Grups de Leonardo: girs i simetries

L'antic web del Calaix +ie té un problema amb la interactivitat: els navegadors actuals no suporten flash. O sí, si seguiu el truc explicat en aquest enllaç. Per tant, després de l'input rebut en una recent visita a Burgos, m'agradaria recuperar la idea d'una activitat geomètrica que es plantejava al web. Podeu veure la versió antiga aquí:

• En web: Lletres, logos, rosasses, rajoles...
• En paper

És una activitat molt apta per a primària o els primers cursos d'ESO. Podem fer servir imatges de rosasses, cúpules, tapaboques de cotxes, logotips, etc. Aquí ho explicarem, inicialment, amb imatges de la Silleria del Cor dels Pares de la Cartoixa de Miraflores a Burgos.

La silleria de Miraflores té 40 cadires en fusta de noguera. La decoració geomètrica de cadascuna d'elles és diferent.

Costat dret de 30 cadires (Font de la fotografia)

Cada cadira té un respatller amb tres zones: una mena de rosassa i mitja rosassa diferent a sota, una altra zona amb arcs i una tercera amb un fris.

Ens centrarem només en les rosasses completes superiors. Aquí en teniu quatre exemples:

Podrem observar que n'hi ha algunes que tenen eixos de simetria i d'altres que no. Les que tenen eixos les classifiquem com a dièdrals (D) i afegim un subíndex amb la quantitat d'eixos que té. La de l'exemple en té 8. Per tant, direm que és una rosassa D₈.

Aquesta altra no té cap eix de simetria. És relativament fàcil de veure perquè té alguns elements del disseny amb una certa orientació lateral.

La figura de la dreta és diferent de l'original

Però totes les figures, encara que no tinguin simetries, tenen girs invariants. Què és un gir invariant? Imaginem que mirem una figura, a continuació tanquem els ulls, i, mentre els tenim tancats, algú li aplica un gir amb un angle determinat. Si no notem cap canvi quan els tornem a obrir se li ha aplicat un gir invariant. Hi ha un gir bàsic que sempre es pot fer: el de 360º. Però la rosassa anterior en té quatre, un cada 90º. A aquestes rosasses les classifiquem com a cícliques (C). I també afegim un subíndex indicant la quantitat de girs invariants que podem fer en una volta sencera de la figura. L'anterior seria una D₄. A continuació teniu el dibuix d'una de les cadires amb vuit girs (C₈).

No cal dir que una figura diedral que tingui n eixos de simetria, també tindrà n girs.

Si us animeu podeu intentar classificar, amb l'ajuda de GeoGebra, alguns d'aquests ornaments de les cadires de la Cartoixa.

Enllaç a la construcció

Enllaç a la construcció

Enllaç a la construcció

Enllaç a la construcció

Vols veure altres exemples?

Puc contestar aquestes preguntes?

Haig de confessar que m'agraden els llibres d'Adrián Paenza. Sempre, a més d'incloure alguns aspectes divulgatius atípics, hi trobem problemes sorprenents. També m'agrada la seva política de deixar que les versions electròniques de les seves obres siguin gratuïtes per a ús personal. Les podeu trobar totes en aquest enllaç. A més, hi ha infinitat de vídeos seus a la xarxa. Per exemple la sèrie de 13 capítols Grandes temas de la matemática (2015)

Adriàn Paenza (Buenos Aires, 1949)

En aquest article compartirem tres problemes del seu llibre del 2018 ¡Un matemático ahí, por favor!. Tots tres tenen en comú que semblen impossibles de resoldre per manca d'informació, per tenir una aparent insuficiència de dades. Al llarg de la seva obra en trobem uns quants d'aquest estil. Li deuen agradar tant com a mi. Però sempre es poden resoldre. Tenim tota la informació necessària, encara que no ho sembli. En alguns d'ells, el que els seus protagonistes desconeixen, també és una dada.

Mirem els tres enunciats (traduïts directament i una mica retallats, ja que Paenza sovint és un pèl retòric, sense que afectin la informació bàsica ncessària):

• Problema 1: Tenim a Messi i a Ronaldo [així està al llibre original] al voltant d'una taula. A cadascú li van donar un joc de cinc cartes numerades de l'1 al 5. Els van embenar els ulls i els van demanar que seleccionessin una qualsevol de les cinc que tenien a la mà i les posessin a dalt d'una taula. La persona que estava amb ells va fer la suma dels dos números i se la va comunicar únicament a Messi. Després, va multiplicar els números i li va dir el resultat només a Ronaldo. Després va guardar les dues cartes evitant que els jugadors poguessin veure-les i els va demanar també que li lliuressin les quatre que li quedaven a cadascun per amagar-les en un calaix. A continuació es va produir el següent diàleg:
• Ronaldo: Amb el número que vaig sentir jo, no puc saber quines són les dues cartes.
• Messi: ¡Ah, que curiós! Si vós no podeu deduir-los, llavors jo sí que sé quins van ser els dos números de les cartes que vam triar.
• Ronaldo: Tu ho sabràs, però jo segueixo sense saber quins són.
• Messi: Deixa'm que t'ajudi: el número que em van dir a mi és més gran que el que et van dir a vós.
• Ronaldo: Gràcies. Ara jo també sé quins van ser els números.
Pregunta: quins números van triar? Fixeu-vos-hi que no es demana quina carta va triar cadascú, sinó que només importa saber quins números van aparèixer a dalt de la taula.

• Problema 2: Tres amics —A, B i C— decideixen jugar a ping-pong. Donat que al ping-pong es juga de dos, hi ha un dels tres que sempre es queda fora i mira la partida dels seus amics. El perdedor surt, el guanyador es queda, i qui estava mirant juga la partida següent. En acabar la tarda, decideixen comptar quantes partides va jugar cadascun i obtenen aquest resultat: A va jugar 10 partides; B va jugar 15 i C en va jugar 17. Pregunta (que sembla boja): Qui va perdre la segona partida?

• Problema 3:  A una competència d'atletisme només hi van participar tres dones: l'Alícia (a la qual anomenaré A), la Beatriu (B) i la Carme (C). Elles (i només elles) van intervenir en totes les disciplines, no va participar cap altre atleta. Els punts que s'obtenien a cadascun dels tres llocs era la mateixa quantitat: x per quedar primera, y per quedar segona i z per quedar tercera. Els tres números (x, y, z) són naturals (més grans o iguals que 1), i òbviament, s'acompleix també: x > y > z. Un cop finalitzades totes les competències, aquests són els resultats que es van obtenir: A va obtenir 22 punts en total. B va guanyar els 100 metres llisos i en total va obtenir 9 punts. C també va acabar amb 9 punts. Ara sí, la pregunta: Qui va quedar segona en salt d'alçada?

La invitació és que els intenteu resoldre. El problema 1 és més accessible que el 2 i el 3. Però tots es poden fer encara que no ho sembli. Aquí teniu alguna pista per començar cadascun.

• Pista pel problema 1: I si feu una llista dels resultats que li podien haver dit a cadascun i de quins nombres vindrien?
• Pistes pel problema 2: Dues claus que ens poden ajudar: esbrinar la quantitat de partides jugades i quin és el mínim que pot haver jugat un d'ells.
• Pistes pel problema 3. En total s'han repartit 40 punts (22+9+9). Podrien haver fet 2 esports i que a cadascun es repartissin 20 punts? Podrien haver fet 4 esports i que es repartissin 10 punts a cadascun? Podrien...?

I si no us en sortiu, podeu mirar les solucions si continueu llegint l'article.

Solucions

Tibant la corda

El problema inicial que comentarem no el coneixia i, casualment, l'he trobat, amb plantejaments una mica diferents, en dos llibres llegits fa poc: Very Math Trip, de Manu Houdart i Le cercle des problemes incongrus d'Alex Bellos (Can you solve my problems?, en la seva versió anglesa). És un típic problema amb poc interès aparent, però que amaga les seves sorpreses. Comencem amb el plantejament de Houdart:

Imaginem que lliguem una corda a dos dels banderins de córner d'un camp de fulbol. Els que estan oposats, a camps diferents, dins d'una mateixa banda. És a dir, al costat llarg del camp. El camp té 100 m de llarg i la corda (sense tenir en compte la que cal per a fer els nusos) és un metre més llarga: 101 m.

Volem estirar la corda, verticalment cap a dalt, per obtenir l'altura màxima possible. I, abans de fer-ho, ens demanem quin animal podrà passar per sota sense tocar la corda: un ratolí, un gat, un gos, un humà, un cavall, un elefant, una girafa...?

Enllaç a la construcció

Després d'estudiar el problema el relacionarem amb la variació d'un altre de molt conegut sobre d'una corda un metre més llarga que l'Equador de la Terra.

Seguim?

Intuïció i probabilitat: el joc de "la canyeta més curta"

Que la intuïció i la probabilitat estan renyides és un tema que, recurrentment, s'ha tractat en aquest blog. També podeu veure, sobre aquest tema, el vídeo de la comunicació Què passarà? Intuïció i probabilitat, de la Jornada d'Educació 2021 de l'APMCM. De vegades, la manca d'intuïció està relacionada amb la poca familiaritat o experiència amb les situacions plantejades. Avui aquesta proposta ens convida a pensar sobre una situació ben coneguda, el mètode de tria de "la canyeta més curta". El joc funciona així:

• Tenim un grapat de canyetes (o de cordills, o d'herbes, o pals de gelat...). Tantes com persones intervenen el joc. Les canyetes poden tenir diferents longituds o ser iguals totes, menys una que serà més curta.
• Qui organitza el joc les agafa barrejades amb la mà de forma que, per la part superior, es mostri per a totes una longitud igual. La part inferior acostuma a quedar amagada, però si són, per exemple, cordes desiguals no és estrictament necessari.
• Els jugadors agafen ordenadament una canyeta cadascun.
• Perd (o s'elimina) qui ha triat la més curta.

La qüestió a discutir és: importa l'ordre en triar o és indiferent? Afecta quin torn tens per agafar la canyeta a la probabilitat que agafis la més curta?

Podem imaginar una discussió a l'aula, sigui de primària o secundària, en la que sortiran arguments com aquests:

• És millor ser l'últim perquè així és més probable que una altra persona l'hagi agafat abans.
• És millor ser dels primers perquè tens més canyetes per a triar. Si et vas esperant cada vegada en queden menys i la probabilitat de triar la curta augmenta.
• És millor ser dels del mig per si algú l'agafa abans, però sense esperar que quedin poquetes.

Podeu provar també de treure el tema en ambients no matemàtics per veure què en pensa la gent.

Com sempre, el millor és començar experimentant una mica. A continuació teniu un applet fet amb Snap que us permetrà jugar-hi. Aquí l'hem preparat amb un joc de fitxes que tenen una cara visible de color marró i una amagada: totes són verdes menys una que és vermella i que és la que fa perdre.

Enllaç al programa

Estudiem el joc?

"Quaternes" i altres patrons a la taula de multiplicar

De vegades hi ha patrons relativament senzills que, pel que sigui, no se t'acudeix buscar. La clau, com sempre, està en saber-se fer preguntes. Aquests patrons que presentem avui, en els què fins ara no m'hi havia fixat mai, els he trobat al llibre La matemática elgante (A.V. Zhúkov, P.I Samavol i M.V. Applebaum; Editorial URSS). Tots es basen en la taula pitagòrica de la multiplicació. I millor si la taula és "infinita". Els primers es basaran en la tria de quatre nombres que formin un quadrat seobre la taula. Després hi ha dos més basats en l'estudi de les sumes dels nombres que formen angles rectes i algunes diagonals. Abans d'entrar-hi és obligatori recordar un article, també referent a aquest tema, del Blog del PuntMat: "Patrons a les taules de multiplicar". Comencem.

• Quadrats amb els costats paral·lels a les vores de la taula

Triem quatre nombres que siguin els vèrtexs d'un quadrat col·locat "horitzontalment", que tingui els costats paral·lels als costats de la taula.

Podem descobrir una relació entre dues de les parelles de vèrtexs de cada quadrat. Quina és?

• Quadrats com els anteriors que tenen dos vèrtexs sobre la diagonal principal

A més de la relació anterior, en aquest cas, hi ha una propietat numèrica especial que s'acompleix considerant els quatre vèrtexs.

• Quadrats amb els costats paral·lels a les diagonals principals

Un cas relativament semblant al primer. Hem de trobar una relació entre dues parelles de vèrtexs.

• Suma dels nombres dels angles rectes de la taula (gnòmons)

Si sumem els nombres que formen els gnòmons de la taula (podríem visualitzar-los com lletres L invertides), quin tipus de nombres obtenim?

• Suma dels nombres de les diagonals consecutives

Aquesta relació és una mica més complicada. Si sumem els nombres situats en les diagonals consecutives, marcades a la figura, podem trobar una sèrie numèrica curiosa. Podeu endevinar com segueix o identificar-la?

Us animeu a continuar investigant aquests patrons?

Sextines i nombres de Queneuau

Sovint, encara que sembli contradictori, posar restriccions estimula la creativitat. Pensem, per exemple, en els grans descobriments de la geometria grega nascuts de la restricció de l'ús exclusiu del regle i el compàs. I, en un terreny ben diferent, en la imaginació posada en cinema, escriptura o música per esquiva la fèrria censura durant l'època franquista o de la primera transició. En aquest article parlarem d'una forma de poesia, basada en un joc combinatori i que, convenientment adaptat, ens pot servir per a preparar alguna activitat a l'aula que connectin llengua i matemàtiques. Ens pot servir, per exemple, per a una proposta per a Sant Jordi. La forma de poema més convencional, dels poemes que estudiarem. és la sextina, però que podrem convertir, en tercina, cinquina... o el que ens convingui.

• La sextina

Segons moltes fonts, l'inventor de la sextina és el trobador occità del segleXII Arnaut Daniel. Aquesta forma poètica ha arribat fins als nostres dies perquè l'han adoptat altres poetes antics, com Dante, Petrarca, Camões o Fernando de Herrera, i més recents com Kipling, Ezra Pound, Gil de Biedma... A Catalunya s'hi van dedicar, especialment, Joan Brossa i Maria Mercè Marçal, que van escriure llibres sencers amb aquesta forma.

Una sextina estricta és un poema de 36 o 39 versos i, normalment, d'onze síl·labes. Els 36 primers versos s'organitzen en sis estrofes de sis versos cadascuna. Opcionalment, es pot afegir una tornada de tres versos finals (que farien els 39). L'interès matemàtic està les regles combinatòries que s'utilitzen en la seva construcció.

Mirem un exemple: La primera estrofa de la Sextina reivindicativa, de Maria Mercè Marçal ("Terra de mai" dins de "La germana, l'estrangera"), on marquem en negreta les paraules que seran la clau del poema: les "paraules-rima":

Amor, ja que m'has dit que et digui què

vull, t'ho diré ben clar: contra l'horari,

el meu desig reivindica el lleure

total, i tu i el teu desig per paga,

pujar parets d'amor pet tot ofici

i pintar de diumenge la setmana.

Aquestes paraules-rima tornen a aparèixer a la segona estrofa, però en un altre ordre:

Ja ho sé! Tot no pot ser caps de setmana
 i postes de sol. Sí, ja ho sé. I què!
 Deixa'm clamar, adolescent d'ofici,
 per la mort violenta de l'horari
 per mà d'amor. El meu desig, cap paga
 no vol, si posa duanes al lleure.

A la resta d'estrofes tornaran a repetir-se, però de forma que no cauran mai al mateix vers. Per exemple, lleure la trobem al 3r vers, a la 1a estrofa, i al 6è, a la segona. En les següents estrofes sortirà en el 1r, el 2n, el 4t i el 5è vers.

El poema es tanca amb una tornada en què les paraules-rima s'ordenen com a la primera estrofa, posant-ne dos per vers.

amor, per què ens escapça el vol l'horari,
 confina el lleure i, per ben poca paga,
 amo d'ofici, ens roba la setmana?

Podeu llegir tota la sextina, i tres més, en aquest enllaç.

L'esquema general de distribució de les paraules-rima és la següent:

Estrofa
1a	1	2	3	4	5	6
2a	6	1	5	2	4	3
3a	3	6	4	1	2	5
4a	5	3	2	6	1	4
5a	4	5	1	3	6	2
6a	2	4	6	5	3	1

 Podem observar un perfecte quadrat llatí, en què no es repeteix cap paraula a cap fila ni a cap columna.

Hem aplicat a les paraules-rima un mètode de permutació que fa que cada mot vagi a parar a un vers diferent cada vegada. Però, si l'estudiem, veurem, a més, que per la seva forma de construcció, en una permutació més tornaria a l'ordre original. Podem descriure cada permutació com llegir les paraules-rima ordenadament sobre una espiral. La següent animació ens permet veure el model de permutació.

És l'única forma de permutació que, en un cicle de sis moviments, les sis paraules tornen a quedar com al principi? Evidentment que no. Però l'estètica d'aquesta, basada en els desplaçaments sobre una espiral, és prou interessant. Per exemple, ens podem demanar si hi ha altres nombres, a banda del 6, amb n elements i que en n permutacions completi un cicle que el deixi com al principi?

Ho estudiem?

"Assagem" amb el rugbi

Si hem vist retransmissions de partits de futbol, més d'una vegada haurem sentit a la locució que el davanter, o davantera, "ha perdut angle". Bé, l'angle de tir a la porteria no es pot perdre, sempre hi és. Però sí que es pot anar reduint. En general, quan més ens allunyem de la vertical de la porteria menor és aquest angle de tir: l'angle format per la pilota i els dos pals de la porteria. També s'utilitza l'expressió quan el jugador/a s'acosta massa, per un costat de la porteria, a la línia de fons. Tot i que, en aquest cas, l'angle també es perd quan t'allunyes massa d'aquesta.

Però també hi ha tot un arc, conegut com a arc capaç, sobre el que ens podem moure mantenint sempre el mateix angle de tir. El centre d'aquest arc està situat en la mediatriu del segment format pels dos pals de la porteria. El seu radi pot variar: a cada radi correspon un angle diferent. La mida d'aquest l'angle dependrà de la proximitat del centre de la circumferència al "segment porteria". Com més a prop, més gran.

L'estudi de l'angle de tir, en el cas del futbol, no és del tot interessant perquè les situacions de joc són les que són. No es pot triar gaire des d'on tirar; ni tan sols en les faltes. Però el rugbi sí que té una jugada especial, la "transformació" que compta amb un marge de tria. Posem-nos en situació amb aquesta jugada.

La situació en les que un equip obté més punts és amb l'assaig: 5 punts. Un assaig s'aconsegueix quan un jugador/a travessa la línia de fons de l'equip contrari i planta la pilota a terra. Un cop fet l'assaig el mateix equip pot aconseguir dos punts extres si realitza una transformació. Per fer-la un dels jugadors/es de l'equip que ha fet l'assaig posa la pilota en el lloc que triï sobre la vertical del punt d'assaig. A aquesta perpendicular l'anomenarem, a partir d'ara, línia o recta de transformació. Llavors, xuta la pilota per fer-la passar entre tres pals: per sobre de l'horitzontal i entre els dos verticals.

En aquest estudi prescindirem de l'alçada i mirarem només l'angle de tir. I en el cas particular que la línia de transformació no estigui entre els pals. Podem experimentar amb aquesta la construcció feta amb GeoGebra i anar movent el punt de tir sobre la perpendicular al lloc d'assaig. Observarem que l'angle varia, però hi ha un lloc òptim, on l'angle és el més gran possible per a aquella recta.

Enllaç a la construcció interactiva

Un cop plantejada la situació venen les preguntes:

• Com podem localitzar geomètricament aquest punt d'angle màxim?
• Si anem movent la recta de transformació, quina línia tracen els diferents punts d'angle màxim?

Ho estudiem?