Swiffy Output
Aquest problema l'he conegut a través d'un vídeo de
Clara Grima (el podeu veure al final de l'article). Ella mateixa atribueix el descobriment a un blog d'Edward Felten director adjunt de tecnologia de la Casa Blanca (la de Washington). El problema és realment curiós, no només pel fet de tenir solució, sinó per l'eina matemàtica que s'utilitza per resoldre'l. Mirem com s'enuncia.
Imaginem que tenim quatre persones per fer el joc i barrets de quatre colors diferents: vermell, blau, groc i verd. En disposem de quatre de cada color. Posem a l'atzar un barret a cadascun dels jugadors. Es poden repetir colors. Podrien ser els quatre verds, dos vermells i dos grocs, tots diferents... Cadascun dels participants en el joc veu els altres tres barrets, però no el seu. A continuació escriuen en un paper el color del qual pensen que és el seu barret. Si un sol dels jugadors l'endevina tots guanyen. Si fallen tots, perden tots.
Ja tenim la situació. Ara bé, el problema. Imaginem primer que tots juguen de forma absolutament legal, sense fer-se indicacions ni comunicar-se de cap manera. Però això no implica que abans no els hàgim deixat una estona per pensar una estratègia a seguir. Existeix tal estratègia? Una manera d'actuar que asseguri que, com a mínim, a cada jugada un encerti el seu color?
Podem començar el problema analitzant què passaria si cadascun dels jugadors contesta a l'atzar. De fet, ja és un bon problema. La intuïció ens diu que actuant així no garantim que sempre s'encerti, però podem posar a discussió un argument fal·laç: si cada jugador té 1/4 de probabilitat d'encertar entre tots quatre "asseguren el tret":
Bé... ja sabem que és fals. Podríem buscar tots els casos possibles i entre ells els favorables (situacions en la que un jugador o més encerten), però serà feixuc. Millor agafem una drecera: calculem quina és la probabilitat que tots fallin. Si la d'equivocar-se un és 3/4 la que ho facin tots serà:
En la resta de casos algú encertarà. Només cal restar de la unitat.
Déu n'hi do! No és una probabilitat baixa. De fet, encara és més alta si tenim en compte que cada jugador veu tres barrets. Els quatre jugadors es poden posar d'acord a actuar de manera similar segons els colors que vegin. Una estratègia possible consisteix a dir un color que no veuen. Si són dos els colors que no veuen diran un d'ells a l'atzar. Actuant així la probabilitat general pujarà al 77,03%, i en el cas concret que realment tots quatre portessin colors diferents tots quatre encertarien.
Però el cert és que volem assegurar que una persona encerta sempre, sense importar-nos quina o si és la mateixa a cada joc. I el que també és cert que observar els barrets dels altres no sembla donar-nos cap informació fiable per encertar el color propi.
Encara que sembli impossible en realitat aquesta estratègia existeix. I fa servir l'aritmètica "del rellotge"! Sorpresos?
Voleu conèixer l'estratègia?
