Divisió 3: la divisió àrab

Així com podem entendre la multiplicació com una suma repetida, es pot considerar la divisió com una resta repetida. Al Traité d'Arithmetique de J.A. Serret (1887) podem llegir:

"La divisió es pot fer amb l'ajut de la sostracció. Es vol, per exemple, dividir 14 per 4, es restarà 4 de 14, el que donarà residu 10; s'ha de restar de la mateixa manera 4 de 10, el que donarà el residu 6; es restarà encara 4 de 6, el que donarà el residu 2, inferior a 4. Es veu que del dividend 14, es pot restar successivament tres vegades el divisor 4, i que s'obté llavors un darrer residu 2, inferior a 4, per tant, 3 és el quocient de la divisió de 14 per 4.

Aquest procediment, que condueix fàcilment al resultat en l'exemple que hem triat, seria sovint impracticable si es volgués aplicar directament d'aquesta forma. Caldrà, doncs, modificar-lo"

El que fa "impracticable" el mètode és la seva lentitud amb nombres més grans, per exemple dividir 8765 entre 6 restant els sisos d'un en un. La "modificació" consistirà, doncs, a accelerar el procés combinant multiplicacions i restes. És el que fa el nostre algorisme actual, hereu del que presentem en aquesta entrada al bloc: l'algorisme àrab.

T'animes a conèixer aquest algorisme?

Divisió 2: la divisió per "replecs"

Aquest algorisme no acostuma a aparèixer als llibres d'aritmètica antics. El trobem, però, al Tratatto di numeri et mesuri de Nicolo Fontana, més conegut com a Tartaglia, llibre que es va publicar l'any 1556. Tartaglia el descriu com un mètode "gentile e bello".

És un sistema que té avantatges clars però també limitacions evidents. La idea és la següent:

• les divisions per una xifra són més fàcils que les de dues, tres... fins i tot es poden fer "de cap"
• moltes divisions de més d'una xifra es poden descompondre en dues o més divisions d'una.

A l'aula podem fer l'experiència de preguntar: que t'estimes més? Una divisió per dues xifres o dues divisions per una xifra?

Mirem un exemple.

A cadascuna de les divisions li diem replec. El cas anterior és fàcil perquè la divisió és exacta. Però mirem un segon cas.

El quocient és 281. Però quin és el residu? Dos? Tres? O cap dels dos?

Vols mirar com esbrinar el residu dividint per replecs?

Divisió 1: la divisió egípcia

Iniciarem un petita sèrie d'entrades dedicada a conèixer diferents algorismes històrics de la divisió. I el millor és començar per un dels  més antics i clars que existeixen: l'egipci.

La numeració egípcia és purament additiva. Té un símbol per les unitats, un altre per les desenes, un altre per  les centenes... i així per a cada potència de 10. I s'escriuen tants símbols com calen per representar el grau d'unitat corresponent. El 348 tindrà tres símbols de centena, quatre de desena i vuit d'unitat. Podeu practicar aquesta numeració en aquest enllaç (i si voleu saber més sobre numeracions antigues navegueu pel web Càlculus).

Operar amb aquests nombres no es fa especialment difícil. En concret la multiplicació egípcia es basava en un interessant sistema de duplicacions successives i, aquest mateix sistema s'emprava per realitzar les divisions. No cal memoritzar les taules de multiplicar, potser l'única la del 2. El que hem de saber és duplicar i sumar.

Voleu conèixer la divisió egípcia?

"Elogio de la irreligión" de John Allen Paulos

Potser perquè no és un llibre exclusivament de matemàtiques aquest títol del divulgador i matemàtic John Allen Paulos, publicat al 2009, ha passat una mica desapercebut. Però qualsevol obra de l'autor d'El hombre anumérico o Un matemático lee el periódico sempre té punts d'interès. Tal com es viu el tema religiós als Estats Units, on segons estadístiques que es comenten al llibre, els ateus són els que produeixen un major índex de desconfiança, no deixa de ser una iniciativa valenta escriure i publicar una obra d'aquest tipus.

No és tanta la distància entre un ateu i un creient. Si d'una bossa que conté mil euros una persona agafa un i una altra no n'agafa cap no hi ha gaire diferència de diners entre els dos. La majoria de creients tria un sol déu entre els centenars o milers existents (hi ha alguna estadística?) mentre que els ateus no n'agafen cap. Un creient només creu en un déu més que un no creient.  Aquest pseudoargument ja dóna per obrir un debat.

I aquí rau el problema. Es pot argumentar des de la lògica l'existència de déu? O, per contra, des de la lògica es pot desmuntar qualsevol intent de demostració de la seva existència? Aquest llibre s'inscriu en la segona línia. La seva pregunta inicial és: "Hi ha alguna raó lògica per creure en Déu?"

Soldats amb un gos a mitjanit

La novel·la El curiós incident del gos a mitjanit de Mark Haddon ens explica, en primera persona, la història d'un noi de 15 anys, Cristopher Boone, que té síndrome d'Asperger.

En Cristopher té un gran interès per les matemàtiques i al llibre van apareixent petites reflexions sobre els nombres així com els problemes que el seu protagonista va resolent. Un d'ells és el del Soldats de Conway, problema inventat per John Conway al 1982. Aquest problema es resol amb fitxes sobre un tauler de cel·les il·limitades.

T'animes a conèixer-lo i a jugar-hi?

Quants passatgers han perdut el tren?

Si us va agradar el problema dels pingüins al voltant del forat aquí en teniu un altre de l'estil. En aquest joc també es tracta de buscar la regla amagada, la llei. Per jugar calen sis daus. Vegem una jugada.

• La persona "directora" del joc tira els sis daus i, per exemple, treu aquest resultat.

• Un dels membres del grup demana: "Quants passatgers han perdut el tren?·

• Llavors la "direcció" mira el resultat dels daus i, aplicant la regla secreta, contesta: "Hi ha 4 passatgers que han perdut el tren"

Vols intentar endevinar la regla?

Tallar i multiplicar

Per a SM, per "donar idees" sempre

Hi ha problemes que són especials, i el que ho fa, és la possibilitat d'explorar-los de formes diferents segons el nivell educatiu en què ens moguem. Això vol dir que el problema no s'esgota. Que permet diferents aprofundiments i que, com aquest, ens porten de la primària al batxillerat. Mirem una forma "bàsica" d'enunciar-lo:

Si tallem un nombre en diferents parts i les multipliquem entre si... com podem obtenir el producte màxim?

Per exemple, 37 es pot tallar en tres trossos: 5, 12 i 20. El producte és 1200. Es pot obtenir un producte més gran?

 

 
Comencem a estudiar el problema?

Combinar i comptar (joguines, poemes, discursos...)

Hi ha joguines clàssiques infantils que conviden a combinar caps, cossos i peus de diferents animals per formar-ne uns de nous més divertits. A sota teniu una minimostra per a fer-nos a la idea. Però... quants animals diferents podem arribar a fer? Les peces de sota són poques i permeten trobar totes les possibilitats experimentant. Però  si afegim una peça amb un cos i dues amb altres peus... quants animals podrem fer ara?

Introduint, a poc a poc, peces noves passarem a fer observacions que ens portaran cap al producte. I en un d'aquells significats de la multiplicació que menys s'acostuma a treballar a les escoles.

Vols fer més combinacions diferents creant un bestiari imaginari o construint paisatges?

I conèixer les "màquines de fer poemes" o de "fer discursos"? I la de fer música?

Llibres d'ocasió i Dudeney

Des del 21 de setembre al 7 d'octubre a Barcelona tenim la 61a Fira del Llibre d'ocasió. Una bona excusa per passejar, remenar i, probablement, tornar a casa amb algun llibre a la butxaca. Fàcilment trobarem antics manuals de matemàtiques, la majoria sense gaire interès. Però també podem sorprendre'ns amb petites joies. Una altra possibilitat és la de trobar d'oferta llibres de col·leccions ja desaparegudes. Enguany estan a bon preu alguns dels volums de la Biblioteca de Desafíos matemáticos que fa uns cinc anys va publicar RBA. Llibres de Martin Gardner, Édouard Lucas, Perelman, Brian Bolt, Pickover... No està la col·lecció completa però déu-n'hi-do. Jo he tornat amb tres recull de Henry E. Dudeney, un dels grans creadors de problemes que va treballar a cavall entre els segles XIX i XX. Un dels seus trencaclosques més és el que transforma un triangle equilàter en un quadrat.

Mirem un parell de problemes?

Mesures senyeres. Alguns nombres sobre la bandera.

La vexil·lologia tracta de l'estudi de les banderes. Vexillum, en llatí, significa "bandera". Si mirem el vocabulari vexil·lològic descobrirem que la nostra senyera no té quatre barres sinó que consta de quatre faixes. Les franges horitzontals es diuen faixes i en vertical pals. Barres i bandes queda per les disposicions en diagonal. Una forma d'assenyalar amb un sol vocable la direcció que han de tenir.

No hi ha gaire normativa sobre la senyera però sembla que la recomanació vexil·lològica és que la seva proporció sigui 2:3 i que cada banda faci 1/9 del total. Mireu si la que heu penjat al balcó (si és que ho heu fet) sigui vexil·lològicament acceptable.

Quant mesura la senyera més gran del món?