l'activitat que vam treballar alguns anys a l'INS Alella durant un crèdit de síntesi relacionat amb l'Edat Mitjana. L'activitat es relaciona amb el disseny de rosasses i, específicament, amb el de sèries de cercles tangents entre si i que ho són també a la circumferència exterior de la rosassa.

Rosassa de la façana principal de la Catedral de Burgos (fotografia original de Javier Soto)

Real Monasterio de Santa María de Guadalupe a Cáceres (fotografia original del Baúl del Arte)

Visualment ja es veu clarament el problema. Com dibuixar un cercle de n circumferències tangents a l'exterior i entre les directament veïnes? A cadascuna d'aquestes circumferències els hi direm pètals a partir d'ara. Ja s'intueix que n ve determinat per un polígon regular inscrit a la circumferència exterior la mateixa quantitat de costats que la de pètals desitjats. No tots els polígons regulars són construïbles amb regle i compàs de manera "pura". Gauss ja va descriure quines eren les condicions perquè un polígon fos dibuixable amb aquestes dues eines. Obviarem aquesta part de la construcció, ja que podem dibuixar un polígon inscrit a partir del càlcul del seu angle central i plantejarem el problema concret de la construcció, ara sí, amb regle i compàs del "rosari de pètals".

El polígon de 7 costats no és construïble amb regle i compàs, però el podem dibuixar a partir d'un angle de 51,43°. El de 10 costats sí que és construïble, però també el podem dibuixar a partir d'un angle de 36°

L'objectiu de l'activitat serà construir rosasses com aquestes que podem veure fetes amb GeoGebra. Poden ser casos particulars de 3, 4, 5, 6... o més pètals. La primera part de l'activitat consistirà a buscar un mètode per a fer la construcció. La segona conèixer un mètode aparentment estrany d'aconseguir-ho. I la tercera demostrar que tots dos mètodes són equivalents. Per a fer aquesta demostració jugarem amb una mica de trigonometria, Pitàgores...

https://www.geogebra.org/m/tcddynpe

Abans de continuar llegit, però, us convidem a resoldre el problema per a un cas particular: 5 o 6 pètals. I que ho feu amb GeoGebra.

Continuem?

Carrers i places matemàtiques de Barcelona ciutat

L'hodonímia estudia els noms dels carrers, places, avingudes, passeigs, etc. d'un lloc determinat. En aquest article mostrem els hodònims de la ciutat de Barcelona relacionats amb les matemàtiques. Sense més intenció que fer un petit inventari i observar el grau de presència matemàtica, que ja podem dir que no és gaire gran. Tenim des del carrer del Triangle als Jardins Ada Byron, tot passant pels carrers Horitzontal o d'Hipàtia.

La font de consulta ha estat el Diccionari nomenclàtor de les vies públiques de Barcelona de Jesús Portavella.

Els criteris per entrar al mapa han estat els següents:

• Si és un nom de persona, que dintre de les seves activitats principals les matemàtiques hagin tingut un cert pes específic. Així, per exemple, pot entrar Leonardo da Vinci, però no Ramon Martí i Alsina que va ser conegut com a pintor, tot i haver estat professor d'aritmètica i geometria a l'Escola de la Llotja. Sí que hem acceptat alguns geodèsics com Carlos Ibáñez.
• Si és una paraula relacionada amb objectes o idees matemàtiques que el nom sigui una referència directa a aquest objecte o concepte. Així no han entrat tots els carrers numerats de la Zona Franca però sí una Plaça del Nou, que fa referència al número de l'autobús que hi sortia des d'allà. I no hem posat el Passatge de Pla perquè es refereix al cognom d'un antic propietari de la zona. Tampoc tindrem una Plaça de Pi encara que sí tenim realment una Plaça del Pi que no posarem al mapa. Hem recollit, però, carrers com la Meridiana o el Paral·lel.
  

Carrer del Triangle, prop de Born, vist des d'un vèrtex.

 

 A cada carrer hem posat una informació mínima extreta, en la majoria de casos, del diccionari de nomenclàtor. També sovint hem afegit algun enllaç per a ampliar la informació.

Vols veure el mapa?

Itineraris additius per la quadrícula

Amb el títol de Tot sumant, el novembre del 2013, vaig publicar un article en aquest blog en què es plantejava un problema d'itineraris additius per una quadrícula. M'agradaria reprendre'l ara per estudiar-lo més àmpliament. Al passat C2EM va ser una de les activitats proposades pel Cesire de Matemàtiques al "taller virtual" Laboratori de matemàtiques i la participació de la gent va ser força animada. De fet, el taller va generar algun correu, que després comentaré, i és el que ha promogut aquesta revisió ampliada.

El problema original, que vaig conèixer per un llibre de Fernando Corbalán i amb el nom de L'ascensor (Matemáticas de la vida misma, Ed. Graó, p. 40), és el següent: fer un recorregut per una quadrícula de 3x3 de la següent manera:

• comencem a qualsevol casella posant un 1.
• passem a una casella contigua, en vertical, horitzontal o diagonal, i escrivim el nombre que correspongui a la suma de totes les caselles del voltant, ja toquin per un costat o per un vèrtex.
• continuem fent un recorregut continu que, sense salts, completi tot el caseller.

L'objectiu és aconseguir el nombre més alt un cop completat el recorregut. Aquí teniu un exemple animat d'itinerari.

Si voleu podeu practicar amb aquest applet fet amb Scratch. Per a fer el recorregut cal anar clicant els punts blaus.

Enllaç al programa en Sracht

Quan fem aquesta activitat a l'aula convé saber quin és el màxim assolible per animar a l'alumnat a continuar provant si no l'han obtingut. O bé, per fer observar que hi deu haver alguna errada si diuen un resultat que el supera. Les errades habituals inicials són de càlcul  o per no haver entès alguna de les regles del joc.

A continuació parlarem del correu que em van enviar i que proposava una màgica connexió entre problemes. Aquesta possible relació era d'obligatòria investigació i, a més, convidava a estudiar l'ampliació a quadrícules de 4x4 i 5x5. Però abans, us animo a practicar una mica aquest problema en aquests taulers més grans.

Enllaç al programa en Srcatch

Enllaç al programa en Srcatch

Us animeu a seguir les nostres exploracions?

El nim "del doble" (2)

 A l'article anterior a aquest (El Nim "del doble" - 1) presentàvem i iniciàvem l'anàlisi d'un joc d'estratègia per a dos jugadors de tipus Nim. En aquest cas, les regles són les següents: hi ha una pila de fitxes de la que cada jugador pot agafar tantes fitxes com vulgui entre una i el doble de les que hagi agafat el jugador anterior. Qui deixa la taula neta guanya. I, a la jugada inicial es poden agafar totes les fitxes que se'n vulguin menys una.

Exemple de partida amb 10 fitxes inicials.
La partida es llegeix d'esquerra a dreta i guanya verd

Vam fer tots de diagrames en arbre per estudiar diferents quantitats de fitxes inicials i de conjectures equivocades. Cap al final de l'article vam veure que hi apareixien misteriosament els nombres de Fibonacci. Si la quantitat de fitxes inicial és un nombre de Fibonacci sembla que hi ha estratègia per al 2n jugador. Si no ho és el primer pot guanyar si deixa al contrari amb una quantitat de fitxes que sigui un nombre de Fibonacci. Però també vam veure que això no ho podem fer sempre. Posàvem l'exemple de jugar amb 12 fitxes. Si A (el 1r jugador) agafa 4 deixa a B (el 2n jugador) amb 8, que és un nombre de Fibonacci, perdrà perquè B, que pot agafar fins al doble de la jugada anterior, pot agafar les 8 que queden i guanyar. Després vam fer l'arbre d'estudi del joc per a 12 fitxes i vam veure que la sortida guanyadora era 1 (11), que entenem com "agafar-ne una i deixar-ne 11".

Estratègia per a A per a 12 fitxes

Deixar 11 fitxes no és "deixar un nombre de Fibonacci". Per tant, vam concloure que havíem d'estudiar més el problema. I és el que farem ara.

T'animes a seguir llegint?

El Nim "del doble" (1)

Els jocs d'estratègia són un dels millors recursos per treballar la dimensió de resolució de problemes a l'aula. I de forma inevitable es treballen també les altres dimensions (raonament i prova, representació i comunicació i connexions). Són un dels tipus d'activitats més riques i completes. Però, així i tot, sembla que costa que entrin a l'aula com una activitat habitual. Probablement, entre les moltes raons que hi pot haver, està que sovint no semblen tenir una relació molt directa amb els continguts clàssics. També que mestres i professorat no tenim molt de costum en l'anàlisi de jocs, que tenim una certa inseguretat en l'abordatge de la seva resolució.

El "Tres en ratlla" és un exemple clàssic de joc d'estratègia

En els jocs d'estratègia, que no depenen de cap habilitat física o manipulativa especial ni de cap aspecte relacionat amb l'atzar, s'apliquen tècniques molt habituals de la resolució de problemes. Podeu veure algunes relacions en aquests quadres.

En aquest article estudiarem un joc que, en el passat C2EM, van plantejar Jordi Font i Laura Morera en la seva esplèndida conferència de cloenda. Aquest joc l'anomenarem el "Nim del doble" i és molt interessant i, fins i tot, sorprenent complex. Cal dir que també en conferència inaugural, a càrrec d'Eduardo Sáez de Cabezón, es va plantejar un altre joc de tipus Nim.

Per poder exemplificar millor el procés de l'anàlisi del joc no el mostrarem directament acabat. Anirem mostrant i comentant diferents moments d'aquest procés, fins i tot posant en evidència errades, conjectures falses, idees explorades i abandonades, descobertes de nous camins... Pensem que així, potser, es veurà millor la riquesa d'aquesta petita investigació matemàtica.

Presentem primer el joc. L'únic material necessari és un conjunt de fitxes.

Regles:

• Tenim una pila de n fitxes. Per exemple 20.
• El primer jugador, a l'inici, pot agafar totes les fitxes que vulgui menys una (en el nostre exemple pot agafar d'una a dinou).
• El segon jugador pot agafar entre una i el doble de les que ha agafat l'anterior. Per exemple, si el primer (A) agafa 4 fitxes, el segon (B) podrà agafar-ne entre 1 i 8.
• Es continua jugant amb aquesta regla.
• Guanya qui deixa la taula neta (qui agafa l'última o últimes fitxes)

A les dues taules següents teniu l'exemple del desenvolupament de dues partides. La primera la guanya B (el 2n jugador) i la segona A (el primer jugador).

No cal dir que, abans de continuar llegint, és millor que jugueu algunes partides i comenceu a fer les primeres hipòtesis.

Analitzem el joc?

El codi interestel·lar d'Ivan Bell

Aquesta activitat ja estava al web antic del Calaix +ie. Incloïa un interactiu no gaire assolit, tot s'ha de dir, i estava presentada de cara a alumnat, amb una petita introducció i l'activitat.  A l'actual versió del Calaix ja no hi és. El format d'aquest blog em permet comentar-la amb més calma i destacar per què em sembla una molt bona activitat per a l'aula. Donat que és molt probable que no la conegueu la presentaré com a nova. El problema el vaig descobrir, per variar, per un llibre de Martin Gardner (Comunicación extraterrestre y otros pasatiempos matemáticos, Cátedra, Madrid, 1987). És una activitat de descodificació, però que ens porta a reflexionar sobre aspectes del nostre sistema de numeració i en les relacions entre operacions. Entrem en situació.

El problema neix de la necessitat (qui la senti) d'elaborar un codi i un missatge que siguin interpretables per una possible civilització extraterrestre. Hi ha algunes idees clau a tenir en compte. Una és llenguatge. No es pot fer un codi amb cap llengua de la Terra. Champollion va poder descodificar els jeroglífics perquè va tenir prou referències: una "xuleta" basàltica en forma de pedra Rossetta i la idea que l'egipci antic podia ser proper al copte de la seva època. La segona clau es refereix al contingut del missatge. Aquest ha de tenir alguna referència comuna amb la civilització alienígena que el rebi. Sembla versemblant que una civilització capaç de captar el missatge sabrà comptar i fer càlculs aritmètics, que seran, si fa no fa, semblants a tot l'univers. Per tant, el contingut del nostre missatge pot ser numèricoaritmètic. Aquesta és la idea a la qual va arribar Ivan Bell, un professor d'anglès que vivia a Tòquio i que l'any 1960 va publicar com un joc a la revista The lapan Times.

El codi d'Ivan Bell consta de 14 missatges que, progressivament, van informant sobre el nostre sistema de numeració i les operacions bàsiques que fem amb els nombres. Cada missatge permet traduir alguns símbols. Aquests poden ser xifres (0, 1, 2, 3... fins a 9), nombres (10, 100, etc.), signes d'operació (suma, resta, potència...). Aquí representarem cada símbol amb una lletra, però els missatges podrien ser també sonors emesos repetidament. No ens hi capficarem amb la forma de transmissió

Ara et convidem a posar-te en el lloc dels extraterrestres que han rebut aquests missatges i que has de descodificar. A continuació et posarem els 14 missatges i, si continues llegint l'article, et comentarem la descodificació i els aspectes interessants de cada missatge. També pots descarregar-te en pdf tots els missatges.

Descarregar en pdf

Missatge 1

A B C D E F G H I J K L M N P Q R S T U V W Y Z

Es presenten els símbols que es faran servir

Missatge 2
AA B	AAAAAAA G
AAA C	AAAAAAAA H
AAAA D	AAAAAAAAA I
AAAAA E	AAAAAAAAAA J
AAAAAA F

Missatge 3
AKALB	CKALD
AKAKALC	BKELG
AKAKAKALD	FKDLJ
BKALC

Missatge 4
CMALB	IMGLB	DMALC

Missatge 5
CKNLC	DMDLN
HKNLH	EMELN

Missatge 6
JLAN	JKJLBN
JKALAA	JKJKJLCN
JKBLAB	FNKGLFG
AAKALAB

Missatge 7
BPCLF	EPBLJ	FPJLFN

Missatge 8
FQBLC	JQBLE	FNQFLJ

Missatge 9
CRBLI	BRELCB

Missatge 10
JPJLJRBLSLANN	JPSLT
JPJPJLJRCLTLANNN	JPTLJRD

Missatge 11
AQJLU	UQJLAQSLV

Missatge 12
ULNWA	VQJLNWNNA
UPBLNWB	VQSLNWNNNA
AWDMALNWDLDPU	JPEWFGHLEFWGH
VLNWNA	SPEWFGHLEFGWH
VPCLNWNC

Missatge 13
GIWIH Y HN	TKC Y T	Z Y CWADAF

Missatge 14

D P Z P NWNNIB R C Q C

Vols veure la descodificació

Tauler infectat

Amb el nom de Tauler infectat apareix al llibre Matemàtica, ¿estas ahí? Episodio 100 aquest interessant problema. No serveix molt com a model de propagació d'epidèmies, però conserva l'aspecte "d'infecció per contacte". El problema és fàcil de plantejar. Imaginem que tenim un tauler de 8x8 en el que algunes caselles estan "infectades".

Cada casella comparteix costats amb quatre caselles més. Si tenim una casella sense infectar que està en contacte amb dues o més caselles infectades també s'infectaran. Així a la imatge següent podem veure quines seran les caselles que s'infectaran a la següent fase. En aquest cas, cada casella nova comparteix exactament dos costats amb infectades.

Aquest procés es va repetint fins que cap casella nova es pot infectar i l'epidèmia s'acaba. Al cas de l'exemple no s'infecten totes les caselles.

Però en aquesta altra, amb una disposició i quantitat inicial de caselles infectades diferent, sí que finalitza amb tot el tauler vermell.

Ja tenim la situació plantejada. Ara venen les preguntes. Per exemple:

• quina és la quantitat mínima de caselles inicials infectades per poder infectar tot el tauler?
• és indiferent com estan distribuïdes?
• observant una disposició inicial, podem predir ràpidament si s'infectarà tot el tauler o no?

Com en molts altres problemes podem investigar-lo fent una reducció: començarem per un tauler de 2x2. Si descartem els casos extrems (una sola casella infectada i tot el tauler) i no tenim en compte simetries i girs tenim tres disposicions inicials.

Aquest cas ja ens dona algunes pistes. En un tauler de 2x2 hi ha un mínim de caselles inicials necessàries: dues. I la disposició sí que importa, perquè si ocupen un costat no hi ha cap infecció nova i sí que hi ha infeccions si ocupen una diagonal.

Ara, abans de continuar, et deixem investigar en taulers de 3x3 i 4x4 amb aquests dos applets fets amb scratch.

Enllaç al programa

Pinta les caselles inicials i prem la tecla "espai" per iniciar

Enllaç al programa

Pinta les caselles inicials i prem la tecla "espai" per iniciar

Continuem l'exploració del problema?

Un joc de cares i creus amb sorpreses (El joc de Penney)

Hi ha problemes que, de vegades, te'ls trobes, no et criden l'atenció i els oblides. I passat un temps, que poden ser anys, te'l tornes a trobar i els trobes superinteressants. I quan comences a investigar... descobreixes que t'havien passat per alt en un altre moment. Això és que m'ha passat llegint el llibre de Matt Parker "Pifias matemáticas". He trobat un problema que no recordava, però que després he descobert que ja havia vist, com a mínim, tres vegades: per descomptat, a un títol de Martin Gardner, Viajes por el tiempo y otras perplejidades, al Cuaderno de Cultura Científica en un article de Miguel Ángel Morales (@Gaussianos) o, fins i tot, a una Matiaventura de Clara Grima. Deixem les lamentacions i passem a mirar el joc que genera el problema. Es coneix com el Joc de Penney en honor a l'autor Walter Penney que el va publicar l'any 1969.

Volem jugar a cara i creu contra una altra persona. Jugar a una sola tirada pot ser molt avorrit. Per tant, jugarem apostant (punts, no cal que siguin diners) a una seqüència de tres tirades.  Tenim vuit ternes per triar que són igual de probables, cosa fa pensar que el joc és també equiprobable.

Un cop cada jugador ha triat la seva terna, que han de ser diferents, es comença a tirar la moneda fins que apareix la seqüència triada per un dels dos jugadors, que guanya el punt. A l'animació teniu un exemple de partida.

Potser hauràs observat a la partida d'exemple que, després de sortir dues creus seguides, l'opció CXC ja no podia guanyar. Si teníem dues creus i continuen sortint creus successivament (per exemple CCXXXXXX) guanyarà XXC en el moment que surti una cara, mentre que CXC ja no podrà sortir mai abans que XXC.

Si has entès el joc et recomanem que ara juguis contra l'ordinador. Per començar cada partida nova has de prémer la tecla espaiadora del teu teclat. A continuació tria la teva opció. Recomanem fer un mínim de deu partides.

Enllaç al programa

T'ha anat bé el joc? O sembla que l'ordinador té alguna mena d'avantatge?

Passar de 12

Aquest problema de probabilitat l'he trobat al llibre Matemagia d'Adrian Paenza. Pot ser molt interessant per treballar-lo a l'aula perquè té un plantejament fàcil i només necessitem uns daus. El podem presentar com un joc:

• Tirem un dau i mirem la cara que ha sortit. El tornem a tirar i sumem el nou resultat a l'anterior... i anem fent així fins que obtenim una suma superior a 12. Veiem un exemple a la imatge. La suma de les tres primeres tirades dona justament 12, però el joc consisteix a passar-se. Per tant ens cal fer una quarta tirada. Obtenim un 4 i arribem a 16.

• La pregunta és: si haguéssim d'apostar, a quin nombre final ho faríem?

Mirem com podem portar el problema a l'aula?