El dolç pler de passejar a l'atzar

Per la incertesa

de molts camins faig via;

tu m'acompanyes

Miquel Martí Pol

Al seu llibre Circo matemático en Martin Gardner deia. "Els matemàtics tenen el pertinaç costum d'analitzar tot el que és analitzable, i les caminades sense rumb no anaven a ser una excepció". Un passeig aleatori consisteix bàsicament a deixar a la sort la direcció de cada pas que donem. Aquestes passejades se solen estudiar en una, dues i tres dimensions i tenen aspectes que van contra la intuïció. De les passejades unidimensionals (sobre una línia) ja vam parlar a l'entrada Casualitats, creences, impressions... i allà mostràvem que, contra el que podríem pensar en primera instància, si sortim d'un punt i optem a cara o creu si anem cap endavant o cap endarrere no estem creuant el punt d'origen una vegada i una altra sinó que passem molta estona a un dels costats.

Obrir l'applet (flash)

Ara ampliarem algunes idees, parlarem de les de dues i tres dimensions i farem alguna proposta per a l'aula.

Passejades unidimensionals

Imaginem que tenim un tauler lineal amb 9 caselles. Sortirem del centre i, tirant una moneda, decidirem si anem a la dreta o a l'esquerra. Si ens sortim del tauler acaba el joc "negativament". Si tornem a la casella central acaba "positivament".

Una primera pregunta que ens podem fer és; quina és la probabilitat de tornar a estar a la sortida al 3r moviment? Penseu abans de continuar llegint.

La resposta és zero, impossible. Si imaginem pintades les caselles alternativament en blanc i negre a cada moviment canviem de color. Necessitem doncs una quantitat parell de moviments per tornar a una casella del mateix color. Només podrem tornar a l'origen al 2n moviment, al 4t, al 6è, etc.

Podem analitzar les probabilitats d'estar a cada casella a cada moviment. En aquest applet es mostren els càlculs.

Obrir l'applet (flash)

Podem observar que les probabilitats de tornar al centre van minvant a mesura que augmentem la quantitat de moviments: és del 50% als 2 moviments, del 37,5% al quart, del 31,25% al 3r... i del 14,66% si ens allarguem fins al 20è.

Això ens pot fer pensar que és més fàcil sortir-se'n del tauler que tornar al centre. Però si experimentem descobrirem que és "escandalosament" més probable tornar al centre.

Obrir l'applet (flash)

Una aparent paradoxa entre probabilitat calculada i probabilitat experimental? Una prova que el problema és més complicat del que sembla?

Passem a estudiar les passejades aleatòries en dues dimensions?

Jo sé que tu saps que jo sé... el "problema impossible" i el "problema viral de Singapur"

Corren uns temps polítics en el que el "jo sé que tu saps que jo sé que saps que sabem que saps que sé que sabem que..." està a l'ordre del dia. Prescindint de raons (entenent-les com motius i no arguments) la situació fa recordar la genial "batalla d'enginy" entre Vizzini i el Pirata Roberts a la pel·lícula La princesa promesa, tot i que ara no sabem qui acabarà prenent el verí i si es farà per voluntat o per la força.

En tot cas hi ha alguns problemes matemàtics que no es poden resoldre sense saber què saben i deixen de saber alguns dels seus protagonistes. Potser el més popular és els de les edats de les tres germanes (A i li diu a B que té tres filles, que els productes de les edats és 36, que la suma és el número de casa del carrer on viu B i quan B diu que no ho pot resoldre A li reconeix que té raó i afegeix la informació de què la més gran toca el piano). En aquest tipus de problemes la gràcia rau en el fet que tenim una aparent manca de dades per contestar els que se'ns demana, però justament les dades amagades són el que els protagonistes reconeixen a cada moment què saben o què desconeixen.

Probablement, el rei d'aquests problemes és el que en Martin Gardner va batejar com "el problema impossible". Plantegem-lo en una de les seves versions clàssiques.

---

L'Albert, el Blai, el Pere i el Sergi vitajen en la seva superbicicleta. Mentre en Blai pedala sent la següent conversa entre els altres tres.

     - Albert: He triat dos números, no necessàriament diferents, entre 2 i 20. A tu Pere et dono un paper on he anotat el seu producte. A tu Sergi te'n dono un altre on he anotat la seva suma.

- Pere: Amb el producte no en tinc prou per saber els nombres.

- Sergi: Això ja ho sabia jo.

- Pere: Doncs ara ja sé els nombres.

- Sergi: I ara jo també.

Mentre li donava als pedals en Blai anava fent números amb el cap i al cap d'una estona va dir: "Jo també sé ara quins són els dos nombres".

De quina parella de nombres es tracta?

---

Abans de mirar la solució, que només demana algunes nocions de divisibilitat bàsiques, no us en priveu d'intentar la seva resolució.

Després de la solució d'aquest "problema impossible" us en parlarem d'un més accessible: "el problema viral de Singapur" que va córrer viralment pels mitjans de comunicació i les xarxes socials l'abril del 2015.

Continuem?

Despenjant quadres algebraicament (o gairebé)

En jocs, com ara els escacs o el futbol, acceptem participar en una mena de realitat irreal i amb unes regles pactades per la pura satisfacció que obtenim mentre juguem. No qüestionem la lògica de les regles ni la dels objectius. Les virtuts o defectes d'aquestes normes i finalitats són, precisament, les que diferencien els bons i els mals jocs. Per altra banda, si mirem l'objectiu final d'un joc observarem que té sempre forma de repte (alinear tres fitxes, encistellar més pilotes que el contrari). Si analitzem les normes veure que les condicions delimiten la forma d'assolir aquest objectiu (hem de colpejar la pilota amb una raqueta i no amb qualsevol part del cos, la torre mou en vertical o horitzontal). Si ho mirem així veurem que les matemàtiques tenen molt de joc. Per exemple, a l'antiga Grècia només s'acceptava dibuixar un triangle (objectiu) amb un regle sense graduar i un compàs col·lapsable (regles). A partir del repte decidim si volem jugar. Com que és un joc no li demanem sentit pràctic. El repte que us presentem avui té aquestes característiques. Un repte sense cap utilitat pràctica directa, però que ens pot enganxar per poc que aprofundim una mica intentant generalitzar-lo.

Imaginem que tenim un quadre penjant d'un clau, mitjançant una corda, com el de la imatge. No cal dir que si traiem el clau el quadre caurà.

Ara imaginem que pengem el quadre de dos claus A i B.

Si traiem el clau A el quadre no caurà perquè encara penjarà del B. Si traiem el clau B el quadre quedarà penjant de l'A.

El problema és justament aquest:

Com podem posar la corda perquè el quadri s'aguanti amb els dos claus, però si en traiem un qualsevol, A o B, el quadre caigui?

En aquest petit vídeo podem veure que és possible.

Us proposem que proveu de buscar una solució abans de continuar llegint. Si us animeu després podeu provar de trobar alguna solució per a tres claus.

A continuació explicarem les solucions i, el que és més important, veurem com un tipus d'anotació determinada ens pot ajudar a trobar fàcilment solucions diferents per a tres claus, quatre, cinc, sis...

Segueix llegint i... no et quedis penjat

Problemes a sobrebot

Per acomiadar el curs i aprofitar el relaxament estiuenc us proposarem alguns dels problemes que Martin Gardner va recollir i descriure com per resoldre "al bot", de forma ràpida. Apareixen al vuitè capítol del seu llibre Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas. Gardner recull 38 problemes del tipus "idea feliç". Són reptes de diferent dificultat, però que sempre es poden resoldre de forma més fàcil i ràpida si, tal com diu l'autor, "se'ls enfoca adequadament". Tot seguit us en presentem una tria respectant la numeració original.

• Problema 1. Es vol construir l'esquelet d'un cub de filferro rígid de 10 cm de costat. Disposem de 12 varetes de 10 cm de longitud soldant-les de tres en tres als vuit vèrtexs del cub. Un amic suggereix que utilitzant varetes més llargues i doblegant-les en angles rectes als vèrtexs reduiríem els punts de soldadura. Fent cas al nostre amic... quin seria el nombre mínim de vèrtexs a soldar per construir un cub rígid?

• Problema 3. Tenim el rei a un angle de la diagonal del tauler i un cavall a l'angle diagonalment oposat. El cavall és el primer a moure. Durant quantes jugades podrà el rei evitar l'escac?

• Problema 7: Tracem amb un llapis negre una corba tancada de forma arbitrària.

Amb un llapis vermell, i per sobre de la negra, dibuixem una segona corba tancada amb la condició de no passar mai per una de les interseccions que es vagin creant.

Assenyalem amb un cercle cadascun dels punts on una corba talla l'altra.

Cal demostrar que la quantitat de punts obtinguts és sempre parell.

• Problema 8. Poseu un símbol matemàtic entre el 2 i 3 per expressar un nombre més gran que 2 i més petit que 3.

• Problema 10. Cadascun dels costats iguals d'un triangle isòsceles és de longitud unitat. Sense ajut del càlcul diferencial cal trobar la longitud del costat desigual de forma que l'àrea del triangle sigui màxima.

• Problema 14. L'any 1938 es va publicar a la revista Time que un tal Samuel Isaac Krieger havia descobert un contraexemple del teorema de Fermat. El teniu a la imatge inferior. Tot i no revelar l'exponent un periodista del New York Times va poder demostrar fàcilment que Krieger estava equivocat. Com ho va fer?

• Problema 16. S'agafa a l'atzar un punt situat a uns quants quilòmetres de l'edifici del Pentàgon. Quina és la probabilitat de què des d'aquest punt es vegin tres dels seus costats?

• Problema 19. La "superdama" o "amazona" és una reina d'escacs dotada també del moviment del cavall. Com situarem quatre "superdames" en un tauler de 5x5 sense que cap d'elles amenaci a les altres? I, si ho aconseguiu, com poder col·locar 10 "superdames" en un tauler de 10x10?

Caselles amenaçades per la "superdama".
En verd les que amenacen el moviment de cavall

• Problema 24. Al nostre país una data com el 6 de desembre de 2014 l'escrivim 6/12/14. Als països anglosaxons, en canvi, escriuen primer el mes i després el dia: 12/6/14. Si no sabem quin dels sistemes s'utilitza, quantes dates quedarien indeterminades al llarg d'un any?

• Problema 29. A una circumferència li inscrivim i li circumscrivim un parell d'hexàgons regulars. Si l'àrea de l'hexàgon inscrit és de tres unitats de superfície, quina és la de l'hexàgon circumscrit?

• Problema 33. Disposem d'un cub vermell i d'una provisió suficient de cubs blancs d'idèntica grandària. Quin és el nombre més gran de cubs blancs que podem col·locar en contacte amb el cub vermell? Entenem que "està en contacte" si un tros de superfície de la cara d'un cub blanc toca un tros de superfície d'una de les cares del cub vermell. Els contactes pels vèrtexs o les arestes no compten.

Intenta fer els problemes. I si no... continua llegint per veure les solucions.

Vigilants a l'Eixample (o els policies miops)

Aquest problema apareix al quart llibre de la sèrie Investigando las matemáticas (R. Fisher i A. Vince) que l'editorial Akal va publicar l'any 1990. També es va plantejar a la fase final del Fem Matemàtiques 2011. És una bona investigació sobre recerca de regularitats i generalització.

La situació és la següent: tenim un conjunt d'illes iguals de cases, posem-ne com les de l'Eixample de Barcelona. En la situació d'exemple tenim un rectangle de 4x7 illes. Si col·loquem un vigilant a una cruïlla només pot observar els carrers que s'hi troben a la cruïlla i el seu abast visual és de la longitud d'una illa, és a dir, fins a la cruïlla següent (a l'Eixample serien 100 m). Quin és el nombre mínim de vigilants que calen per controlar tots els carrers?

Pots practicar amb aquest applet enllaçat clicant sobre els botons que hi ha a les cruïlles.

Enllaç a l'applet (flash)

Si observes la solució mínima (que imaginem que hauràs obtingut sense dificultats especials o, si més no, després de no massa proves) veuràs que la distribució dels vigilants segueix un patró força regular. La investigació que proposem és justament aquesta: es pot saber la quantitat mínima de vigilants, sense distribuir-los, coneixent quantes illes té cada costat del rectangle.

T'animes a investigar?

Amebes patronals

Sovint a les aules, tant a educació infantil, com a primària i secundària, treballem amb patrons, ja sigui demanant que se segueixi  a partir d'unes instruccions clares o bé fent cercar la llei que genera la sèrie. Encara que hi ha molts patrons numèrics la majoria de vegades els acostumem a proposar de forma visual. Fora bo que també ho féssim més sovint amb materials manipulatius. Els patrons que presentem poden ser de repetició o de creixement.

Exemples de patrons freqüents d'educació infantil

Un tipus de patró, no tan habitual, són els que presentem avui: patrons de moviment. Al seu llibre Aún más actividades matemáticas Brian Bolt els anomena "formes ameboides". La idea és presentar una sèrie d'imatges successives i es demanen diverses coses:

• quines seran les imatges següents
• descriure la llei
• esbrinar si la sèrie farà un cicle tornant en algun moment a la primera posició i, en aquest cas, quant es trigarà.

Veiem un exemple:

Per endevinar el patró haurem de fixar-nos en el que es manté entre cada dibuix, en el que varia i en com varia.

En aquest cas la solució seria aquesta:

Potser o veiem més clar si ho mostrem en moviment i pintant de gris les caselles fixes.

Continuem?

Les tires dels tiris: tancant àrees màximes

"Esglaiada per tot, Dido preparava la seva fugida i la dels seus companys. Se li uniren tots aquells que sentien pel tirà un cruel avorriment o un temor agut. S'emparen d'uns vaixells que casualment estaven quiets i els estiben d'or. Són confiades al mar les riqueses que Pigmalió cobejava: una dona capitaneja l'empresa. Arribaren en aquest país, on ara veuràs sorgir unes enormes muralles i la nova ciutadella de Cartago, un cop adquirit un solar, que d'aquest fet es digué Birsa, tot el que hom podia envoltar amb la pell d'un toro." 

L'Eneida (I-359)

 Amb aquestes paraules el poeta Virgili ens explica, de forma breu, la fugida de la princesa fenícia Dido de la ciutat de Tir acompanyada d'alguns fidels. Arribats a la costa nord d'Àfrica, prop de l'actual Tunísia, va aconseguir que el jerarca local Jarbas li cedís tot el terreny que pogués abastar amb la pell d'un brau. La idea de Dido, segons la llegenda, va ser fer tallar la pell en tires molt primes (que els tiris facin la tira de tires ha de ser d'allò més natural) i lligar-les formant una gran corda. El problema ve ara: quina forma ha de tenir la figura tancada amb la corda per obtenir la màxima àrea?

De vegades tendim a pensar que figures amb un mateix perímetre tindran la mateixa àrea. Però una figura com la que es veu a continuació ens mostra que no és així.

Cercar la figura que amb un mateix perímetre tanca una àrea màxima és una bona investigació per realitzar a l'aula. És una activitat que podem treballar a diferents nivells segons el curs en què la realitzem. El podem "atacar" des del cicle superior de primària fins a batxillerat, segons l'enfocament que li donem.

La seqüència que us proposem comença per estudiar el cas dels triangles, per passar a quadrilàters, pentàgons, polígons regulars... i acaba amb una petita recreació matemàtica.

Mirem la seqüència?

Girar per guardar els secrets

A l'activitat Missatges secrets del Calaix +ie es mostrava una tècnica criptogràfica de transposició basada en una graella giratòria, però no es proposava cap activitat per a l'aula en el vessant més interessant d'aquest mètode: el disseny de la graella. Intentarem ara pal·liar aquella omissió.

Els algoritmes de transposició es basen a provocar un desordre aparent en les lletres del missatge de forma que, barrejades, formin un text inintel·ligible per a un possible interceptor del missatge. Es tracta de "desordenar ordenadament". El receptor del missatge només ha d'aplicar l'algoritme "desordenador" a la inversa per tornar a deixar el missatge "clar". En general, es considera que són mètodes d'encriptació febles i, normalment, només s'utilitzen combinats amb altres mètodes, és a dir, com a formes de complicar la vida als criptoanalistes ("desxifradors" de missatges).

L'escítala espartana és un dels mètodes de transposició més antics

El mètode que comentem avui es basa en una graella, per exemple de cartolina, que té uns forats i que, girant-la convenientment, ens permet intercanviar missatges encriptats. Veiem un exemple.

En primer lloc hem de disposar una graella clau. Aquesta graella l'han de tenir tant l'emissor com el receptor. Les característiques fonamentals de la graella són les següents:

• ha de ser un quadrat de n·n caselles i n ha de ser parell
• ha de tenir tants forats com la quarta part de la quantitat de caselles de la graella
• en girar-la successivament 90° una mateixa casella no pot quedar dues vegades destapada.
• totes les caselles han de quedar alguna vegada destapades.

Vols veure com s'utilitza i com crear-ne una graella clau?

Ta-Te-Ti boig i Tripos: dues variants del tres en ratlla

El tres en ratlla és, probablement, el joc d'alineació més antic que es coneix. En la versió clàssica "a llapis i paper" sabem que el segon jugador (el que no comença) té sempre la possibilitat de fer taules. En la versió amb fitxes, si no es permet saltar, jugant perfectament guanya el primer i, si es permet el salt, també el segon pot provocar taules. Ara us proposem estudiar dues variants del joc que tenen en comú dues característiques: són sorprenents i relativament fàcils d'analitzar, sobretot la primera. Això les fa molt aptes per treballar-se a classe.

• El Ta-Te-Ti boig

Aquest joc es pot jugar amb paper i llapis o amb fitxes sobre un tauler de 3x3. L'objectiu, com sempre, és fer "tres en ratlla", alinear tres fitxes d'un mateix color en horitzontal, vertical o diagonal. No hi ha moviment de les fitxes: només té la fase de col·locació. Quan s'han posat les nou fitxes, si ningú n'ha fet tres en ratlla, la partida està acabada. La variant és que cap dels dos jugadors té un color propi, quan li toca pot posar la fitxa del color que vulgui.

---

Pots practicar amb aquest applet fet amb flash. Clicant sobre la casella successives vegades mostrarà

rodona, creu o torna a quedar en blanc.

Enllaç a l'applet (flash)

---

• El tripos

El tauler del joc del Tripos és lleugerament diferent. Les caselles són de tres colors distribuïdes com a un quadrat llatí. L'objectiu torna a ser connectar tres fitxes, però aquesta vegada ha de ser en fila, columna o color; no val el tres en ratlla en diagonal. Un altre canvi important respecte al tres en ratlla normal és que cada jugador disposa de quatre fitxes (al "normal" el primer en té 5) i si, posades les fitxes, no hi ha tres connectades guanya el segon jugador: no hi ha empat.

---

Pots practicar amb aquest applet (flash)  arrossegant les fitxes.

Enllaç a l'applet (flash)

---

Vols que analitzem els dos jocs?

Triangles d'or

Amb aquest títol apareixia un petit còmic-problema al primer número de la revista Cacumen (febrer 1983, pàgines 20 i 21). És una bona excusa per treballar els nombres triangulars.

El problema és aquest:

"A un castell hi viuen un comte, un majordom i un jardiner.

Una nit el comte torna tot content al castell perquè ha guanyat una petita fortuna en monedes d'or. A la seva habitació munta un "triangle d'or" amb totes les seves monedes.

Quan el comte dorm el majordom entra a robar-li algunes monedes. Per tal que el comte no s'adoni li deixa una quantitat amb la qual encara queda un triangle sencer més petit. Quan arriba a la seva habitació ell mateix veu que pot muntar també un triangle amb les monedes que ha robat.

Tot content es posa a dormir i llavors el jardiner aprofita per entrar a l'habitació del majordom i robar-li algunes monedes, però deixant-li un triangle muntat perquè el furt no sigui descobert. El jardiner descobreix que amb el que ha agafat també pot muntar el seu propi "triangle d'or".

Sabem que aquella nit el comte havia guanyat menys de 300 monedes. Podem esbrinar quina va ser la quantitat exacta?"

Seguim una resolució tot veient possibles idees per treballar a l'aula?