Arrel quadrada 1: el mètode d'Heró

El meu primer contacte personal amb l'arrel quadrada va ser aproximadament a deu anys. Se'm va ensenyar un exigent algoritme que recordava vagament al de la divisió, però amb estranyes alteracions (es baixaven les xifres de dos en dos, es feien dobles tot deixant un foradet al darrere que omplies després de complicats temptejos...). Un cop dominat l'algoritme es passava a una altra cosa. El segon contacte no es va produir fins dos o tres anys més tard que un company (no el mestre) em va proposar un problema de l'estil: "un pagès vol plantar 169 cols de forma que hi hagi tantes files com columnes; quantes cols hi haurà a cada fila?". Vaig resoldre el problema tot fent proves i quan li vaig ensenyar la solució em va dir: "Bé... però només calia fer l'arrel quadrada de 169". Recordaré aquell instant tota la vida. L'arrel quadrada "servia" per a alguna cosa a banda de per torturar les nostres tendres neurones "en formació", resolia alguns problemes. Les cometes del "servia" són degudes a la inexistència de pagesos amb aquestes dèries. Recordo que els meus oncles pagesos de La Mancha tenien altres preocupacions més relacionades amb el temps atmosfèric o els preus fixats pels intermediaris. Tornant al tema: van caldre molts anys perquè em reconciliés amb l'arrel quadrada i va ser gràcies a les seves utilitats numèrico-geomètriques.

Les "arrels quadrades" de l'Ànec Donald al País de les Matemàtiques

Estarem ràpidament d'acord, confio, que aprendre l'algoritme tradicional amb llapis i paper de l'arrel quadrada és absolutament innecessari. Però també estarem d'acord que treballar mètodes resoldre'n alguna, per algun altre mètode i sense utilitzar la tecla corresponent de la calculadora, ens ajudarà en la comprensió del(s) seu(s) significat(s). També, com no, analitzar algoritmes històrics és un treball matemàtic de primer ordre.

Per aquesta raó iniciem una petita sèrie sobre algoritmes de l'arrel quadrada semblant a la que vam fer sobre la divisió. I res millor que començar per un algoritme que dona sentit geomètric a aquesta operació: l'algoritme d'Heró d'Alexandria.

LOA (Lines of Action): un sorprenent joc de tauler

El LOA és un joc d'estratègia que, pel seu objectiu, podríem classificar en la categoria de jocs de connexió o d'alineació. Però la seva originalitat rau en les regles de moviment, rotundament inusuals i sorprenents. També el fet de l'existència de captures que poden proporcionar, a la vegada, avantatges i inconvenients. El joc va ser inventat a l'any 1960 pel canadenc Claude Souci i publicat pel seu amic, el també inventor de jocs Sid Sackson, a l'any 1969.

El material bàsic és fàcil d'aconseguir: un tauler de dames (8x8) i 12 fitxes de cada color que es disposen inicialment tal com es veu a la imatge:

Vols conèixer les regles i jugar?

"¿Pero esto también es matemática?" + Un problema de caramels

Adrián Paenza és matemàtic i periodista esportiu però, sobretot, un magnífic divulgador matemàtic de gran èxit a l'Amèrica llatina. Té un programa setmanal a la televisió argentina del qual podem trobar moltes píndoles a Youtube. A Espanya s'havien publicat dos dels seus cinc primers llibres i ara també el darrer ¿Pero esto también es matemática? Totes les seves obres, inclosa aquesta darrera, també les podem trobar en format pdf a internet alliberades pel mateix autor.

Els textos de Paenza són sempre clars i la tria de problemes i situacions a descriure molt variada i ben feta. És un autèntic plaer acostar-se a la seva obra i, si mireu els vídeos, a la seva persona. Voldria destacar uns fragments del capítol No sé d'aquest llibre perquè conté una autèntica declaració de principis. I, a continuació, plantejarem un dels problemes del llibre.

   "Es curiosa la dificultad que tenemos los humanos para decir “no sé, no entiendo”. Y es curioso también cómo se va modificando a lo largo de los años, porque los niños no tienen difi cultades en preguntar “¿por qué el cielo es azul?” o “¿por qué mi hermanito tiene ‘pitito’ y yo no?” o “¿por qué gritaban ustedes dos ayer por la noche?” o ¿por qué el agua moja y el fuego quema y la electricidad ‘da patadas’?”. Y siguen los porqué. (../..) Pero a medida que el tiempo pasa empiezan los rubores, los temores y uno ya no se siente tan cómodo cuando se exhibe falible o ignorante. La cultura se va filtrando por todas partes y las reglas empiezan a encorsetar. Uno se empieza a sentir incómodo cuando no entiende algo. Y la sociedad se ocupa de remarcarlo todo el tiempo".

(../..)

   "Yo creo que uno debería tratar de estimular la prueba y el error. O, mejor dicho, de estimular que el joven pruebe y pruebe, que pregunte y pregunte, y que busque él/ella la vuelta para ver si le sale o si entiende lo que en apariencia le resulta inaccesible.
   Sobre todo invito a los adultos a que nos asociemos a la búsqueda  con ellos, a mostrarnos tan falibles como ellos, sobre todo porque  SOMOS tan falibles como ellos, y no estaría mal mostrarnos tan  apasionados por entender como ellos, tan curiosos como ellos.
   En definitiva, el saber es algo inasible, difícil de definir. Y  perecedero, salvo que uno lo riegue todos los días. ¿Qué quiere decir saber algo? Una persona puede saber cuáles son todos los pasos para conducir un auto, pero eso no significa que sepa manejar. Un cirujano, no bien egresa de la facultad de medicina, puede creer que sabe lo que tiene que hacer. De allí a poder operar, hay un trecho largo.
   Por eso, el único camino es la pregunta, la duda y el reconocimiento constante del “no sé, no sé cómo se hace; no entiendo; explicámelo de nuevo”.
  Y eso es lo que creo que nos falta como sociedad: seguir como cuando éramos niños, sin pruritos ni pudores. Era el momento en el que no saber era visto como una virtud, aceptado por los adultos por la ingenuidad que contenía y porque la película estaba virgen y estaba todo por entender. Quizás uno llegue a la conclusión de que en esencia conoce poco y de muy poquitas cosas, pero la maravilla de la vida pasa por el desafío de descubrir. Y de poder decir “no sé, no entiendo”.

Voleu conèixer el problema "caramels per a tots"?

Un llibre amb problemes històrics: "Expediciones matemáticas"

El subtítol d'aquest llibre de Frank J. Swetz, publicat per La esfera de los libros, diu "L'aventura dels problemes matemàtics a través de la història". Hauríem d'aclarir que la majoria dels 500 problemes que recull són el que l'autor anomena problemes descriptius, que, per entendre'ns, serien de l'estil dels problemes d'aplicació que trobem encara actualment a molts llibres de text. La lectura d'aquests problemes fa venir una certa esgarrifança quan ens fa pensar que els manuals matemàtics no han canviat gaire des de les tauletes babilòniques de fa cinc mil anys. Mirem, si no, un exemple que el llibre qualifica com "el més antic dels problemes descriptius conegut":

Un graner de civada. Un home rep 7 sila de gra. Quants eren els homes?
(1 graner =  2 400 gur; 1 gur = 480 sila)

La diferència democràtica és que els manuals (en la forma que siguin: tauletes, papirs, rotllos, llibres manuscrits, impresos...) de l'antiga Mesopotàmia, Egipte, Grècia... provinents de la cultura xinesa, hindú... estaven adreçats a la preparació d'especialistes que gaudirien de grans o petits privilegis, mentre que als llibres de text l'objectiu és que eduquin al conjunt de la població. Un altre tema és pensar que aquests tipus de problemes són els que han de centralitzar l'educació matemàtica dels nostres infants.

De com els pirates cruels es reparteixen el botí

Al llibre Locos por las matemáticas el divulgador matemàtic Ian Stewart dedica un capítol (Apuradas piruetas entre piratas) a estudiar un problema de lògica força interessant per la seva sorprenent solució. L'enunciat és el següent:

“Deu pirates s'han fet amb un tresor de cent peces d'or i se'l volen repartir. Són pirates democràtics, a la seva manera, i tenen el costum de fer els repartiments de la següent forma. El pirata més cruel fa una proposta de repartiment i tots voten: cadascú té un vot, inclòs el que fa la proposta. Si s'obté un 50% o més dels vots a favor, la proposta s'aprova i es posa en pràctica. En cas contrari, el proposant és llançat per la borda i es repeteix el procediment amb el següent pirata més cruel. 

Tots els pirates frueixen llençant gent per la borda, però si els dónes a triar s'estimen més tenir diners a la butxaca. No els agrada ser ells mateixos els llançats per la borda. Tots els pirates són racionals, saben que els altres pirates són racionals, saben que ells saben que.... (../..) No hi ha dos pirates igualment cruels, de forma que hi ha un ordre per fer propostes precís, que és conegut per tots ells. Per acabar, les peces d'or són indivisibles i no es permeten acords per compartir peces (donat que cap pirata confia en que els seus col·legues respectin un acord d'aquesta mena). Cadascú es preocupa només d'ell mateix. 

Quina proposta maximitzarà els guanys del pirata més cruel?"

Atzar i cromosomes

La investigació genètica és un dels camps científics que més canvis està provocant en la nostra vida quotidiana: en l'alimentació, en l'erradicació i curació de malalties... Molts dels seus avenços són també objecte de discussió: la clonació, l'ús de cèl·lules-mare, les possibles repercussions dels aliments transgènics... Sense entrar en aquestes importants qüestions ètiques relacionades amb la genètica farem una petita mirada a alguns aspectes que relacionen els gens amb la probabilitat.

 

Primer recordarem que la informació genètica es guarda en l’ADN cel·lular i que llargues cadenes d’ADN formen els cromosomes. Podríem dir que la informació genètica és com una enciclopèdia: els cromosomes són els diferents toms i les seqüències d'ADN els capítols que expliquen com hem de ser (el color dels ulls, el grup sanguini, etc.)

Estudiem alguns casos?

Baralla't amb la baralla

Al número 6 de la revista Cacumen (juliol 1983) apareixia un article amb el títol La baraja matemàtica signat per Medea Juraido (molt probablement un pseudònim) on, a més d'una petita història dels naips (el seu origen xinès, l’existència de cartes rodones i altres curiositats...) ens proposa utilitzar les cartes com un petit laboratori matemàtic. Per practicar en aquest laboratori ens convida a experimentar amb tres problemes que plantejarem a continuació. Però, atenció, cal anar a buscar les cartes per practicar!

Un dels avantatges que ens proporcionen les cartes és la possibilitat d'experimentació ràpida. Imaginem, per exemple, que hem de resoldre un quadrat màgic. Què és més fàcil? Escriure i esborrar nombres sobre un paper? O bé, anar intercanviant cartes si la disposició que hem preparat no és la que es correspon amb el problema que investiguem?

Vols conèixer els tres problemes?

Hasta el infinito y más allá

Clara Grima, amb la col·laboració en les il·lustracions de Raquel Garcia Ulldemolins, és una activa i experimentada "bloggera" de la divulgació matemàtica. Els seus matecontes els podem trobar a Mati y sus mateaventuras i Mati, una profesora muy particular. En ells trobarem a la Mati, els nens Sal i Ven i al gos Gauss. I matemàtiques, moltes matemàtiques. Ara algunes d'aquestes mateaventures s'han recollit en forma de llibre. Benvingut sia.

Vols saber més sobre el llibre?

Prenem-li la temperatura al termòmetre

El termòmetre és l’aparell que utilitzem per a mesurar la temperatura. Els termòmetres clàssics es basen en la propietat que tenen les substàncies de dilatar-se amb la calor. Si triem una substància que, entre altres factors, es dilati d'una forma prou regular podrem mesurar temperatures a partir de les seves variacions de longitud producte de la dilatació.

A principis del segle XVIII, el físic alemany Daniel Gabriel Fahrenheit (1686 – 1736) va fabricar el primer termòmetre de mercuri. El mercuri té l’avantatge que es manté líquid entre -38,9 °C i  356,7 °C.

El problema més curiós que tenim amb els termòmetres és que es graduen amb escales diferents segons el país o l’àmbit en què s’utilitzen.

Vols saber com graduar un termòmetre?

Obrint i tancant portes

Aquest problema va aparèixer al n. 5 de la revista Cacumen (juny de 1983) en un recull sobre Martin Gardner. També Adrián Paenza l'explica al seu llibre Matemática, ¿estás ahí? Episodio 100.

El problema es pot plantejar perfectament al cicle superior de primària arribant a deduir el patró que el soluciona. A secundària podem plantejar-nos, a més, esbrinar el perquè d'aquest patró.

Imaginem un hotel amb un grum juganer. Una nit organitza el següent joc. Demana pels altaveus a totes les habitacions que  obrin les portes (Posem que hi ha 100 habitacions, encara que a l'applet que acompanya el problema només n'hem posat 25). Després ordena: "Que les portes parells es tanquin!". Així les portes 2, 4, 6... queden tancades i les 1, 3, 5... queden obertes. Després torna a donar una altra ordre. "Que les habitacions múltiples de 3, canviïn la seva situació!". Canviar la situació significa que si la porta està oberta s'ha de tancar, i si està tancada, s'ha d'obrir. Així la porta 3, que estava oberta, s'haurà de tancar, però la 6, que estava tancada, s'haurà d'obrir. Després el grum va seguint: "Els múltiples de 4 que canviïn la seva situació!". "I ara els múltiples de 5!". I continua.

Al final del joc... quines portes quedaran obertes?

Podeu practicar amb aquest applet on obrireu i tancareu les portes clicant a sobre.

Enllaç al projecte en Scratch

Comentem com portar el joc a l'aula?